- •Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры Основы аналитической геометрии
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.6. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •2.6. Контрольные задания к главе 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.4. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.6. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. Пределы и непрерывность
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к разделу II
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.4. Геометрический и механический смысл производной. Производные высших порядков
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теорема о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •ОТВЕТЫ
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Содержание
5.5. Сравнение бесконечно малых
Пусть α =α(x) и β = β(x) есть бесконечно малые функции при x → x0 ,
т.е. lim α(x) = lim β(x) = 0 . Для сравнения при x → x0 двух данных бесконечно
x→x0 x→x0
малых функций находят предел их отношения lim α(x) .
x→x0 β(x)
1. Если lim α(x) = 0 , то функция α(x) называется бесконечно малой более
x→x0 β(x)
высокого порядка, чем β(x) при x → x0 . В этом случае пишут α(x) = o(β(x)) , x → x0 (читается: α(x) есть «о малое» от β(x) при x → x0 ).
2. Если lim α(x) = C , где C – число, отличное от нуля, то функции α(x) и
x→x0 β(x)
β(x) называются бесконечно малыми одного порядка при x → x0 , в частности
если lim |
α(x) |
=1, то функции α(x) и β(x) называются эквивалентными беско- |
||
x→x0 |
β(x) |
|
|
|
нечно малыми при x → x0 , что обозначается так: α(x) β(x) , x → x0 . |
||||
Если lim |
α(x) = ∞, то это означает, что |
lim |
β(x) = 0 . Таким образом, β(x) |
|
|
x→x0 |
β(x) |
x→x0 |
α(x) |
является бесконечно малой более высокого порядка, чем α(x) при x → x 0 ,
т.е. β(x) = o(α(x)) .
При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при x → 0 :
sin x x , tg x x , arcsin x x , arctg x x ;
loga (1 + x) lnxa = xloga e , где a > 0, a ≠1, в частности ln(1 + x) x ; ax −1 xln a , где a > 0, в частности ex −1 x ;
(1 + x)m −1 mx .
229
Кроме того, имеет место следующий факт: если α(x) α1(x) , β(x) β1(x)
при x → x , и существуют пределы lim α(x)β(x) и lim α(x) , то справедливы |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
x→x0 |
x→x0 β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
равенства |
|
|
|
|
|
|
||
lim α(x)β(x) = lim α1 (x)β(x) = lim α(x)β1 (x) = lim α1 (x)β1(x) , |
||||||||
x→x0 |
|
|
x→x0 |
|
x→x0 |
x→x0 |
||
lim |
α(x) |
= lim |
α1 (x) |
= lim |
α(x) |
= lim |
α1 (x) . |
|
β(x) |
β1(x) |
|||||||
x→x0 |
x→x0 |
β(x) |
x→x0 |
x→x0 |
β1(x) |
|||
|
|
|
|
Таким образом, предел произведения или частного двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую, или одну из них, заменить эквивалентной бесконечно малой.
Пример 5.14. Сравнить бесконечно малые при x → x0 величины α(x) и
β(x) , если
1)α(x) = x3 −6x4 +9x2 , β(x) = 5x4 − x2 , x0 = 0 ,
2)α(x) = xsin3 x , β(x) = 5x2 sin x , x0 = 0 ;
3)α(x) = (x −1)ln x , β(x) = (x −1)2 , x0 =1;
Решение: 1) Найдем предел отношения
lim |
α(x) |
= lim |
x3 |
−6x4 +9x2 |
= lim |
x −6x2 +9 |
= 9 . Предел отношения двух дан- |
β(x) |
|
5x4 − x2 |
5x2 −1 |
||||
x→x0 |
x→0 |
|
x→0 |
|
ных бесконечно малых функций является числом, отличным от нуля, следовательно, α(x) и β(x) есть бесконечно малые одного порядка при x → 0 .
|
2) Поступая, как в пункте 1), находим |
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
α(x) |
= lim |
xsin3 x |
= lim |
sin2 x |
= |
1 |
lim |
sin x |
sin x = |
1 |
1 |
0 |
= 0 ,следовательно |
β(x) |
5x2 sin x |
5x |
|
x |
5 |
|||||||||
x→x0 |
x→0 |
x→0 |
|
5 x→0 |
|
|
|
|
α(x) = o(β(x)) при x → 0 .
3)Имеет место цепочка равенств
lim |
α(x) |
= lim |
(x −1)ln x |
= lim |
ln x |
|
= lim ln(1 + (x −1)) |
=1, откуда следует вывод о |
||
β(x) |
(x −1)2 |
x −1 |
||||||||
x→x0 |
x→1 |
x→1 |
x→1 |
x −1 |
|
том, что α(x) β(x) , при x →1.
