- •Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры Основы аналитической геометрии
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.6. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •2.6. Контрольные задания к главе 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.4. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.6. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. Пределы и непрерывность
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к разделу II
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.4. Геометрический и механический смысл производной. Производные высших порядков
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теорема о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •ОТВЕТЫ
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Содержание
1.6. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
Система линейных уравнений называется однородной, если свободный член в каждом уравнении равен нулю:
a11x1 + a12 x2 +…+ a1n xn = 0,
............................................... . am1x1 + am2 x2 +…+ amn xn = 0
Однородная система всегда совместна, так как ранг ее матрицы равен рангу расширенной матрицы. Решение x1 = x2 =…= xn = 0 называется нулевым
или тривиальным решением. Если ранг r матрицы однородной системы равен числу n неизвестных, то нулевое решение будет единственным. Если же r < n,
то всегда можно построить (n − r) линейно независимых вектор-решений (о
векторах читайте в гл.2). Фундаментальной системой решений системы однородных линейных уравнений называется совокупность максимального числа линейно-независимых векторрешений. Для построения нормированной фундаментальной системы решений в найденном множестве решений однородной системы поочередно придаем одному из свободных неизвестных значение 1, а остальные свободные неизвестные полагаем равными нулю. Затем вычисляем базисные неизвестные.
Пример 1.16. Найти нормированную фундаментальную систему решения для однородной системы:
|
|
|
|
|
х1 + х2 + 3х3 − 2х4 + x5 |
= 0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3х1 + 2х2 + 3х3 − х4 + 2x5 = 0. |
||||||
Р е ш е н и е. Выпишем матрицу системы и сделаем один шаг гауссова |
||||||||||
исключения: |
1 |
1 |
3 |
− 2 |
1 |
1 |
1 |
3 − 2 1 |
||
|
|
|
2 |
3 |
−1 |
|
|
−1 |
. Тогда имеем равно- |
|
|
3 |
2 |
0 |
−6 5 −1 |
47
сильную систему: |
х + |
х |
|
+ 3х |
|
− 2 |
х |
|
+ x |
|
= 0, |
Базисными будут неизвестные |
|||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− х2 − 6х3 +5х4 − x5 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x1 и x2 , |
тогда |
x2 = −6x3 + 5x4 − x5 ; |
|
x1 = 3x3 −3x4 , где x3 , x4 , x5 R. Полагая |
|||||||||||||||||||||||||
x |
=1, x |
|
|
= 0, x |
|
= 0, |
имеем |
|
|
1 = (3, − 6, 1, 0, 0); |
|
полагая x |
|
|
=1, x |
|
= 0, x |
|
= 0, |
||||||||||
4 |
5 |
|
x |
|
4 |
3 |
5 |
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
имеем |
|
2 = (−3,5, 0, 1, 0), полагая x |
=1, x |
|
= 0, x |
|
= 0, имеем |
|
3 = (0, −1, 0, 0, 1). |
||||||||||||||||||||
x |
|
4 |
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Решить однородные системы уравнений.
х1 + 2х2 +3х3 |
= 0, |
х1 |
+ х2 + х3 |
= 0, |
|||||||
1.98. 2х1 +3х2 |
+ 4х3 |
|
|
1.99. 2х1 |
|
|
|
|
|
||
= 0, |
+ 3х2 + х3 = 0, |
||||||||||
3х |
+ 4х |
2 |
+5х |
= 0. |
|
3х |
− х |
2 |
− х |
= 0. |
|
1 |
|
3 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
6х1 −8х2 + 2х3 |
+3x4 |
= 0, |
х1 − 2х2 +3х3 |
− x4 = 0, |
|||||||||||||
1.100. |
1.101. х1 |
+ х2 − |
х3 |
+ 2x4 = 0, |
|
|||||||||||||
3х1 |
− 4х2 |
+ х3 |
− x4 |
|
|
|||||||||||||
|
= 0. |
4х1 |
−5х2 +8х3 |
+ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 = 0. |
|||||||||
|
х1 + 4х2 − 7х3 |
= 0, |
|
х |
