2.3.Векторное и смешанное произведения векторов

Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , может быть найдена по формуле

мое (a ,b ,c) и равное скалярному произведению вектора [a ,b] на вектор c , т.е. (a ,b ,c) = ([a ,b],c) .

Основные свойства смешанного произведения:

1)([a ,b],c) = (a ,[b ,c]) ;

2)(a ,b ,c) = (c , a ,b) = (b ,c , a) = −(c ,b , a) = −(b , a ,c) = −(a ,c ,b) ;

3)(a ,b ,c) = 0 a , b , c компланарны;

4)(a ,b ,c) > 0 тройка векторов a , b , c – правая.

Если векторы a (x1 ; y1 ; z1) , b (x2 ; y2; z2 ) , c(x3 ; y3 ; z3 ) заданы координатами в ортонормированном базисе, то

71

2.4.Векторное пространство Rn . Ранг и базис системы векторов

Упорядоченный набор n действительных чисел x = (x1 ; x2 ;…; xn ) называ-

ется n - мерным вектором, а числа xi , i =1,…, n – компонентами вектора x .

74

Два вектора x = (x1 ; x2 ;…; xn ) и y = (y1; y2;…; yn ) называются равными, если равны их соответствующие компоненты, т. е. xi = yi , i =1,…, n .

Суммой двух n - мерных векторов x и y называется вектор x + y , компо-

ненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов,

т. е. x + y = (x1 + y1; x2 + y2;…; xn + yn ).

Произведением вектора x на число λ называется вектор λx , компоненты которого равны произведению числа λ на соответствующие компоненты век-

тора x , т. е. λx = (λx1;λx2;…;λxn ).

Множество всех n - мерных векторов с введенными операциями сложения

и умножения называется векторным пространством Rn .

Система векторов x1, x2 ,…, xk векторного пространства Rn называется ли-

нейно зависимой, если существуют такие числа λ1,λ2 ,…,λk , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что выполняется равенство

система векторов x1, x2 ,…, xk называется линейно независимой.

Отметим некоторые свойства линейно зависимых систем векторов:

1. Система векторов x1, x2 ,…, xk линейно зависима тогда и только тогда,

когда, по крайней мере, один из векторов системы линейно выражается через другие.

2.Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зави-

сима.

3.Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Пример 2.11. Выяснить, являются ли линейно зависимыми следующие системы векторов:

а) x1 = (1;0;0;0), x2 = (0;1;0;0), x3 = (0;0;1;0), x4 = (2;3;1;0) ;

75

б) x1 = (1;3;1), x2 = (2;1;1), x3 = (1, −1,1);

в) x1 = (1;3;1;3), x2 = (2;1;1;2), x3 = (3;−1;1;1).

Р е ш е н и е . а) Очевидно, вектор x4 выражается линейно через векторы x1 , x2 , x3 следующим образом: x4 = 2x1 +3x2 + x3 , следовательно, система ли-

нейно зависима.

б) Приравняв компоненты векторов в левой и правой частях равенства

λ1x1 + λ2 x2 + λ3 x3 = 0 , получим систему линейных однородных уравнений:

система векторов x1 , x2 , x3 линейно независима.

в) Так же, как в пункте б), составим систему уравнений

76

λ1 =1, λ2 = −2, λ3 =1 имеем x1 − 2 x2 + x3 = 0 ), следовательно, система линейно зависима.

Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов данной системы. Ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из компонент векторов системы.

Ранг векторного пространства Rn называется размерностью пространства и равен n .

Базисом системы векторов называется упорядоченная совокупность r линейно независимых векторов данной системы, где r – ранг системы.

Справедлива следующая теорема:

Теорема. Пусть e1 ,e2 ,…,er – базис системы векторов. Каждый вектор x

данной системы можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базиса:

Равенство (2.19) называется разложением вектора x по базису e1 ,e2 ,…,er ,

а числа x1 , x2 ,…, xr – координатами вектора x в данном базисе. Так же, как и для геометрических векторов, координаты n - мерного вектора в фиксированном базисе будем записывать в круглых скобках после буквенного обозначения вектора: x(x1, x2 ,…, xr ) .

Пример 2.12. Найти базис системы векторов и определить координаты векторов системы в найденном базисе:

Р е ш е н и е . а) Ранг системы векторов x1 , x2 , x3 , x4 не превышает 3, по-

этому базис системы содержит не более трех векторов. Определитель, составленный из компонент векторов x1 , x2 , x3

77

В найденном базисе имеем: y1(1;0;0), y2 (0;1;0), y4 (0;0;1) . Пусть y3 =α y1 + β y2 +γ y4 . Так же, как в пункте а) составим систему уравнений:

α − β +2γ = 4,2α +3β −γ = 3,α + 2β = 3,2α + β +γ = 5,

решив которую, найдем α =1, β =1, γ = 2 , т.е. y3 (1;1;2) в базисе y1 , y2 , y4 .

Задачи для самостоятельного решения

2.67. Определить, являются ли линейно зависимыми следующие системы векторов:

а) x1 = (1;0;0;0), x2 = (0;1;0;1), x3 = (1;1;0;1) ;

б) x1 = (1;3;2;−1), x2 =(3;4;3;0), x3 = (2;1;1;1) ;

в) x1 = (1;0;0;0), x2 = (0;1;0;0), x3 = (1;1;0;1) ;

г) x1 = (1;1;1;1), x2 = (0;0;1;1), x3 = (2;2;3;3) ;

д) x1 = (1;1;1;1), x2 = (0;1;1;1), x3 = (0;0;1;1), x4 = (−1;−1;0;0) .

2.68. Установить, существует ли линейная зависимость между векторами следующих систем:

а) x1 = (1;3;−1), x2 = (0;2;1), x3 = (0;0;5) ;

б) x1 = (3;2;3), x2 = (2;0;2), x3 = (−1;−1;4) ;

в) x1 = (7;0;1), x2 = (5;2;−3), x3 = (1;−1;2) ;

г) x1 = (4;4;2;−1), x2 =(0;0;−3;7), x3 = (0;3;5;1) ;

д) x1 = (3;1;− 2;1), x2 =(0;1;4;−1), x3 = (1;−3;5;1), x4 = (2;8;−6;2) .

2.69. Найти ранг системы векторов:

а) x1 = (−4;6;2), x2 = (2;−3;1), x3 = (−6;9;3) ;

79

2.73.Векторы x1 , x2 , x3 образуют линейно независимую систему. Будет ли линейно независимой система 3x1 , x1 − x2 , x3 − x2 ?

2.74.В базисе e1 , e2 , e3 даны векторы x = 2e1 −αe2 + 6e3 , y = e1 + 4e2 + β e3 . При каких значениях α и β они линейно независимы?

80