3

4

(4x +3)dx

−x2

4tg 3 (x) dx

6.179.

−

dx .6.180.

. 6.181. −2xe

dx . 6.182.

.

2

2

2

1− x2

1+ x

1+

3x + 2x

cos

x

6.183. −5sin 5xdx .

6.184. 19,56.

6.185. 0,4557. 6.186. 0,8072.

6.187. 5,9777.

6.188. 1,4948.

6.193.1.

6.194. 1,1396.

6.195. 0,0349.

6.196. –0,02.

6.197. 33,30 .

6.198.

47,90 .

6.199.

75,6.

6.200.

0,3196.

Глава 7

7.1. с =

2,25.

7.2. нет. 7.3. Применима. 7.4. Применима. 7.5. а) c = ln−1 2;

4

−π

2

π

15

23

c = −0,5 .

б) c =

. 7.6. а) c =

4

; б) c =

. 7.7.

4

π

7.8. arcsin(2x0 + 2

x) − arcsin(2x0 ) = 2

x(1 − 4c2 )

−

c (x0 , x0 +

x).

2 ,

7.11. y = 7 +11(x −1) +10(x −1)2 + 6 ξ (x −1)3, где ξ (1, x).

7.12. y = x −

x3

+ R (x). 7.13. а) ex =1 + x +

x2

+

x3

+

x4

+ R (x);

6

4

2!

3!

4!

5

б) sin x = x −

x3

+ R (x); в) cos x =1−

x2

+

x4

+ R (x);

3!

5

2!

4!

5

г) ln(1 + x) = x −

x2

+

x3

+

x4

+ R (x);

д)

(1+ x)−2 =1−2x +3x2 −4x3 +5x4 + R (x).

2

3

4

5

5

7.14. а) 0,5; б) 0,25. 7.16.

1

. 7.17. –1. 7.18.

. 7.19. 4. 7.20. −

2 . 7.21. ln1,5.

108

16

7

5

7.22.

3

. 7.23.

−

1

. 7.24.

1

. 7.25.

2

6

. 7.26. 2. 7.27.

5

3

6

6

3

0,5 ln

. 7.28. 6. 7.29. 1.

3

при

x (−∞;−1) (7; +∞).

7.56. Возрастает при всех х. 7.57. Убывает при

−∞;

3

, возрастает

при

3

7.58. Убывает при x (1;+ ∞) ,

x

2

x

;+ ∞ .

2

возрастает

при

x (−∞;1).

7.59.

Убывает

при

x (0;+ ∞).,

возрастает

при

x (−∞;0) .

7.60.

1

возрастает

при

x

1

;

Убывает при x −∞;

,

3

+ ∞ .

3

7.61. Убывает при

x (0;+ ∞).,

возрастает при

x (−∞;0) .

7.62. Убывает при

0;

1

1

7.63.

Убывает при x (−∞; −1) (1; +∞) ,

x

e

, возрастает при x

; +∞ .

e

возрастает

при

x (−1;1) .

7.64.

Убывает

при x

8

;3

возрастает

при

7

,

8

(3; ∞). 7.65. Убывает при x (0;1) (1;e) , возрастает при x (e; +∞).

x

−∞;

7

7.66. Убывает при

3

3

7.67. Убывает при

x

2

; 2 , возрастает при

x 0;

.

2

0;

1

,

возрастает при

1

при всех

х.

7.69.

x

2

x

; + ∞ . 7.68. Возрастает

2

Убывает

при всех

х.

7.70.

x = 2

точка минимума.

7.71.

x = 4

точка

x = 2

точка максимума. 7.74. x =1 точка максимума, x = 5 точка минимума.

7.75.

x = −1

точка максимума, x = 3 точка минимума. 7.76. x = − 1

точка

2

минимума,

x = 1

2

точка максимума,

x = 2 точка минимума. 7.79. x = 0 точка минимума,

x = 6

x = 2

точка максимума. 7.83.

x = 0 точка минимума. 7.84. x = 0 точка максимума.

7.85.

x = − 1

точка

минимума,

x =

1

точка

максимума.

7.86.

2

2

x = −π

+ 2πn, n z точки минимума,

x =

3π

+ 2πn, n z точки максимума. 7.87.

4

x = 2πn, n z точки максимума,

x =π + 2πn, n z

точки минимума.

7.88.

x = e точка максимума,

7.89. x = 0 точка минимума.

7.90. Экстремумов нет.

7.91. Экстремумов нет. 7.92. x = −1 точка минимума,

x =1 точка максимума.

7.93. Экстремумов нет. 7.94.

x = ±1

точка

максимума.

7.95. x =8

точка

максимума.

7.96.

Наименьшее значение

y(−2) = −73,

наибольшее значение

y(1) =8 .

7.97.

Наименьшее значение

y(2) = −7 ,

наибольшее значение

y(4) =13 .

7.98.

Наименьшее значение

4

= −

32

,

наибольшее значение

y(2) = 0 .

y

27

3

7.99.

Наименьшее значение

1

=1,75 ,

наибольшее значение

y(2) = 58 .

y

2

7.100.