+ х |
2 |
− х |
3 |
− |
x |
4 |
= 0, |
|
|||||
1.102. 3х1 − 2х2 + х3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= 0, |
|
1.103. 3х1 − х2 + 2х3 + x4 |
= 0, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2х |
+ х |
|
−3х |
= 0. |
|
|
5х1 − х2 − |
|
|
x4 = 0. |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х1 + х2 + х3 = 0, |
|
х1 + х2 +3х3 + x4 = 0, |
|||||||||||||||||
|
5 |
х |
− |
х |
2 |
− |
х |
3 |
= 0, |
2 |
х |
− х |
2 |
+ |
х |
3 |
+3x |
4 |
= 0, |
|
|
1.104. |
|
1 |
|
|
|
|
|
1.105. 4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3х |
+ |
х |
2 |
+ |
х |
3 |
= 0, |
х |
+ х |
2 |
+ 7 |
х |
3 |
+5x |
4 |
= 0, |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2x |
+3x |
2 |
+ 2x |
3 |
= 0. |
5 |
х |
− х |
2 |
+5х |
3 |
+7x |
4 |
= 0. |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
48
|
3х1 + х2 + х3 −6x4 −12x5 +3x6 = 0, |
|||||||||||||||||||||||
|
х |
|
+ х |
2 |
|
+ х − |
2x |
4 |
− |
6x |
5 |
+ x |
6 |
= 0, |
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.106. |
х1 |
|
|
+ х3 − |
|
|
x4 −5x5 |
|
|
|
= 0, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
х |
2 |
|
|
+ х |
3 |
|
|
|
|
− |
3x |
5 |
|
|
|
= 0, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
х1 − х2 + х3 |
|
|
|
|
− 4x5 − x6 = 0. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
х1 + 3х2 − х3 + 4x4 − x5 |
= 0, |
|
|||||||||||||||||||||
|
х1 + 3х2 − х3 + |
|
x4 + x5 = |
|
|
|
||||||||||||||||||
1.107. |
|
0, |
|
|||||||||||||||||||||
2х |
+ 6х |
2 |
− 2x |
3 |
+ |
|
x |
4 |
|
|
|
|
= 0, |
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3х |
+9х |
2 |
−3х |
3 |
+ |
|
x |
4 |
+ x |
5 |
= 0. |
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выяснить, существует ли фундаментальная система решений для каждой из указанных систем:
1.108. |
х1 − 2х2 |
= 0, |
|
1.109. |
х2 − 2х1 |
−3х3 |
= 0, |
||||||||
3х1 |
+ 4х2 |
|
|
4х1 |
− 2х2 |
|
|
|
|
||||||
|
= 0. |
|
|
+ х3 = 0. |
|||||||||||
|
х1 + х2 |
− х3 |
= 0, |
|
х1 − 2х2 |
+ 9х3 |
= 0, |
||||||||
1.110. 4х1 −3х2 |
+ 2х3 |
|
|
1.111. 2х1 |
|
|
− х3 = 0, |
|
|||||||
= 0, |
|
|
|
||||||||||||
|
8х |
− 6х |
2 |
+ х |
3 |
= 0. |
|
|
3х |
− х |
2 |
+ 4х |
3 |
= 0. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Найти фундаментальную система решений для каждой из указанных сис-
тем:
х1 |
+ |
х2 −5х3 −3x4 |
= 0, |
|
х1 − 2х1 + х3 − 4x4 + |
x5 |
= 0, |
||||||||
1.112. 2х1 |
− |
х2 − х3 |
|
|
|
|
1.113. |
||||||||
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3х |
|
−6 х |
3 |
−3x |
4 |
= 0. |
|
|
2х1 |
− 4х1 |
− х3 |
+ x4 |
− |
2x5 = 0. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х1 + 2х2 −5х3 − x4 |
= 0, |
х1 − х2 − х3 − 2x4 |
= 0, |
||||||||
|
2 |
х1 + |
х2 − 4х3 + x4 |
|
|
||||||||
1.114. |
= 0, |
1.115. 5х1 − х2 −3х3 − |
|
|
|||||||||
|
х + |
х |
|
−3x |
|
|
|
= 0, |
|
2x4 = 0, |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
− 2х1 + х2 + x3 − |
x4 |
||||
|
|
х − |
х |
2 |
+ х |
3 |
+ 2x |
4 |
= 0. |
= 0. |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
49
1.7.Контрольные задания к главе 1
Взадаче 1 каждого варианта выполнить указанные действия над матри-
цами.
Взадаче вычислить определитель, используя свойства определителей и теорему о разложении по элементам строки или столбца.
Взадаче 3 решить систему линейных уравнений с помощью формул Кра-
мера.
Взадаче 4 найти матрицу, обратную данной и результат проверить умножением.
Взадаче 5 исследовать данную систему на совместность и, в случае совместности, решить ее.
Взадаче 6 решить данное матричное уравнение.
Взадаче 7 найти ранг матрицы А в зависимости от значения параметра α.
Взадаче 8 построить фундаментальную систему решений данной однородной системы линейных уравнений.
