2.6. Контрольные задания к главе 2
Вариант 1
1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 2 : 3 .
Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .
2.Даны точки A(3;2;−1), B(1;− 4;3), C(0;3;−1), D(−6;3;5) . Найти:
а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 1: 2 ;
б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .
3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век-
торах a(1;0;1), b(1;2;−1) .
4. |
Найти скалярное произведение векторов a = 2 p − q и |
b = p +3q , если |
||||
|
| p |= 2 , | q |=1, ( p , q) = π . |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5. |
Вектор x перпендикулярен оси Ox и вектору p и образует острый угол с |
|||||
|
осью Oy . Найти координаты вектора x , если p = (1; 2 ; 6), |
|
|
x |
|
= 10 . |
|
|
|
||||
6.Найти площадь треугольника с вершинами A(3;2;−1) , B(1;− 4;3) ,
C(0;3;−1) .
7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(3;2;−1) ,
B(1;− 4;3) , C(0;3;−1), D(−6;3;5) .
8.Найти базис системы векторов a = (1;−2;3), b = (4;7;2), c = (6;4;2) , d = (14;18;6) . Выразить небазисный вектор через базисные.
Вариант 2
1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC =1: 4 .
Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .
2.Даны точки A(3;2;−1), B(−3;− 4;5), C(1;3;− 4), D(6;3;− 4) . Найти:
87
а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка CD , а точка N делит отрезок AB в отношении 1: 4 ;
б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .
3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век-
торах a(3;0;−3), b(1;4;1) .
4. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + q и b = p −3q , если
| p |=1, | q |= 2 , ( p , q) = π3 .
5.Вектор x перпендикулярен оси Ox и вектору p и образует острый угол с осью Oy . Найти координаты вектора x , если p = (6;1;7), x = 5 2 .
6.Найти площадь треугольника с вершинами A(−3;2;1) , B(4;−1;3) ,
C(3;0;−1) .
7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(−3;2;1) ,
B(4;−1;3) , C(3;0;−1), D(6;−3;5) .
8.Найти базис системы векторов a = (2;−1;11), b = (1;1;0), c = (0;1;2) , d = (2;5;6) . Выразить небазисный вектор через базисные.
Вариант 3
1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 2 :1.
Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .
2.Даны точки A(2;3;−1), B(4;−1;3), C(−6;5;3), D(0;−1;3) . Найти:
а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 2 :1;
б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .
3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a(−1;−1;0), b(1;−1;2) .
88
4. |
Найти скалярное произведение векторов a = 2 p +3q и b = p + q , если |
||||
|
| p |= 2 , | q |= 2 , ( p , q) = π . |
||||
|
3 |
|
|
|
|
5. |
Вектор x перпендикулярен оси Ox и вектору p и образует острый угол с |
||||
|
осью Oy . Найти координаты вектора x , если p = (−4;−3;6), |
|
x |
|
= 2 5 . |
|
|
|
|||
6.Найти площадь треугольника с вершинами A(0;− 2;5) , B(1;4;3) , C(6;3;−1) .
7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0;− 2;5) , B(1;4;3) ,
C(6;3;−1), D(−1;3;5) .
8.Найти базис системы векторов a = (8;2;3), b = (4;6;10), c = (3;−2;1) ,
d = (7;4;11) . Выразить небазисный вектор через базисные.
Вариант 4
1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 3: 2 .
Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .
2.Даны точки A(5;− 2;4), B(−1;− 4;2), C(0;3;1), D(−4;3;5) . Найти:
а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 1: 3 ;
б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .
3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a(5;3;2), b(1;5;−2) .
4. Найти скалярное произведение векторов a = 3 p − q и b = p + 2q , если | p |=1,
| q |=1, ( p , q) = π3 .
5.Вектор x перпендикулярен оси Ox и вектору p и образует острый угол с осью Oy . Найти координаты вектора x , если p = (2;5;0), x = 3.
6.Найти площадь треугольника с вершинами A(−3;− 2;1) , B(0;3;−1) ,
C(2;0;1) .
89
7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(−3;− 2;1) ,
B(0;3;−1) , C(2;0;1), D(−4;2;3) .
8.Найти базис системы векторов a = (10;3;1), b = (1;4;2), c = (3;9;2) ,
d = (19;30;7) . Выразить небазисный вектор через базисные.
Вариант 5
1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 3: 4 .
Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .
2.Даны точки A(3;2;0), B(−1;− 4;2), C(4;−3;5), D(0;−3;1) . Найти:
а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 3:1;
б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .
3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
|
a(3;0;3), b(−1;−2;1) . |
||||
4. |
Найти скалярное произведение векторов a = p +3q и b = p − 2q , если |
||||
|
| p |= 3 , | q |=1, ( p , q) = π . |
||||
|
3 |
|
|
|
|
5. |
Вектор x перпендикулярен оси Ox и вектору p и образует острый угол с |
||||
|
осью Oy . Найти координаты вектора x , если p = (7;−2;5), |
|
x |
|
= 29 . |
|
|
|
|||
6.Найти площадь треугольника с вершинами A(4;5;1) , B(0;−3;− 2) ,
C(2;0;− 4) .
7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(4;5;1) , B(0;3;− 2) ,
C(2;0;− 4), D(−7;1;2) .
