- •Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры Основы аналитической геометрии
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.6. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •2.6. Контрольные задания к главе 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.4. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.6. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. Пределы и непрерывность
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к разделу II
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.4. Геометрический и механический смысл производной. Производные высших порядков
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теорема о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •ОТВЕТЫ
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Содержание
Глава 7. Приложения производной
7.1. Теорема о среднем значении. Формула Тейлора
Теорема Ролля. Если функция f (x) : 1) непрерывна на отрезке [a; b], 2)
дифференцируема в интервале (a; b) , 3) |
f (a) = f (b) , то найдется такая точка |
′ |
|
c (a; b) , в которой f (c) = 0 . |
|
Теорема Лагранжа. Если функция |
f (x) : 1) непрерывна на отрезке [a; b], |
2) дифференцируема в интервале (a; b) , то найдется точка c (a; b) , в которой
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (b) − f (a) = f (c)(b − a) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Теорема Коши. Если функции y = f (x) и y = g(x) :1) непрерывны на от- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
для всех |
|
резке [a; b], 2) дифференцируемы в интервале (a; b) , причем g (x) ≠ 0 |
||||||||||||||||||||||||||
x (a; b) , то найдется такая точка |
c (a; b) , в которой |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (b) − f (a) |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
f (c) |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(b) − g(a) |
|
|
|
′ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (c) |
|
|
|
||||||||
|
Формула Тейлора. Если функция |
f (x) имеет производные до (п +1)-го |
||||||||||||||||||||||||
порядка включительно в интервале (x0 −ε, x0 +ε), |
ε > 0 , то для всех |
х |
из это- |
|||||||||||||||||||||||
го интервала справедлива формула Тейлора (порядка п) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
f (x) = f (x0 ) + |
f ′(x0 ) |
(x − x0 ) + |
|
f ′′(x0 ) |
(x − x0 )2 +... + |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2! |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
f |
(n) (x |
0 |
) |
(x − x |
0 |
)n + R |
|
(x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
(x) = |
f (n+1) (ξ) |
(x − x |
0 |
)n+1, |
|
|
ξ (x |
0 |
−ε, |
x |
0 |
|
+ε) – |
остаточный член |
в |
форме |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n+1 |
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лагранжа. Формула Тейлора в точке x0 = 0 называется формулой Маклорена.
Пример 7.1. Выяснить, удовлетворяет ли функция y = x2 + x −3 услови-
ям теоремы Лагранжа на отрезке [− 2; 2]. Если да, то найти точку с отрезка, в
которой выполняется теорема.
273
Р е ш е н и е. Так как функция y = x2 + x −3 непрерывна и дифференци-
руема на всей числовой прямой, к ней применима теорема Лагранжа на любом
отрезке. |
′ |
+1, y(2) = 3, y(−2) = −1. |
По теореме Лагранжа |
найдется |
||||||||||||||||||||
y (x) = 2x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
y(2) − y(−2) |
|
3 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
точка c (−2; 2) такая, что y (c) = 2c +1 = |
|
|
|
|
= |
4 |
=1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 −(−2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Отсюда получим с = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Пример 7.2. |
Написать |
формулу |
Тейлора 2-го |
порядка |
для |
функции |
||||||||||||||
|
y = |
|
|
x |
|
в точке x0 = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Р е ш е н и е. |
Найдем |
y′(x) = − |
|
1 |
; y′′(x) = 2(x − |
1) |
−3 |
. Найдем значе- |
||||||||||||
|
|
|
|
(x −1)2 |
|
|||||||||||||||||||
ния |
|
|
|
|
′ |
′′ |
′ |
|
|
′′ |
. Подставляя полученные |
|||||||||||||
|
|
y(2), y (2) и y (2). y(2) |
= 2; y (2) = −1; |
y (2) = 2 |
||||||||||||||||||||
значения в формулу Тейлора, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
= 2 − (x − 2) + 2(x − 2)2 + R (x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
R (x) = |
y′′′(ξ) |
(x − 2)3 – остаточный член в форме Лагранжа, |
ξ (x |
0 |
; x) . |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
7.1. Написать формулу Лагранжа для функции y = x на отрезке [1; 4] и найти
значение с.
