Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4604 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский государственный экономический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
сборник выс мат часть 1(2013).pdf
Скачиваний:
144
Добавлен:
20.02.2016
Размер:
2.2 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

6.2. Производная сложной функции

Пусть y = f (ϕ(x))

– сложная функция. Если

промежуточная функция

u =ϕ(x)

имеет производную в точке x0 , а функция

y = f (u)

имеет производ-

ную в точке u0 = ϕ(x0 ) ,

то

функция

y = f (ϕ(x)) имеет производную в точке

x0 , и y′(x0 ) = f ′(u0 ) ϕ′(x0 ) , или y′x = yu′

u′x .

 

 

Пример 6.4. Найти производную функции y = sin3 (2x +1) .

Р е ш е н и е. Пусть y = u3 , где u = sin(2x +1) . Тогда

 

y′ = (u3 )′ u′ = 3u2 u′= = 3sin 2 (2x +1) (sin(2x +1))′.

 

 

Обозначим,

 

sin(2x +1) = sin v ,

где v = 2x +1.

Тогда

(sin(2x +1))′ =

′

v

′

= cosv v

′

= cos(2x +1) (2x +1)

′

= 2 cos(2x +1) .

 

= (sin v)

 

 

 

 

Окончательно, y′ = 3sin 2 (2x +1) 2 cos(2x +1) = 6 sin 2 (2x +1) cos(2x +1) .

Пример 6.5. Найти производную функции y = ln(x2 +3x +5) .

Р е ш е н и е.

 

Пусть y = ln(u) , где u = x2 +3x +5 .

 

 

 

 

 

 

1

 

(x2 +3x +5)′

 

 

 

2x +3

 

 

y′ = (ln u)′ u′

= u u′

=

 

x2 +3x +5

=

 

 

.

 

 

 

 

x2 +3x +5

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Найти производные функций.

6.46.

y = sin 3x ;

6.47.

y = cos(a −bx) ;

6.48.

y = 5x −1;

6.49.

y = 3

(2x +3)2 ;

6.50.

y = ln(6x +5) ;

6.51.

y = arccos(3x −1) ;

6.52.

y = ctg(3x) ;

6.53.

y = 2x + 2−x ;

6.54.

y = ln3 x ;

6.55.

y =

(x2 +1) ;

6.56.

y = e2 x−x2 ;

6.57.

y =10sin x ;

256

6.58.

y = e−x2 ;

 

6.60.

y = (2x + 4)6 ;

6.62.

y = ln(x +

4 + x2 );

6.64.

y = cos 3x e2 x ;

6.66.

y = cos(10x +10−x );

6.68.

y = x

x2 +1 ;

6.70.

y = 3 1+cos 6x ;

6.72.

y =

2x −sin 2x ;

6.74.

y = tg(cos 2x) ;

6.76.

y = e

x2 +x+2 ;

6.78.

y = 3x ln x ;

 

6.80.

y = arctg(ctg(x2 +1));

6.82.

y = sin 2

x

sin 4x ;

 

 

 

2

 

6.84. y = A e−bx cos(kx + p) ;

6.86. y =

cos3x

;

 

e2x +ex

 

 

 

 

6.88. y = log2 ln x ;

 

6.90. y =

1−tg 2

x

;

 

 

2

 

6.92. y = x2 1+

x ;

6.94. y = arccos(

1−2x );

6.96. y = ex sin 2 x cos x ;

6.59. y = x e−x2 ;

6.61. y = arcsin3 ( x );

6.63.y = ln 1+ x ;

1− x

6.65. y = 3cos2 x ;

 

6.67.

y =

sin 2

x

;

cos3

x

 

 

 

6.69.

y = sin 4 x +cos4 x ;

6.71.

y = (x2 −2x +3)4 ;

6.73.

y = sin(e3x );

6.75.

y = 5arccos(3x) ;

6.77. y = ctg(x cos x);

6.79. y = ln

e2 x

4 +e2 x ;

6.81. y = lg(x2 −cos x);

6.83. y = 32x ;

6.85. y = ln(x2 − 4x);

6.87. y = ln sin 3 x ;

6.89.y = arctg3 1 ;

x

6.91. y = arctg

1+ x

;

 

1− x

 

6.93. y = 3 2 + x

x +1 ;

6.95. y = ln(ex cos x + e−x sin x);

6.97. y = x 1+ x2 cos x ;

257

6.98.y = ln cos arctg ex +e−x .

