1.55. Решить матричные уравнения:

1.4. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу Am×n . Пусть k – натуральное число,

удовлетворяющее неравенству k ≤ min(m, n). Выберем в матрице А произволь-

ным образом k строк с номерами i1,i2 , …,ik , где 1 ≤ i1 <i2 <…< ik ≤ m, и k столбцов с номерами jk , j2 ,…, jk , где 1 ≤ j1 < j2 <…< jk ≤ n. Из элементов,

стоящих на пересечении выбранных k строк и k столбцов, составим определи-

тель k-го порядка, который обозначим M i1,i2 ,…,ik и назовем его минором k- j1, j2 ,…, jk

29

го порядка матрицы А. Можно показать, что из m ×n матрицы Am×n можно со-

ставить Сmk Cnk миноров k-го порядка.* Например, если матрица

проверить, что все миноры третьего порядка данной матрицы равны нулю. Та-

ким образом, в матрице А существует минор 2-го порядка, отличный от нуля

(например M 1,3, 24 ), а все миноры третьего порядка равны нулю.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Из этого определения вытекает, что если ранг матрицы равен r, то среди миноров этой матрицы есть, по крайней мере, один минор r-го порядка, отличный от нуля (его будем называть базисным минором), а все миноры порядка r +1и выше равны нулю. Ранг матрицы А обозначается r( A). По определению,

ранг нулевой матрицы О равен нулю; тогда ранг r( A) произвольной матрицы

Am×n удовлетворяет неравенству 0 ≤ r( A) ≤ min(m, n).

Поскольку вычислять ранг матрицы по определению достаточно трудоемко, то с помощью элементарных преобразований матрицу приводят к такому виду, из которого ранг матрицы очевиден.

Элементарные преобразования.

Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

30

3.Умножение всех элементов строки или столбца на число с, отличное от нуля.

4.Прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число.

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Отметим, что с помощью элементарных преобразований любую матрицу

А можно привести к виду

где на главной диагонали стоят r единиц, а все остальные элементы матрицы равны нулю. Ясно, что ранг такой матрицы равен r, тогда по теореме 2.1. ранг матрицы А равен r.

Пример 1.12. Вычислить ранг матрицы А с помощью элементарных пре-

Р е ш е н и е. Вычитая утроенную первую строку из третьей, а затем вторую строку из третьей, получим:

где знаком обозначено, что соединяемые им матрицы имеют один и тот же ранг.

Вычитая теперь из второго столбца удвоенный первый, а из третьего

31

Наконец, из третьего столбца вычтем удвоенный второй, а к четвертому столбцу прибавим второй, в результате чего матрица приведется к виду (1.6):

Замечание. При вычислении ранга матрицы с помощью элементарных преобразований не обязательно получать вид (1.6), достаточно привести матрицу к трапециевидной форме, количество ненулевых строк в которой равно рангу матрицы.

Задачи для самостоятельного решения

1.57.В каком случае ранг квадратной матрицы n-го порядка равен n?

1.58.Пусть в матрице A20×70 существует отличный от нуля минор порядка

10, а все миноры порядка 11 равны нулю. Чему равен ранг матрицы А? 1.59. Найти ранг r матрицы и указать один из базисных миноров:

1.60. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:

32

1.61. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований:

1.63. При каких значениях λ ранг матрицы А равен двум, если:

33

1.64. При каких значениях λ ранг матрицы А равен трем, если:

34

меньший ранг. Чему равен ранг при найденных значениях λ и чему он равен при других значениях λ?

ях λ?

1.72. Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразова-

35

1.5.Система m линейных уравнений с n неизвестными

Системой m линейных уравнений с n неизвестными (переменными) называется система вида:

Здесь x1, x2 , …, xn − неизвестные, aij (i =1, m, j =1, n)−заданные действи-

тельные числа, называемые коэффициентами системы; bi (j =1, m)−заданные действительные числа, называемые свободными членами.

Решением системы (1.8) называется такой упорядоченный набор значе-

ний неизвестных (x10 , x20 , …, xn0 ), при подстановке которых в систему (1.8) все ее уравнения обращаются в верные числовые равенства. Два решения (x10 , x20 , …, xn0 ) и (x11, x12 , …, x1n ) называются различными, если хотя бы для од-

ного значения i (i =1, m) равенство xi0 = xi1 не выполняется. Система (1.8) назы-

вается совместной (разрешимой), если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной (неразрешимой). Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Если ввести матрицу А, составленную из коэффициентов при неизвест-

36

b1

рицу-столбец B = …b2 свободных членов, то систему (1.8) можно переписать в

bm

матричной форме: AX = B

Расширенной матрицей системы (1.8) называется матрица

получаемая из матрицы А добавлением в ней справа столбца свободных членов. Критерием совместности системы (1.8) является теорема КронекераКапелли: для совместности системы (1.8) необходимо и достаточно, чтобы ранг

матрицы А равнялся рангу расширенной матрицы А.

При выполнении этого условия, если r( A) = r (A)= r, то в случае r = n

система (1.8) является определенной (имеет единственное решение), а в случае r < n −неопределенной.

Метод Гаусса применяется для решения систем m линейных уравнений с n неизвестными, заданной в общем виде (1.8). Этот метод иначе называют методом последовательного исключения неизвестных.

Элементарными преобразованиями системы (1.8) называются:

1)перемена местами любых двух уравнений системы;

2)умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на число λ ≠ 0;

3)прибавление к одному из уравнений другого уравнения, умноженного на произвольное число λ;

4)удаление из системы уравнения вида 0 x1 + 0 x2 +…+ 0 xn = 0.

Можно доказать, что элементарные преобразования системы (1.8) приводят к системе, равносильной (эквивалентной) исходной.

37

Метод Гаусса состоит из двух частей: прямого и обратного хода. В результате прямого хода система приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида с помощью элементарных преобразований (если при этом процессе не обнаружится несовместность системы). Второй этап решения задачи, называемый обратным ходом, состоит в последовательном нахождении значений неизвестных xn , xn−1, …, x1 из полученной в результате прямого хода системы ступенчатого или треугольного вида вида.

Решение системы методом Гаусса обычно осуществляют, работая с расширенной матрицей коэффициентов системы, в которой каждой строке соответствует уравнение исходной системы.

Пример 1.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Р е ш е н и е. Переставив первое и третье уравнения системы, получим расширенную матрицу вида

Так как a11 =1 ≠ 0, то с помощью первого уравнения исключим x1 из всех остальных уравнений, для чего первую строку матрицы (1.10) умножим на (–2) и сложим с третьей, а затем вычтем первую строку из четвертой. Получим

38

Поскольку в новой матрице (1.11) a′22 ≠ 0, то теперь с помощью второго уравнения исключим x2 из третьего и четвертого уравнений, для чего от треть-

ей строки вычтем вторую, умноженную на 3, и из четвертой строки вычтем вторую, умноженную также на 3. Получим матрицу вида

В матрице (1.12) a33′ ≠ 0, следовательно, с помощью третьего уравнения можно исключить x3 из четвертого уравнения, для чего из четвертой строки матрицы (1.12) вычтем третью, умноженную на 3. В результате придем к матрице

Такая система имеет единственное решение, которое находится с помощью обратного хода. Двигаясь от последнего уравнения к первому, получим:

39

Существуют различные методы приведения матрицы к ступенчатому виду. Для ручного счета удобны правила исключения Гаусса, реализуемые с помощью так называемого «разрешающего элемента», который при вычислениях заключается в рамку и всегда должен быть отличен от нуля. Первый шаг (исключение неизвестной x1 ) прямого хода выполняется с разрешающим элемен-

1)элементы разрешающей строки и всех вышерасположенных строк остаются неизменными;

2)элементы разрешающего столбца, находящиеся ниже разрешающего элемента, обращаются в нули;

3)все прочие элементы матрицы вычисляются по правилу прямоугольника: преобразованный элемент aij′ новой матрицы равен разности произведе-

ний элементов главной и побочной диагоналей.

aks …… akj

ais …… aij

aij′ = aks aij − ais akj .

Здесь aks – разрешающий элемент, aks , aij −главная диагональ, ais , akj − побоч-

ная диагональ.

Пример 1.14. Решить систему уравнений

40

Р е ш е н и е. Запишем расширенную матрицу системы:

ляем без изменения, элементы первого (разрешающего) столбца заполняем нулями, а остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника:

строки и первый столбец переписываем без изменения, под разрешающим элементом записываем нули, а остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника:

41