7.2. Применима ли теорема Ролля к функции y =1 − 3 x2 на отрезке [−1; 1] ?
7.3.Выяснить, применима ли теорема Ролля к функции y = x2 −5x + 7 на отрез-
ке [1; 4].
7.4.Проверить справедливость теоремы Ролля для функции y = ln sin x на от-
резке π ; 5π .
6 6
274
7.5.Написать формулу Лагранжа и найти соответствующее значение с для функций а) y = ln x на отрезке [1; 2]; б) y = arcsin x на отрезке [0;1].
7.6.Написать формулу Коши и найти соответствующее значение с для функ-
ций а) y = sin x и y = cos x на отрезке |
|
π |
|
|
x и y = x |
2 |
на отрез- |
|
0; |
2 |
; б) y = |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ке [1; 4]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
7.7. В какой точке касательная к графику функции |
y = 4 − x2 параллельна хор- |
|||||||
де, соединяющей точки A(−2; 0) |
и B(1; 3) . |
|
|
|
|
|
||
7.8. Написать формулу Лагранжа |
для |
функции |
y = arcsin(2x) на |
отрезке |
||||
[x0 ; x0 + x]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
7.9.Показать, что уравнение x3 −3x +1 = 0 не может иметь двух различных корней в интервале (0; 1).
7.10.Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции
y = 2x3 −3x2 + 5x +1 в точке x0 = −1.
7.11. Для многочлена |
x4 + 4x2 − x + 3 написать формулу Тейлора 2-го порядка |
||||||
в точке |
x0 =1. |
|
|
|
|
||
7.12. Написать формулу Маклорена 3-го порядка для функции y = arcsin x . |
|||||||
7.13. Написать формулу Маклорена 4-го порядка для функций |
|||||||
а) y = ex ; |
б) y = sin x; в) |
y = cos x; г) y = ln(1 + x); д) y = (1 + x)−2 . |
|||||
7.14. Используя разложение по формуле Маклорена, вычислить пределы: |
|||||||
а) lim |
1 − cos x |
; |
б) lim |
ex |
−1 − x |
. |
|
x2 |
+ x3 |
|
2x2 |
||||
x→0 |
|
x→0 |
|
|
7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
Если при вычислении предела вида lim |
f (x) |
|
g(x) |
||
x→a |
275
пределы lim |
f (x) = lim g(x) = 0, |
x→a |
x→a |
но при этом существует lim f ′(x)
x→a g′(x)
|
|
|
|
|
|
0 |
|
т.е. имеет место неопределенность вида |
0 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, то lim |
f (x) |
= |
lim |
f ′(x) |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
g(x) |
|
′ |
|
|
||
x→a |
x→a |
g (x) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичным образом, если lim |
f (x) = lim g(x) = ∞, т.е. имеет место не- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
→a |
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
||||
определенность вида |
, но при этом существует |
lim |
|
, то |
lim |
|
= |
||||||||||
′ |
g(x) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
x→a |
|
|
|
lim |
f ′(x) |
. |
|
Неопределенность вида |
0 ∞, ∞ −∞, 1∞ , 00 |
сводятся к неопределен- |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x→a |
g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ностям |
|
или |
путем алгебраических преобразований. |
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 7.3. Найти предел lim |
|
ex −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Р е ш е н и е. |
Так как lim (ex −1) = lim sin 2x = 0, имеем неопределенность |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
вида 00 . Применим правило Лопиталя-Бернулли.
