- •Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры Основы аналитической геометрии
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.6. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •2.6. Контрольные задания к главе 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.4. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.6. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. Пределы и непрерывность
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к разделу II
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.4. Геометрический и механический смысл производной. Производные высших порядков
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теорема о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •ОТВЕТЫ
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Содержание
|
x +1 |
1 |
|
||
5.197. f (x) = |
|
. |
5.198. f (x) = |
|
. |
x3 + 6x2 +11x + 6 |
x4 − 26x2 + 25 |
5.8.Контрольные задания к разделу II
1.Найти область определения функции
1.y = −x2 + x + 6 ;
3.y = lg 3xx−+26 ;
5. |
y = |
|
8 −15x − x2 |
|
|||||||
|
|
x − 4 |
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
y = arccos |
x |
− |
−x2 +3x − 2 ; |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
9. |
y = |
|
|
3 − x |
; |
|
|||||
|
x2 − x − 2 |
|
|||||||||
11. |
y = |
1 |
|
|
|
; |
|
||||
ln(x2 − 2) |
|
|
|||||||||
13. |
y = |
3 |
|
|
2 − x |
; |
|||||
−2x2 +3x −1 |
|||||||||||
15. |
y = |
|
|
x +5 |
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
2. Построить график функции
1.y = 2cos(x +π) ;
3.y = sin 2x ;
5.y = 2x2 + 4x +3;
7.y = sin2 x +1;
2. |
y = |
lg(x2 −5x + 7) |
; |
|
|||
4. |
y = |
x −1 |
|
; |
|
|
|
x2 − x − 2 |
|
|
|||||
6. |
y = |
ln(x2 −7x +13) ; |
|
||||
8. |
y = |
5 − x + |
|
1 |
|
; |
|
|
x2 −3x + 2 |
=x −1
10.y lg x2 +5x + 4 ;
12.y = x +3 −ln(x2 +3x + 2) ;
14. y = 2arcsin 3x + 1 − x2 ;
2. |
y = |
1 |
− x +1 ; |
||
4. |
y = cos2 x ; |
||||
6. |
y = |
1 |
−ex+1 ; |
||
8. |
y = |
x + 2 |
; |
||
|
|||||
|
|
|
x +1 |
245
9. y = −x2 + 4x −1;
11. y = cos2 2x −sin2 2x +1;
13. y = 21−x −1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15. |
y = −x2 − 4x −1. |
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Найти пределы |
|||||||||||||||
1. |
а) lim |
2x2 −3x − 4 |
; |
||||||||||||
|
|
|
x4 +1 |
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
в) lim |
|
|
1 + 2x −3 |
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) lim |
|
3x −1 |
2 x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
3x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
а) lim |
|
|
(x −3)2 |
|
|
|
; |
|
|
|||||
5x3 − x + |
4 |
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
в) lim |
|
1 − x2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→−11 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
5 +3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
д) lim |
3x |
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
5 − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
а) lim |
|
|
|
2x − 2 |
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
x2 −3x + 2 |
|
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
||||||||||
в) lim |
|
|
9 + 2x −5 |
; |
|||||||||||
|
|
x2 −64 |
|
|
|||||||||||
|
x→8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
+1 |
2 x−x3 |
|
|
||||||||
|
д) lim |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
3 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
а) lim |
|
|
x2 +9 − |
|
|
x2 −9 ; |
||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
y = |
1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||
|
|
|
x −3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. |
y = |
|
ln(x −3) |
|
; |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
14. |
y = cos |
|
x |
|
|
|
; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
б) lim x2 −3x −10 ; x→5 x3 −125
г) lim |
1 −cos 2x |
; |
x→0 |
3x2 |
|
б) lim |
(x −3)3 |
|
; |
|
x2 − 4x +3 |
||||
x→3 |
|
|||
г) lim tg x −sin x |
; |
|||
x→0 |
xsin2 x |
|
|
x2 − 2x +1
б) lim 2x2 x 1 ; x→1 − −
г) lim |
x − xcos x |
; |
|
x2 tg 6x |
|||
x→0 |
|
x4 −16 б) lim x3 8 ;
x→2 −
246
в) lim |
sin 2x |
; |
|
x +16 − 4 |
|||
x→0 |
|
1
2 −3x x
д) lim . x→0 2 − 4x
5. |
а) lim |
|
|
x4 −1 |
|
; |
|||||
2x4 − x2 −1 |
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|||||||||
|
в) lim |
3 |
x +1 |
; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→−1 1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2x |
|
|
|
3x−1 |
|
|||
|
д) lim |
|
|
|
|
|
. |
||||
|
2x − |
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
3 |
|
6. |
а) lim |
|
|
2x2 − 4x + 7 |
|
; |
||||||||||
4x3 −5x2 + |
4x −1 |
|||||||||||||||
|
x→∞ |
|
||||||||||||||
|
в) lim |
|
x + 4 − 2 |
|
; |
|
|
|
||||||||
|
|
sin 2x |
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 −7x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 x |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
д) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
3 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
а) lim |
3x3 + 4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x + 2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) lim |
x2 + 2x −3 |
; |
|
|
|
||||||||||
|
3 |
x − |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
+3 |
x−x2 |
|
|
|
||||||||
|
д) lim |
x |
|
. |
|
|||||||||||
|
|
2 |
+1 |
|
||||||||||||
|
x→∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. |
а) lim |
5x3 − x2 + 4 |
; |
|
|
|||||||||||
x − x3 −15 |
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
в) lim |
tg x −sin x |
|
|
; |
|
|
|||||||||
|
x(1 −cos x) |
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
д) lim(5x + 2)(ln(x +10) −ln(x −1)) . |
|||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
а) lim( x2 + 2x − |
|
x2 − 2x) ; |
|||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim1 −cos8x ; x→0 1 −cos x
x2 + 4x +3
б) lim 2x2 x 1 ;
x→−1 + −
г) lim tg x +sin x ;
x→0 2x
б) lim |
|
x4 −1 |
; |
|
x2 |
−3x + 2 |
|||
x→1 |
|
г) lim 2xsin x ; x→0 1 −cos 4x
б) lim |
7x2 |
−8x +1 |
; |
|
13x2 |
−10x −3 |
|||
x→ |
|
sin(x −1) г) lim x2 1 ;
x→1 −
б) lim x2 − 2x −3 ; x→3 2x2 −7x +3
г) lim sin(1 − x) ; |
||
x→1 |
x |
−1 |
|
б) lim 3x3 −6x2 ; x→2 5x2 − 20
247
в) lim |
x − |
4 |
|
; |
x − 2 − |
|
|
||
x→4 |
|
6 − x |
5x3 − 2 2 x3 −1
д) limx→∞ 5x3 .