Наименьшее значение

y(2) = −29 ,

наибольшее значение

y(−2) = 35 .

7.101.

Наименьшее значение

y(−2) = −21,

наибольшее значение

y(2) = 7 .

7.102.

Наименьшее значение

y(2) = −1,

наибольшее значение

y(0) = 3.

7.103.

Наименьшее значение

y(3) = 2 ,

наибольшее значение

y(1) = 10 .

3

7.104.

Наименьшее значение

y(1) = −2 ,

наибольшее значение

y(0) = 0 .

7.105.

Наименьшее значение

y(3) = 4,5,

наибольшее значение

y(2) = 8 .

7.106.

Наименьшее значение

y(1) = −3,

наибольшее значение

y(0) = 0 .

7.107.

Наименьшее значение

y(1) = −1,

7.108.

Наименьшее значение

y 1 = 5 ,

наибольшее значение

y(1) = 7 .

4

7.109.

Наименьшее значение

y(−1) = −1,

наибольшее значение

y(0) =1.

7.110.

Наименьшее значение y(3) =

7 , наибольшее значение y(0) = y(6) = 4 .

7.111. Наименьшее значение

y(2) = ln 4 − 2 , наибольшее значение

y(1) = ln 2 .

7.112. Наименьшее значение

π

= −

π

, наибольшее значение

−

π

=

π

.

y

2

y

2

2

2

7.113. Наименьшее значение

y(0) = 0 , наибольшее значение

π

=

π

−1.

y

4

2

7.114. Наименьшее значение

π

7π

= −1,5 , наибольшее значение

y

−

=

6

6

π

= 3 . 7.119.

12 = 6 + 6.

7.120. 16

= 4 4 . 7.121. 1 : 2. 7.122. (1; 1).

y

2

7.123.

α

= 2

2π .

7.124. D = H = 10 см.

7.125. 4 4 2 .

7.126.

Функция

3

выпукла при

x (−∞;1) , вогнута при

x (1;+∞),

x =1 точка перегиба.

7.127.

Функция

выпукла

при

x (−1;1) ,

вогнута

при

x (−∞; −1) (1;+∞),

x = ±1

точки

перегиба. 7.128.

Функция

выпукла

при

x (−∞;1) , вогнута при

x (1;+∞),

x =1

точка

перегиба.

7.129.

Функция

выпукла

при

x (−∞; −3) (2; +∞) ,

вогнута

при

x (−3;2),

x = 2,

x = −3

точки

перегиба.

7.130.

Функция выпукла при

x (−2; 2) ,

вогнута при x (−∞; −2) (2; + ∞) ,

x = ±2

x (−2; +∞) ,

x = −2

точка

перегиба.

7.132.

Функция

выпукла

при

5

5

при

−

5

;

5

x = ±

5

точки

x −∞; −

; +∞ , вогнута

x

,

12

12

12

12

12

перегиба.

7.133. Функция выпукла при

x (−∞; −3 0,5) (0;1), вогнута при

x (−3 0,5;0) (1; +∞) ,

x = 0, x =1, x = −3 0,5

точки перегиба.

7.134. Функция

выпукла

при

x (−∞; −

1,5) (0;

1,5), вогнута

при

x (−

1,5;0) ( 1,5; + ∞),

x = 0,

x = ± 1,5

точки

перегиба.

7.135. Функция выпукла

при

x (1; + ∞),

вогнута при

x (−∞;1),

x (0; 1),

вогнута

при

x (1; + ∞),

x =1

точка

перегиба.

7.137.

Функция

выпукла

при

x (0; e1,5 ),

вогнута

при x (e1,5 ; +∞),

x = e1,5

точка

перегиба.

7.138. Функция выпукла при

x (−∞; −1) (1; +∞). 7.139. Функция выпукла

при x (0; e−1,5 ), вогнута при

x (e−1,5 ; +∞), x = e−1,5 точка перегиба. 7.140.

x =1 вертикальная асимптота, y =1 горизонтальная асимптота.

7.145. x = 2

вертикальная асимптота, y = 2x +5 наклонная асимптота.

7.146. y = 2

x → +∞,

y = −2x при

x → −∞.

7.148.

7.149.

y = x − 1

при

x → +∞,

y = −x +

1 при

7.151.

2

2

x = 0 вертикальная асимптота,

7.185. 2000.

7.186. 1600.

7.187. 200.

7.188. 1000.

7.189. 20.

7.190. 50.

′

1

′

1

′

= 0 ,

′

= −

.

7.196.

R = 2394,

12

P (900) = 3 ,

P (1600) = 8 ,

P (2500)

P (3600)

′

1

20

2

1

R (14)

= 2416

. 7.197. −

3 . 7.198. –0,0003.

7.199. −

23 . 7.200.

−

3 . 7.201. −

.

38

7.202.

а)

уменьшится

на 0,4%;

б) уменьшится

на

2%.

7.203.

1;

40 .

9

7.204.

;

2

. 7.205. 0; 2. 7.206. 0,5;

0,5. 7.207. 1;

0,5.

7.208.

ax

.

10

35

(ax +b)

7.209.

(ad −bc)x

7.210. n .

;

(ax +b)(cx + d)