lim |
|
ex |
−1 |
= lim |
|
(ex −1)′ |
= lim |
|
ex |
= |
1 . |
|
|
||||
|
sin 2x |
(sin 2x)′ |
|
|
|
|
|||||||||||
x→0 |
|
x→0 |
x→0 2 cos 2x |
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
Пример 7.4. Найти предел lim |
x2 |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
ex |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|
Р е ш е н и е. Так как lim x2 = lim ex |
= ∞, имеем неопределенность вида |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
x→∞ |
|
|
|||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
. Применим правило Лопиталя-Бернулли. |
|
|||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x2 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
lim |
|
|
|
= lim |
ex |
|
= (так как неопределенность вида |
сохраняется, еще раз |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
x→∞ ex |
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|||||
используем правило Лопиталя) = lim |
2 |
|
= 0 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ ex |
|
|
|
|
||
|
|
|
Пример 7.5. Найти предел |
lim x ln x . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
276
Р е ш е н и е. В данном примере имеется неопределенность вида 0 ∞. В таких случаях произведение функций f (x) g(x) представляют в виде дроби
|
f (x) |
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
; после чего неопределенность приобретает вид |
или |
|||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
g(x) |
|
f |
(x) |
|
|
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim x ln x = lim ln x |
= lim |
|
1x |
= −lim x = 0 . |
|
||||||||||||
|
1 |
|
|||||||||||||||
x |
→0 |
|
|
x→0 |
|
1 |
x |
|
x→0 − |
x→0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7.6. Найти предел lim (cos x) |
x |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
||
|
|
|
|
Р е ш е н и е. |
В данном примере имеется неопределенность вида 1∞ . В та- |
ких случаях, а также в случаях неопределенности вида 00 и ∞0 необходимо пре-
дел искомой функции y = f (x)g ( x) выразить через предел функции z = ln y . Так |
|
lim |
z |
как y = ez , lim y = ex→x0 |
, а |
x→x0 |
|
lim z = lim ln y = lim g(x) ln f (x) . Последний предел представляет собой не- |
||||||||||||||||||
x→x0 |
x→x0 |
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
∞ |
определенность вида 0 ∞ и сводится к неопределенности |
|
или |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 ln cos x = |
ln cos x |
|
|
||||
|
|
В данном примере Z = ln y = ln(cos x) |
x |
= |
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ln cos x |
|
0 |
|
(ln cos x)′ |
|
−tgx |
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
lim z |
= e |
0 |
=1. |
|
||||||||
lim |
|
x |
= |
|
= lim |
(x)′ |
= lim |
1 |
= |
0 . lim y = ex→0 |
|
|
||||||
x→0 |
|
|
0 |
x→0 |
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Найти пределы. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.16. lim |
x −3 |
|
; |
7.17. lim |
ex − e2 x |
; |
7.18. lim |
1 |
− cos x |
; |
|
x4 −81 |
sin x |
1 −cos 4x |
|||||||||
x→3 |
|
x→0 |
|
x→0 |
|
277
7.19. |
lim |
1 −cos 4x ; |
||||||||
|
x→0 |
|
|
2x2 |
|
|
|
|
||
7.22. |
lim |
1 − 2sin x |
; |
|||||||
|
π |
|
cos3x |
|
|
|
||||
|
x→6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.25. |
lim |
3 x −3 |
2 |
; |
|
|||||
|
x − |
2 |
|
|||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|||||
7.28. |
lim |
|
x3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→∞ ex |
|
|
|
|
|
|
|||
7.31. |
lim |
|
e2 x −1 |
|
|
; |
||||
ln(1 + 2x) |
||||||||||
|
x→0 |
|
||||||||
7.34. |
lim |
|
6tgx |
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→π |
|
tg3x |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.37. |
lim x2 e−x |
; |
|
|
|
|||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
7.20. lim
x→1
7.23. lim
x→0
7.26. lim
x→0
7.29. lim
x→π4
7.32. lim
x→0
7.35. lim
x→0
7.38. lim
x→∞
x3 −3x2 + x +1 |
; |
||||
x4 |
+ x3 |
− 2 |
|
||
|
x cos x −sin x 2x3 ;
ex − e−x − 2x ; x −sin x
1 −tgx ; cos 2x
ln x ; ln sin x
3x − 4x ; x 1 − x2
x e1x −1 ;
7.40. |
lim (1 − e2 x )ctg3x ;7.41. |
lim (x −π)tg |
x |
|
; |
||||||||
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
2 |
|
|
|
7.43. |
lim |
|
1 |
− |
x |
|
; 7.44. |
lim |
ctgx − |
1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→1 |
ln x |
|
ln x |
|
x→0 |
|
x |
|
|
7.46. |
lim xsin x |
; |
|
||
|
x→0 |
|
|
|
|
7.49. |
|
|
1 |
3x |
|
lim 1 |
− |
|
; |
||
x2 |
|||||
|
x→∞ |
|
|
||
7.52. |
lim (ln x)( x2 −1) ; |
||||
|
x→1 |
|
|
|
7.47. lim (tgx)2 x−π ;
x→π2
7.50. lim xx ;
x→0
1
7.53. lim (cos x) x .