2

6.3Логарифмическая производная и производная неявной функции

Логарифмической производной функции y = f (x) называется производ-

 

′

 

′

 

 

f (x)

ная от логарифма этой функции, т.е. (ln f (x))

=

 

.

f (x)

Функция y = f (x)

задана неявно

уравнением F(x; y) = 0 , если

F (x, f (x)) = 0 для всех x

из некоторого интервала. Для вычисления производ-

ной функции заданной неявно необходимо продифференцировать по x уравнение F(x; y) = 0 , считая y функцией от x , и из полученного уравнения выразить производную y′.

Пример 6.5. Найти производную функции y = f (x) g ( x) .

Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию z = ln y = ln f (x) g ( x) = g(x) ln f (x) .

Так

как z′ =

y′

 

 

y′ = y z′. С

другой стороны, z = g(x) ln f (x) и

 

,

имеем

y

 

 

 

 

 

 

 

f

′

 

 

 

z

′

 

′

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= g (x) ln f (x) + g(x) f (x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

Следовательно,

y

′ = f (x)g ( x) g′(x) ln f

(x) + g(x)

f (x)

.

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6.6. Найти производную функции y = xcos x .

Р е ш е н и е. Рассмотрим z = ln y = cos x ln x

z′ = (cos x ln x)′ = −sin x ln x +cos x 1x ;

y′ = y z′ = x

cos x cos x

 

 

x

−sin x ln x .

 

 

 

Пример 6.7. Найти производную функции y , заданной неявно уравнени-

ем x3 + y3 −2xy = 0 , в точке M (1; 1) .

258

Р е ш е н и е. Продифференцируем равенство x3 + y3 −2xy = 0 по x , счи-

тая y функцией от x : 3x2 +3y2 y′− 2 y − 2xy′ = 0 .

Выразим из этого равенства

y′:

y′(3y2 −2xy)= 2 y −3x2 , y′ =

2 y −3x2

 

.

3y2 −2x

Чтобы получить значение производной в точке M (1; 1) необходимо подставить

 

′

 

2 −3

 

 

в полученное выражение x =1, y =1:

y (1) =

 

= −1.

 

 

3 −2

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Найти производные функций.

6.99.

y = (x2 +1)3x ;

 

6.100. y = (sin x)cos x ;

 

 

4

 

 

 

 

 

 

6.101. y = (x +1)

 

;

 

6.102. y = xln x ;

 

x

 

 

6.103. y = (tg2x)2x ;

 

6.104. y = (ctg3x)x2 −x ;

 

6.105. y = (x)x4 ;

 

6.106. y = 2x x ;

 

6.107. y =x3 ex sin 3x

x2 + 4 ;

6.108. y = (x + 2)3 x2 + x +1

;

 

 

 

 

 

 

 

(2x −1)2

 

6.109. y = x2 cos x

1+ex ;

6.110. y = (x)2x3x .

 

 

Найти производные функций, заданных неявно.

 

6.111. y2 − 4 y = 4x2 ;

 

6.112. 4 + xe y − 2 y = 0 ;

 

6.113. y + x = arctgy ;

 

6.114. x sin y + cos y = x2 ;

 

6.115. x3 − x2 y + xy2 + y3 = 0 ;

6.116. 2 y ln y = x2 ;

 

6.117. cos y − y = x ;

 

6.118.

x + y

=1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x − y

 

6.119.

xy = x −2 y .

 

 

 

 

 

259

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности