5.5. Сравнение бесконечно малых

Пусть α =α(x) и β = β(x) есть бесконечно малые функции при x → x0 ,

т.е. lim α(x) = lim β(x) = 0 . Для сравнения при x → x0 двух данных бесконечно

x→x0 x→x0

малых функций находят предел их отношения lim α(x) .

x→x0 β(x)

1. Если lim α(x) = 0 , то функция α(x) называется бесконечно малой более

x→x0 β(x)

высокого порядка, чем β(x) при x → x0 . В этом случае пишут α(x) = o(β(x)) , x → x0 (читается: α(x) есть «о малое» от β(x) при x → x0 ).

2. Если lim α(x) = C , где C – число, отличное от нуля, то функции α(x) и

x→x0 β(x)

β(x) называются бесконечно малыми одного порядка при x → x0 , в частности

является бесконечно малой более высокого порядка, чем α(x) при x → x 0 ,

т.е. β(x) = o(α(x)) .

При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при x → 0 :

sin x x , tg x x , arcsin x x , arctg x x ;

loga (1 + x) lnxa = xloga e , где a > 0, a ≠1, в частности ln(1 + x) x ; ax −1 xln a , где a > 0, в частности ex −1 x ;

(1 + x)m −1 mx .

229

Кроме того, имеет место следующий факт: если α(x) α1(x) , β(x) β1(x)

Таким образом, предел произведения или частного двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую, или одну из них, заменить эквивалентной бесконечно малой.

Пример 5.14. Сравнить бесконечно малые при x → x0 величины α(x) и

β(x) , если

1)α(x) = x3 −6x4 +9x2 , β(x) = 5x4 − x2 , x0 = 0 ,

2)α(x) = xsin3 x , β(x) = 5x2 sin x , x0 = 0 ;

3)α(x) = (x −1)ln x , β(x) = (x −1)2 , x0 =1;

Решение: 1) Найдем предел отношения

ных бесконечно малых функций является числом, отличным от нуля, следовательно, α(x) и β(x) есть бесконечно малые одного порядка при x → 0 .

α(x) = o(β(x)) при x → 0 .

3)Имеет место цепочка равенств

том, что α(x) β(x) , при x →1.

230

Пример 5.15. Заменяя бесконечно малые эквивалентными, вычислить пре-

231

5.124. α(x) = 4x −1, β(x) = 5x −1, x0 = 0 .

Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые:

232