x→0
7.21. |
lim |
|
3x |
− |
2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.24. |
lim |
|
x − arctgx |
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.27. |
lim |
|
5x |
− |
3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.30. |
lim |
|
|
|
|
ln x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 − x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.33. |
lim |
|
ln2 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.36. |
lim x2 ln x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.39. |
lim x2 ex−2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.42. |
lim |
|
|
|
|
x |
|
|
− |
|
|
1 |
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→1 |
x −1 |
|
|
|
ln x |
|
||||||||||||||
7.45. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
|
x→0 x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7.48. |
lim |
1 |
tgx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.51. |
lim x |
1−x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
278
7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке
Функция |
y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на интервале |
|||
(а, в), если для любых x2 > x1, x2 , x1 (a,b) выполняется неравенство |
|
|||
|
|
f (x2 ) > f (x1 ) (f (x2 ) < f (x1 )). |
|
|
Если |
функция y = f (x) дифференцируема |
на интервале |
(а,b) и |
|
′ |
′ |
|
f (x) возрастает (убывает) |
|
f (x) > 0 (f |
(x) < 0) для всех x (a,b) , то функция |
|||
на интервале (а, b). |
|
|
||
Точка |
x0 |
называется точкой максимума (минимума) функции |
y = f (x) , |
если существует такая окрестность (x0 −δ, x0 +δ) этой точки, что для всех x (x0 −δ, x0 +δ), x ≠ 0 выполняется неравенство
f (x) < f (x0 ) (f (x) > f (x0 )).
Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.
Необходимое условие экстремума. Если x0 – точка экстремума функции f (x) , то производная функции в этой точке равна нулю либо не существует.
Точки, в которых производная функции равна нулю либо не существует,
называются критическими точками.
|
Первое достаточное условие экстремума функции. Пусть x0 – крити- |
|||||||
ческая точка функции |
y = f (x) и |
f (x) дифференцируема в некоторой окрест- |
||||||
ности |
(x0 −δ, |
x0 +δ) |
точки x0 , за исключением, быть может, самой точки x0 . |
|||||
Если |
′ |
для всех |
|
|
′ |
x (x0 , x0 +δ) , то |
||
f (x) < 0 |
x (x0 −δ, x0 ) и f (x) > 0 для всех |
|||||||
точка |
x0 является точкой минимума функции f (x) . |
|
|
|||||
|
Если f |
′ |
|
для |
всех |
x (x0 −δ, x0 ) и f |
′ |
для всех |
|
(x) > 0 |
|
(x) < 0 |
|||||
x (x0 , x0 +δ) , то точка |
x0 |
является точкой максимума функции f (x) . |
||||||
|
Если производная |
′ |
|
|
|
x0 , точка |
||
|
f (x) одного знака слева и справа от точки |
x0 не является точкой экстремума.
279
Второе достаточное условие экстремума функции. Если функция f (x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и f ′(x0 ) = 0 ,
то при условии f ′′(x0 ) > 0 |
точка x0 является точкой минимума функции, при |
|
условии f ′′(x0 ) < 0 |
точка |
x0 является точкой максимума функции. В случае |
f ′′(x0 ) = 0 требуется дополнительное исследование. |
||
Если функция |
y = f (x) непрерывна на отрезке [a b]; то, ее наибольшее |
(наименьшее) значение на данном отрезке достигается либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на концах отрезка.
Пример 7.7. Найти интервалы возрастания и убывания функции y = x2 − 4x − 2 ln(x − 2) +8 и исследовать ее на экстремум.