10. |
а) lim(x − |
x2 − x +1) ; |
||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) lim |
|
|
|
4 + x − 2 |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3arctg x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x −1 4 x−3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
д) lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11. |
а) lim |
x5 − x4 + x3 −1 |
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
x4 −5x5 +1 |
|
||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
в) lim |
|
|
|
x +1 − 2 |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x − 2 −1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
+ 2 |
5 x2 +6 |
|
||||||||||||||
|
д) lim |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12. |
а) lim |
0,1x2 − x +1 |
; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
в) lim |
|
|
|
x + 7 −3 |
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 − |
3 − x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
д) lim |
|
|
52+ x |
2 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 x |
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
13. |
а) lim |
|
|
|
x + 7 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2x2 − |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
в) lim |
|
|
x −16 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 x2 |
|
|
|
||||||
|
д) lim |
|
|
3x +1 |
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
3x |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
г) lim |
x(1 − tg x) |
; |
|
cos 2x |
|||
x→π |
|
||
4 |
|
|
б) lim |
3x2 |
+ x − 2 |
; |
|
x +1 |
||
x→−1 |
|
|
1 −cos3 x г) lim 4x2 ;
x→0
б) lim |
x3 |
+ x2 −3x +1 |
; |
|
|
x3 −1 |
|
||
x→1 |
|
|
1 −cos x г) lim 3x2 ;
x→0
б) lim |
x2 − 25 |
; |
|
||
2x2 −9x +5 |
|
||||
x→5 |
|
|
|
||
г) lim |
sin(x +1) |
|
|
; |
|
1 −cos(x +1) |
|||||
x→−1 |
|
б) lim x2 +3x −10 ; x→2 2x2 −3x − 2
г) lim |
sin 3x |
|
; |
|
x + 2 − |
2 |
|||
x→0 |
|
248
1 + 2x − x3 14. а) lim x2 5x 1 ;
x→∞ + −
в) lim |
|
|
x −3 − |
|
|
9 − x |
; |
|||
|
|
x −6 |
|
|
||||||
x→6 |
|
|
|
|||||||
|
|
1 −3x |
1 |
|
|
|
|
|||
|
3x |
|
. |
|
|
|||||
д) lim |
|
|
|
|
||||||
x→0 1 + 2x |
|
|
|
|
|
|||||
3 |
5x + 7 |
|
|
|
|
|
||||
15. а) lim |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→∞ 9 1 −8x3 |
|
|
|
|
|
|||||
в) lim |
|
cos 2x −1 |
; |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
tg2 x |
|
|
|
|
|
||||
|
x −5 5 x+2 |
|
||||||||
д) lim |
|
. |
|
|||||||
|
|
|||||||||
x→∞ x − 2 |
|
|
|
|
|
б) lim |
cos(x −3)(x2 −9) |
; |
||
2x2 −7x +3 |
||||
x→3 |
|
|||
г) lim |
sin(1 −ex ) |
; |
|
|
tg x |
|
|||
x→0 |
|
|
б) lim |
x3 |
+3x −3x2 +1 |
; |
|||||
|
x2 + x − 2 |
|
||||||
x→1 |
|
|
||||||
г) lim |
cos2 x |
|
; |
|
|
|||
|
|
π |
|
2 |
|
|
||
x→π |
|
|
|
|
|
|||
2 x − |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найти точки разрыва функции и определить их род. Построить эскиз графика функции. В случае устранимого разрыва доопределить функцию «по
непрерывности». |
|
|||||||
|
|
cos x при x ≤ 0 |
||||||
|
|
|||||||
1. |
y = x |
2 +1 при 0 < x ≤1; |
||||||
|
|
|
x при x >1 |
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|||
3. |
y = 3 |
x−4 |
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
||
5. |
y = 4 − x |
при x ≤3 |
; |
|||||
|
||||||||
|
x − 2 при x > 3 |
|
0 при x ≤ 0
7.y = tg x при 0 < x ≤π ;x при x >π
2.y = x3 +1 ;
x+1
4.y = arctg x 1+1 ;
2x при x <1
6.y = 3 − x при 1 ≤ x < 3;x − 2 при x ≥3
8. y = |
|
x −1 |
; |
|
|
x −1 |
|
||
|
|
|||
|
|
|
|
249
|
x + 2 при x ≤ −1 |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
; |
||
9. y = |
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
при x > −1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
11. |
y = |
|
|
2 |
|
|
; |
|
(x − 2)2 |
||||||||
|
|
|
||||||
13. |
y = |
|
x − 2 |
; |
|
|||
|
x − 2 |
|
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x +1 при x ≤ 0
15.y = cos x +1 при 0 < x <π ;sin x при x ≥π
1
10. y =1 − 2x ;
1
12. y =5x−1 ;
14. y = (x +11)2 ;
250