Некоторые приемы вычисления пределов функций

Для того, чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения этой функции, нужно в выражении функции вместо аргумента подставить его предельное значение.

Под знаком предела можно производить тождественные преобразования аналитического выражения, задающего функцию, не принимая во внимание поведение функции в предельной точке. В частности, например, под знаком предела можно производить сокращение дроби на множитель, обращающийся в предельной точке в нуль (но не равный нулю в близи этой точки!).

Пример 9.

Пример 10.

Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы

, где , , – числа, , , – корни квадратного трехчлена. Получаем:

Пример 11. Найти

Числитель и знаменатель дроби умножим на выражение, сопряженное числителю, получаем:

Пример 12. Найти В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется.

Имеем , тогда . Непрерывность функций

Определение: Функция , определенная в точке и некоторой окрестности, называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в точке : .

Любая элементарная функция непрерывна в ее области определения.

Определение: Если функция определена в окрестности точки (кроме, быть может, самой точки ) и не является непрерывной в этой точке, то ее называют разрывной в точке . В этом случае точку называют точкой разрыва .

Определение: Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке интервала. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна на интервале и, кроме того, непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .

Для непрерывности функции на отрезке не требуется непрерывность этой функции на концах отрезка. В точках и требуется только односторонняя непрерывность функции для левого конца непрерывность справа, для правого непрерывность слева.

Из определения точки разрыва функции получаем, что точка является точкой разрыва функции , если выполняется одно из условий: или функция определена в точке , но не является непрерывной в этой точке, или функция не определена в точке .

В первом случае принадлежит области определения функции, во втором случае не принадлежит области определения функции. Для основных элементарных функций возможен только второй случай.

Пусть – точка разрыва функции . При этом называется точкой разрыва первого рода, если функция имеет конечные пределы справа и слева в этой точке. Во всех остальных случаях называется точкой разрыва второго рода. Если – точка разрыва I рода функции , то график этой функции в точке может иметь лишь конечный скачок. Если же – точка разрыва I рода функции , то, по крайней мере, один из пределов справа или слева в точке не существует или равен бесконечности.

Пример 13. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график

Эта функция определена на интервалах , , , где она задана непрерывными элементарными функциями. Внутри каждого интервала указанные элементарные функции не имеют точек разрыва, следовательно, разрыв возможен только в точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках и .