Р е ш е н и е. Для решения задачи необходимо
а) найти область определения функции: x − 2 > 0 , следовательно, функция определена в интервале (2; + ∞) ;
б) найти ее критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует. С этой целью вычисляем производную и приравнива-
ем ее к нулю: y′ = 2x − 4 − x −2 2 = 0 . Получим, что производная равна нулю при
x = 3 и x =1, но последняя точка не принадлежит области определения функции. Так как производная определена всюду в области определения функции, у функции есть одна критическая точка x = 3;
в) на числовую ось нанести область определения функции и ее критические точки. В полученных интервалах определить знаки производной.
• – |
• |
+ |
2 |
3 |
х |
Окончательно получаем: функция убывает на интервале (2; 3), возрастает на интервале (3; + ∞) , в точке x = 3 производная меняет знак с « – » на « + »,
следовательно, эта точка является точкой минимума функции, а минимум функции равен y(3) = 5 .
280
Пример 7.8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x3 −3x2 +5 на отрезке [1; 4].
Р е ш е н и е. Найдем критические точки функции, принадлежащие отрезку [1; 4], для чего производную функции приравняем к нулю.
y′ = 3x2 − 6x = 0 . Получим, x1 = 2, x2 = 0 (эта точка не принадлежит данному интервалу).
Поскольку наибольшее, наименьшее значения функции достигаются либо в критических точках, либо в границах интервала, необходимо найти значение
функции |
в этих |
точках и |
выбрать из них наибольшее и наименьшее: |
f (1) = 3, |
f (4) = 21, |
f (2) =1. Следовательно, наибольшее значение функции |
|
равно 21 и достигается в точке |
х = 4, наименьшее значение равно 1 и достига- |
ется в точке х = 2.
Пример 7.9. Из куска жести размером 16 х 30 см необходимо изготовить коробку (без крышки) наибольшего объема, вырезая равные квадраты по углам листа и затем загибая их для образования боковых стенок коробки. Найти раз-
меры коробки. |
|
|
|
х |
|
|
х |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
х |
|
Р е ш е н и е. |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Площадь основания коробки будет |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
равна S = (16 − 2x)(30 − 2x) , а высота равна |
|
|
|
|
|
|
||||
|
30 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х, где х – сторона вырезаемого квадрата (рис. 7.1). |
|
Рис. 7.1 |
|
|||||||
Тогда объем |
V = S x = (16 − 2x)(30 − 2x)x . Исследуем функцию V на экстре- |
|||||||||
мум, учитывая, что |
|
0 < x < 8 . Найдем производную V ′ =12x2 −184x + 480 = 0. |
||||||||
Получим x = 10 , x |
2 |
=12, но 12 больше 8. Точка 10 |
является точкой максиму- |
|||||||
1 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ма функции |
V, так как V ′′ 10 |
= −104 < 0 . Стороны основания коробки – |
28 |
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
и 70 , высота равна |
10 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
281
Задачи для самостоятельного решения
Найти интервалы возрастания и убывания функций.
7.54. y = x2 |
− 6x +8; |
7.55. y = x3 −9x2 − 21x +1; |
7.56. |
y = x3 + 3x2 +3x +1; |
|||||
7.57. y = x4 |
− 2x3 +5; |
7.58. y = x e−x ; |
7.59. |
y = e−x2 ; |
|||||
7.60. y = 2x |
+ 4−x ; |
7.61. y = 2x −e2 x ; |
7.62. |
y = x ln x; |
|||||
7.63. y = |
|
2x |
; |
7.64. y = (x −3)4 (x +1)3 ; |
7.65. |
y = |
x |
; |
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
ln x |
|
||
7.66. y = x |
|
2x − x2 ; |
7.67. y = 2x2 − ln 2x; |
7.68. y = x3 + x; |
7.69.y = arctg x − x.
Исследовать функции на экстремум.
