5.6. Односторонние пределы

Определение левого и правого пределов функции в точке. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой правой полуокрестности точки x0 , т.е. на не-

котором интервале (x0 ; x0 +δ) , где δ > 0 .

Первое определение односторонних пределов функции (по Коши, или «на языке ε −δ »):

1) Число A называется пределом справа функции f (x) в точке x0 (или пра-

восторонним пределом), если для любого сколь угодно малого положительного

2) Число A называется пределом слева функции f (x) в точке x0 (или лево-

сторонним пределом), если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое число δ > 0 , что для всех x , таких, что 0 < x0 − x <δ ,

выполнено неравенство f (x) − A <ε .

Обозначения: lim f (x) = A или f (x0 −0) = A.

x→x0 −0

Первое определение односторонних пределов функции равносильно второ-

му определению (по Гейне или «на языке последовательностей»):

Число A называется пределом справа функции f (x) в точке x0 (или право-

сторонним пределом), если для всякой последовательности xn значений аргу-

мента, стремящейся к x0 и такой, что xn > x0 для любого n , соответствующая последовательность значений функции f (xn ) сходится к A .

233

Число A называется пределом слева функции f (x) в точке x0 (или лево-

сторонним пределом), если для всякой последовательности xn значений аргу-

мента, стремящейся к x0 и такой, что xn < x0 для любого n , соответствующая последовательность значений функции f (xn ) сходится к A .

Пример 5.16. Найти односторонние пределы функций:

справа (см. рис 5.1).

y

Рис.5.1.

234

Задачи для самостоятельного решения

Найти левый и правый пределы функции при x → x0 :

Найти пределы

236