230
Пример 5.15. Заменяя бесконечно малые эквивалентными, вычислить пре-
делы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1) lim sin 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x→0 |
5x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2) lim ln(1 + 6xarcsin x)sin 5x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
(ex −1)tgx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3) lim |
ln(x2 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x4 − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Решение: 1) Поскольку sin 2x 2x , 5x −1 xln 5 при x → 0 , справедливы |
|||||||||||||||||||||||||||||
равенства lim sin 2x = lim |
2x |
|
= |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
xln 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 5x −1 |
x→0 |
|
|
|
ln 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2) Замечая, что 6xarcsin x → 0 при x → 0 , получим цепочку эквивалентно- |
|||||||||||||||||||||||||||||
стей: ln(1 + 6xarcsin x) 6xarcsin x 6x2 , а также sin 5x 5x , (ex −1) x , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
tgx |
2 |
x |
2 |
при x |
→ 0 , поэтому lim |
ln(1 + 6x arcsin x)sin 5x |
= lim |
6x2 5x |
= 30 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(ex −1)tgx2 |
|
|
|
x x2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
3) При x →1 имеем x2 −1 → 0 , поэтому ln x2 = ln(1 + (x2 −1)) x2 −1, откуда |
|||||||||||||||||||||||||||||
получаем равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
ln(x2 ) |
= lim |
ln(1+ (x2 −1)) |
= lim |
|
|
|
x2 −1 |
|
= lim |
|
1 |
|
= |
1 |
. |
|
|||||||||||||||
|
x4 −1 |
(x2 −1)(x2 +1) |
|
2 −1)(x2 +1) |
|
2 +1 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
x→1 |
|
|
x→1 (x |
|
x→1 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
Сравнить бесконечно малые при x → x0 |
величины α(x) |
и β(x) , если |
|||||||||||||||||||||||||||
5.119. α(x) = x2 sin2 x , β(x) = xsin3 x , |
|
x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.120. α(x) = x3 − 4x , |
β(x) = x + x |
4 , x |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.121. α(x) = (x −5)2 , |
β(x) = (x −5)3 , |
x = 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.122. α(x) = sin(x −1)2 , β(x) = arcsin(x −1) , |
x =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.123. α(x) =1 −cos x , β(x) = |
x2 |
|
, |
x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
231
5.124. α(x) = 4x −1, β(x) = 5x −1, x0 = 0 .
Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые:
5.125. lim tg 6x . |
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|||
5.127. lim ln(1 + 2x) . |
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
arcsin 3x |
|
|
|
|
|
|
|||
5.129. lim |
cos x −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
sin2 2x |
|
|
|
|
|
|
|||
5.131. lim |
|
tgx −sin x |
|
. |
|
|
|
|
||
|
x(1 −cos 2x) |
|
|
|
|
|||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||
5.133. lim |
4 + x − 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
3arctg x |
|
|
|
|
|
|
|||
5.135. lim ln cos ax . |
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
ln cosbx |
|
|
|
|
|
|
|||
5.137. lim |
sin(ex−1 −1) |
. |
|
|
|
|
|
|||
ln x |
|
|
|
|
|
|||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
||||
5.139. lim |
(7x −1)(2x −1) |
. |
|
|
|
|||||
(4x −1)(3x −1) |
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
|
|
||||||
5.141. lim |
|
arctg2 3xln(1 − x3 ) |
. |
|||||||
|
tg9x(1 −cos 2x)(ex |
2 |
−1) |
|||||||
x→0 |
|
|
||||||||
5.143. lim |
ln(1 + x −3x2 + 2x3 ) |
. |
|
|||||||
ln(1 +3x − 4x2 + x3 ) |
|
|||||||||
x→1 |
|
|
5.145. lim 3 8 +3x − 2 . x→0 4 16 +5x − 2
5.147. lim ln(2 −cos 2x) . x→0 ln2 (sin 3x +1)
1
5.149. lim(cos 2x) x2 .
x→0
5.126.
5.128.
5.130.
5.132.
5.134.
5.136.
5.138.
5.140.
5.142.
5.144.
5.146.
5.148.
5.150.
lim |
|
xarcsin 3x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
5sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
x + 4 − 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→0 |
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 −cos3 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x(1 −tgx) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→π |
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
ln cos x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ln(1 + x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
|
1 + x2 |
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 −cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
|
1 +sin 3x −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→0 |
|
|
ln(1 + tg 2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim arctg(x − 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→2 |
|
|
x2 − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
sin 3 |
x ln(1 +3x) |
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
(arctg |
x)2 |
(e5 |
3 |
x |
− |
1) |
|
||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
5 (1 + x)3 −1 |
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x→0 (1 + x) 3 (1 + x)2 −1 |
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
1 + x + x2 |
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
ln(1 + 2x −3x2 + 4x3 ) |
. |
|||||||||||||||
|
|
ln(1 − x + 2x2 − |
7x3 ) |
||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(cos x) x .
x→0
232