7.70. |
y = x2 − 4x + 5; |
7.71. y = 3 +8x − 2x2 ; |
7.72. y = 3x4 − 4x3 +3; |
|||||||||||||||
7.73. |
y = 32x − x4 ; |
7.74. y = x3 −9x2 +15x − 2; |
7.75. y = 2x3 −6x2 −18x +1; |
|||||||||||||||
7.76. |
y = x 1 − x2 ; |
|
7.77. y = |
x2 − 6x +13 ; |
7.78. y = 3 x3 −3x2 +8 ; |
|||||||||||||
7.79. |
y = x2 3 7 − x ; |
7.80. y = |
2x − 6 ; |
|
|
7.81. y = x + |
x2 +1; |
|||||||||||
7.82. |
y = e4 x−x2 ; |
|
|
7.83. y = ex + e−x ; |
|
|
7.84. y = 2e−x2 ; |
|||||||||||
7.85. |
y = 3x e−x2 ; |
|
7.86. y = ex sin x; |
|
|
7.87. y = 2cos x ; |
|
|||||||||||
7.88. |
y = |
ln x |
; |
|
|
|
7.89. y = x − ln(1 + x); |
7.90. y = x − ln(1 + x2 ); |
||||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.91. y = ln x − 2arctgx; |
7.92. y = |
|
x |
|
; |
7.93. y = |
x4 |
−1 |
; |
|||||||||
x2 + x |
|
x |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|||||
|
y = |
2x2 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7.94. |
; |
|
7.95. y = 3x 3 − x. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанных отрез- |
|||||||||||||||||
ках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.96. y = x3 −9x2 +15x +1, [− 2;6]; |
|
|
7.97. y = x3 −3x2 −3, [1; 4]; |
|||||||||||||||
7.98. y = x2 (x − 2), |
[1; 2]; |
|
|
|
|
7.99. y = 4x4 − 2x2 + 2, |
[0; 2]; |
282
7.100. y = 3x4 − 4x3 −12x2 +3, |
|
[− 2;3]; 7.101. |
y = x3 −3x2 +3x + 5, |
[− 2; 2]; |
||||||||||||||||||||||
7.102. y = x2 − 4x + 3, |
[0;3]; |
|
|
|
|
7.103. |
y = |
x |
+ 3 |
, |
[1;5]; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.104. y = |
|
2x |
|
, |
[0; 2]; |
|
|
|
|
|
|
7.105. y = |
|
x3 |
|
, |
[2; 4]; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x − x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.106. y = |
x3 + 2x2 |
, |
[−1;1]; |
|
|
|
|
|
|
7.107. y = x − 2 |
|
x , |
|
[0; 4]; |
|
|||||||||||
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.108. y = 4x + |
1 |
+ 2, |
1 |
;1 ; |
|
|
|
7.109. y = 3 |
x5 − 3 |
x2 |
+1, |
[−1;0]; |
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.110. y = |
x |
2 |
−6x +16 , |
[0;6]; |
|
|
7.111. y = ln 2x − x |
2 |
+ x, |
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
; 2 ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
7.112. y = sin 2x − x, |
|
π |
; |
π |
|
; |
|
|
7.113. y = 2x −tgx , |
|
|
π |
|
|
||||||||||||
− |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
0; |
3 |
; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.114. y = 2sin x − cos 2x, |
|
|
π |
; |
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
− |
4 |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказать справедливость неравенств в указанных интервалах.
7.115. ex ≥ x +1, |
x R; |
7.116. ln(1 + x) < x, |
x > 0; |
|||||||
7.117. cos x ≥1 − |
x2 |
, x R; |
7.118. |
sin x < x − |
x3 |
+ |
|
x5 |
, x > 0. |
|
2 |
6 |
120 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
7.119. Число 12 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
7.120. Число 16 представить в виде произведения двух множителей так,
чтобы сумма их квадратов была наименьшей. |
|
7.121. Найти отношение радиуса R к высоте Н цилиндра |
объема |
V = 4π , при котором его полная поверхность будет наименьшей. |
|
7.122. На параболе y = x2 найти точку наименее удаленную от прямой |
|
y = 2x − 4 . |
|
7.123. Из круга радиуса R вырезают сектор, содержащий угол |
α , а за- |
тем сектор свертывают в конус с образующей, равной R. При каком значении угла α объем конуса будет наибольшим?
283