2.20. Разложить вектор a по векторам p , q и r , если:
а) a (6;1;4) , p(4;5;1) , q (3;2;1) , r (2;3;2) ;
б) a (10;−1;0) , p(3;1;−1) , q (2;−1;2) , r (3;2;1) .
2.2.Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
Проекцией вектора a на ось Ox называется число, обозначаемое ПрOx a
и определяемое формулой
ПрOx a =| a | cosϕ ,
где ϕ – угол между вектором a и осью Ox .
Координаты вектора a в ортонормированном базисе равны проекциям
вектора a на соответствующие координатные оси: |
|
x = ПрOx a , y = ПрOy a , z = ПрOz a . |
(2.5) |
Косинусы углов α = (a ,i ), β = (a , j), γ = (a , j) называются направляю-
щими косинусами вектора a . Формулы (2.5) можно переписать в виде
x =| a | cosα , y =| a | cos β , z =| a | cosγ . |
(2.6) |
Направляющие косинусы вектора a связаны соотношением |
|
cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1. |
(2.7) |
Пример 2.4. Вектор a образует углы α =120 и β = 60 |
с осями Ox и Oy |
соответственно. Найти: а) угол γ , который образует вектор a с осью Oz , если известно, что он острый; б) координаты вектора a , если | a |= 6 .
Р е ш е н и е . а) Из формулы (2.7) находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos2 γ =1 −cos2 α −cos2 β =1 |
− − |
1 |
2 |
− |
|
1 |
2 |
= |
1 . |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
Так как угол γ – острый, то cosγ = |
1 |
= |
2 |
, и γ = 45 . |
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) Координаты вектора a найдем по формулам (2.6):
65
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
x = 6 |
− |
|
|
= −3, |
y = 6 |
|
= 3, |
z = 6 |
|
= 3 2 . |
|
2 |
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Скалярным произведением векторов a и b |
называется число, обозначае- |
мое (a ,b) и определяемое формулой |
|
(a ,b) =| a || b | cos(a ,b) . |
(2.8) |
Основные свойства скалярного произведения векторов:
1)(a ,b) = (b , a) ;
2)(λa ,b) = (a ,λb) = λ(a ,b) ;
3)(a +b ,c) = (a ,c) + (b ,c) ;
4)a 2= (a , a) =| a |2 ;
5)(a ,b) = 0 a и b ортогональны (при условии | a | ≠ 0 ≠| b |).
Из определения скалярного произведения следует, что |
|
||||
cos(a ,b) = |
(a ,b) |
. |
(2.9) |
||
|
|||||
|
|
| a || b | |
|
||
Проекция вектора a на ось, сонаправленную с вектором b , может быть |
|||||
найдена по формуле |
|
|
|
|
|
Пр |
b |
a = (a ,b) . |
(2.10) |
||
|
| b | |
|
|||
|
|
|
|||
Если векторы a (x1 ; y1 ; z1) , b (x2 ; y2 ; z2 ) заданы координатами в ортонор-
мированном базисе, то
(a ,b) = x1x2 + y1 y2 + z1z2 . |
|
|
|
|
|
|
(2.11) |
|||
Пример 2.5. Найти угол между векторами a (4;−1;−1) |
и b(2;− 2;1) . |
|||||||||
Р е ш е н и е . Согласно формулам (2.9) и (2.11), |
|
|
|
|
|
|||||
cos(a ,b) = |
(a ,b) |
= |
4 2 −1 (−2) −1 1 |
|
= |
9 |
|
= |
2 |
, |
|
16 +1 +1 4 + 4 + |
|
|
|
2 |
|||||
|
| a || b | |
1 9 2 |
|
|
|
|||||
откуда (a ,b) = π4 .
66
Пример 2.6. Найти длину вектора a = 2 p −3q , если | p | = 3 , | q | = 2 ,
( p, q) = π3 .
Р е ш е н и е . Используя свойство 4) скалярного произведения, имеем:
| a | = a 2 = (2 p −3q )2 .
Применяя далее свойства 1) – 3), находим
(2 p −3q )2 = 4 p 2−12( p, q) +9q 2 = 4 | p |2−12 | p || q | cos( p, q) +9 | q |2 = |
|
= 4 9 −12 3 2 1 +9 4 = 36 . |
|
2 |
|
Следовательно, | a | = 6 . |
|
Пример 2.7. Найти вектор единичной длины, |
ортогональный векторам |
m (2;−1;− 2) и n (1;1;− 4) . |
|
Р е ш е н и е . По свойству 5) скалярного произведения, для любого век- |
|
тора p(x; y; z) , ортогонального векторам m и n , |
выполняются равенства |
( p, m) = 0 и ( p, n) = 0 . Кроме того, по условию | p | = |
x2 + y2 + z2 =1. Выражая |
скалярные произведения векторов через их координаты, получим систему уравнений
2x − y − 2z = 0,x + y − 4z = 0,
x2 + y2 + z2 =1,
решив |
которую, |
найдем |
|
два противоположно направленных вектора |
|||||||||
p |
2 |
; |
2 ; 1 |
|
и |
p |
|
− 2 |
;− 2 |
;− |
1 |
|
, удовлетворяющих условию задачи. |
1 |
|
|
3 3 |
|
|
2 |
|
3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задачи для самостоятельного решения
2.21. Построить точку M (4;−3;5) и определить длину и направление ее
радиус-вектора.
67
2.22.Даны точки A(1;2;3) и B(3;− 4;6) . Построить вектор AB , найти его проекции на оси координат и определить его направление.
2.23.Разложить вектор a по базису i , j, k , если он образует с осями ко-
ординат Ox, Oy, Oz углы α = |
π |
, β = |
2π |
, γ |
= |
π |
соответственно, и | a |= 4 2 . |
|
4 |
|
3 |
|
|
3 |
|
2.24. Вектор a образует углы α = 60 |
и γ = 45 с осями Ox и Oz соответ- |
||||||
ственно. Найти: а) угол β , который образует вектор a с осью Oy , если извест-
но, что он тупой; б) координаты вектора a , если | a | = 2 .
2.25. Найти координаты вектора a , образующего равные острые углы с
осями координат, если a 2 =12 . |
|
|
|
|
2.26. Найти скалярное |
произведение |
векторов a = 6i +3 j − 4k |
и |
|
b = 4i − 2 j + 2k . |
|
|
|
|
2.27. Известно, что | a |=1, |
| b | = 2 , (a ,b) = |
π . Найти: |
|
|
|
|
3 |
|
|
а) (a , a + 2b) ; б) (a − 2b ,3a +b) ; в) | 2a −3b | . |
|
|
|
|
2.28. Найти скалярное произведение векторов a и b , если a = 2 p −3q и |
||||
b = 4 p + q , где p и q – единичные ортогональные векторы. |
|
|
||
2.29. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + q |
и b = 3 p − 2q , |
|||
если | p |= 2 , | q |= 3, и ( p, q) = π . |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2.30. Найти длину вектора a = 4 p − q , если | p |=1, | q |= 3 |
и ( p, q) = |
π . |
||
|
|
|
|
6 |
2.31. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векто-
рах a = 2 p + q и b = p − 2q , где | p |=| q |=1, и ( p, q) = π3 .
2.32.Найти угол между векторами a (−1;4;1) и b(1;2;2) .
2.33.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a(6;−1;1) и b(2;3;1) .
68
2.34. Найти угол между векторами a = 3 p + 2q и b = p +5q , где p и q –
единичные ортогональные векторы.
2.35. Найти угол между векторами a = p − q и b = 2 p + 4q , где p и q –
единичные векторы, и ( p, q) = 23π .
2.36.Найти угол между биссектрисами углов xOy и xOz .
2.37.Из вершины квадрата проведены две прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол между этими прямыми.
2.38.Найти угол между биссектрисами двух плоских углов треугольной пирамиды, имеющих общую вершину, если все ребра пирамиды равны.
2.39. Даны |
точки |
A(2;−3;4), B(5;−5;− 2), C(1;2;3), D(7;4;6) . |
Найти |
||
ПрCD AB . |
|
|
|
|
|
2.40. Даны |
векторы |
a(1;−1;4) и |
b(1;1;2) . Вычислить Прb a и |
||
Прa b . |
|
|
|
|
|
2.41. Найти проекцию вектора a(2;−3;4) на ось, |
образующую равные |
||||
углы с осями координат. |
|
|
|
|
|
2.42. При каком значении λ векторы |
p(−λ;3;2) |
и q(1;2;−λ) |
ортого- |
||
нальны? |
|
|
|
|
|
2.43.Найти векторы единичной длины, перпендикулярные оси Ox и век-
тору a (5;−3;4) .
2.44.Найти вектор единичной длины, перпендикулярный оси Oz и вектору a(12;5;−13) и образующий острый угол с осью Ox .
2.45. Найти вектор единичной длины, ортогональный векторам a(1;−3;0) и b (−3;3;4) и образующий тупой угол с осью Oy .
2.46. Найти все векторы, ортогональные векторам a (1;1;−1) и b (1;−5;1) .
69