8.Найти базис системы векторов a = (2;4;1), b = (1;3;6), c = (5;3;1) ,
d = (24;20;6) . Выразить небазисный вектор через базисные.
90
Вариант 6
1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 2 : 5 .
Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .
2.Даны точки A(5;−1;−1), B(1;3;5), C(6;5;3), D(1;5;− 2) . Найти:
а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 4 :1;
б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .
3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a(2;2;0), b(−2;2;−4) .
4. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p +3q и b = p + q , если
| p |= 2 , | q |= 2 , ( p , q) = π3 .
5.Вектор x перпендикулярен оси Oy и вектору p и образует тупой угол с осью Oz . Найти координаты вектора x , если p = (3;−6;4), | x |= 30 .
6.Найти площадь треугольника с вершинами A(2;− 2;4) , B(3;4;1) ,
C(1;− 2;−1) .
7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(2;− 2;4) , B(3;4;1) ,
C(1;− 2;−1), D(−1;4;−5) .
8.Найти базис системы векторов a = (1;−3;−3), b = (4;7;8), c = (9;1;3) ,
d = (2;−4;4) . Выразить небазисный вектор через базисные.
Вариант 7
1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 3: 5 .
Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .
2.Даны точки A(−5;2;− 4), B(1;− 4;2), C(0;3;4), D(5;3;4) . Найти:
а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 2 : 3;
91
б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .
3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a(5;2;3), b(−1;2;−5) .
4. Найти скалярное произведение векторов a = p − 2q и b = 4 p + q , если
| p |= 2 , | q |=1, ( p , q) = π3 .
5.Вектор x перпендикулярен оси Oy и вектору p и образует тупой угол с осью Oz . Найти координаты вектора x , если p = (9;7;12), x = 20 .
6.Найти площадь треугольника с вершинами A(2;0;−1) , B(4;−3;1) ,
C(−3;5;−3) .
7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(2;0;−1) ,
B(4;−3;1) , C(−3;5;−3), D(4;− 2;3) .
8.Найти базис системы векторов a = (3;2;2), b = (2;3;1), c = (1;1;3) , d = (5;1;11) .
Выразить небазисный вектор через базисные.
Вариант 8
1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 5 : 2 .
Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .
2.Даны точки A(−4;1;3), B(2;−3;5), C(−1;−3;4), D(5;3;4) . Найти:
а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 1: 5 ;
б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .
3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a(−6;0;6), b(−2;−8;−2) .
4. Найти скалярное произведение векторов a = p + 2q и b = −4 p + q , если
| p |=1, | q |= 2 , ( p , q) = π3 .
92
5.Вектор x перпендикулярен оси Oy и вектору p и образует тупой угол с осью Oz . Найти координаты вектора x , если p = (8;12;8), x = 3 2 .
6.Найти площадь треугольника с вершинами A(−2;1;3) , B(4;−5;7) ,
C(3;6;− 4) .
7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(−2;1;3) ,
B(4;−5;7) , C(3;6;− 4), D(5;− 2;2) .
8.Найти базис системы векторов a = (7;1;3), b = (−2;5;4), c = (−3;1;2) , d = (−3;14;10) . Выразить небазисный вектор через базисные.
Вариант 9
1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 5 : 3.
Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .
2.Даны точки A(−7;4;9), B(3;− 2;−5), C(−1;4;−3), D(9;4;2) . Найти:
а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 3: 2;
б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .
3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a(2;−2;4), b(2;2;0) .
4. Найти скалярное произведение векторов a = 3 p + 2q и b = 4 p − q , если
| p |= 3 , | q |= 2 , ( p , q) = π3 .
5.Вектор x перпендикулярен оси Oy и вектору p и образует тупой угол с осью Oz . Найти координаты вектора x , если p = (0;−4;−9), x =1.
6.Найти площадь треугольника с вершинами A(7;11;−3) , B(4;5;−7) ,
C(3;5;−1) .
7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(7;11;−3) ,
B(4;5;−7) , C(3;5;−1), D(6;4;− 2) .
93
8. Найти базис системы векторов a = (1;2;4), b = (1;−1;1), c = (2;2;4) ,
d = (−1;−4;−2) . Выразить небазисный вектор через базисные.
Вариант 10
1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 3: 7 .
Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .
2.Даны точки A(10;−6;1), B(−4;2;3), C(1;3;− 2), D(7;3;− 2) . Найти:
а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 5 :1;
б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .
3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a(−2;5;1), b(2;3;5) .
4. Найти скалярное произведение векторов a = 3 p + 2q и b = 2 p − q , если
| p |=1, | q |= 4 , ( p , q) = π3 .
5.Вектор x перпендикулярен оси Ox и вектору p и образует острый угол с осью Oy . Найти координаты вектора x , если p = (20;−3;−15), x = 25 .
6.Найти площадь треугольника с вершинами A(3;−5;2) , B(1;− 2;1) , C(2;1;6) .
7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(3;−5;2) ,
B(1;− 2;1) , C(2;1;6), D(4;− 2;−1) .
8.Найти базис системы векторов a = (7;1;3), b = (−2;5;4), c = (−3;1;2) , d = (−3;14;10) . Выразить небазисный вектор через базисные.
94