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
1. f (x) = 2x |
2 |
+ 3x + 5, |
A = |
|
3 |
|
f ( A) −? |
|
1 |
1 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 |
1 |
|
|
2 |
−5 |
1 |
2 |
|
|
7x1 |
+ 2x2 |
+3x3 =15, |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
−3 |
7 |
−1 |
4 |
|
|
|
||||||||
2. |
. |
3. 5x1 |
− 3x2 |
+ 2x3 =15, |
|
|
|||||||||
5 |
−9 |
2 |
7 |
|
|
||||||||||
|
|
|
10x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
−6 |
1 |
2 |
|
|
−11x2 +5x3 = 36. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
7 |
2 |
3 |
|
2x1 + 3x2 − x3 + x4 |
+ 3 = 0, |
||||||||
|
|
3x1 − x2 |
+ 2x3 + 4x4 |
−8 |
|
||||||||||
4. |
A = |
5 |
−3 2 . |
5. |
= 0, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
+ x2 |
+3x3 − 2x4 |
−6 = 0, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
10 |
−11 5 |
|
− x |
+ 2x |
2 |
+3x |
3 |
+ 5x |
4 |
−3 |
= 0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
50
|
2 |
7 |
3 |
|
−1 |
3 |
6. |
3 9 |
4 X = |
−1 |
5 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 3 |
− 2 |
3 |
8. |
2x1 +3x2 − x3 + |
x4 |
= 0, |
||
x1 |
− x2 |
+ x3 − 4x4 |
|
||
|
= 0. |
1. |
f (x) = x2 |
|
|
|
5 |
|
−8x + 7, A = |
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
−3 |
9 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|||||
2. |
−5 |
8 |
2 |
7 |
|
. |
|
4 |
−5 |
−3 |
− 2 |
|
|
|
7 |
−8 |
− 4 |
−5 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
7. A = − 2 |
− 4 − 6 |
−8 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
α |
0 |
|
|
|
Вариант 2
2 , f ( A) −? 3
2x1 + x2 = 5,
3. x1 +3x3 =16,
5x2 − x3 =10.
|
|
2 1 |
0 |
|
|
|
|
|
x1 |
+ x2 + x3 |
|
= 0, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2x1 |
− x2 +3x3 |
+ x4 = −2, |
|
|||||||||
4. |
A = 1 0 3 |
. |
|
|
|
5. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x1 + 2x2 |
|
|
+3x4 = 8, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 5 |
−1 |
|
|
|
|
3x |
+ x |
2 |
+ |
x |
− x |
4 |
= −2. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
−5 1 6 |
|
− 2 |
|
|
1 −1 5 −5 |
|
|
||||||||||
6. |
|
|
|
= |
|
0 |
|
7. A = |
|
−2 |
α |
|
|
|
|
|||
−3 1 4 X |
|
. |
2 |
−10 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 0 1 |
|
|
|
|
|
0 0 0 |
|
|
|
8. x1 + 2x2 − x3 + x4 = 2, 2x1 −3x2 + x3 − x4 =1.
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
6 |
1 |
0 3 2 |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
′ |
′ ′ |
|||||||
1. |
A = |
|
, |
B = |
|
, |
X = |
|
|
|
||
|
|
2 |
1 |
0 |
−1 −1 1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
51
|
|
|
|
|
3 |
−3 |
−5 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
x1 + x2 − 2x3 |
= 6, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−3 |
2 |
|
4 |
|
|
− |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
3. 2x1 +3x2 − |
7x3 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
−5 |
− 7 |
|
|
5 |
|
|
|
|
16, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x + 2x |
|
|
+ |
|
|
x |
|
=16. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− 4 |
3 |
|
5 |
|
|
−6 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 − 2x2 |
|
+ 5x3 + 4x4 |
|
= 2, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x1 − 4x2 |
|
+ 4x3 +3x4 |
|
= 3, |
|
|||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
A = 2 3 − |
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x1 − 6x2 |
|
+ 3x3 + 2x4 = 4, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15x |
−10x |
|
|
|
+ |
7x |
|
|
|
+ |
5x |
|
|
= 7. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
5 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 3 |
|
|
|
3 |
|
11 |
11 |
|
|
|
0 α 0 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. X 1 |
−1 0 |
= |
|
2 −3 −1 . |
7. A = |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 −1 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 −3 0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8. |
|
|
|
|
x1 − 2x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2x1 + 3x2 − x3 |
+ x4 − x5 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
, Y = |
|
1 |
|
, X |
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. A = |
2 |
|
|
=Y A AY −? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
−5 |
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x1 +8x2 + x3 = 2, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
− 4 |
|
7 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4 |
−9 |
|
8 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
3. 3x1 − 2x2 + 6x3 = −7, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
+ |
|
x |
|
|
− |
x |
|
|
= −5. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−3 |
2 |
|
−5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
5 |
8 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 −5x2 |
|
+ 2x3 + 4x4 |
|
= 2, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x1 −4x2 |
|
+ x3 +3x4 |
|
= 5, |
|
|||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
A = 3 − 2 6 |
. |
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x1 + 7x2 |
|
− 4x3 − 6x4 = 3, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10x |
|
−9x |
2 |
|
+3x |
3 |
|
+ 7x |
4 |
|
= 7. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 −1 3 |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
|
2 3 5 X |
= |
|
|
3 |
|
. |
|
|
|
7. A = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 −3 1 . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 − 6 2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
2 |
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
52
2x1 + 3x2 − x3 + x4 |
= 0, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
8. x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0, |
||||||
3x + 2x |
2 |
+ |
x |
+ 2x |
4 |
= 0. |
1 |
|
3 |
|
|
1. |
f |
(x) = x2 − 4x −9, |
|
3 |
||||
A = |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−3 |
− 2 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
2 |
5 |
4 |
6 |
|
. |
|
|
|
5 |
5 |
8 |
7 |
|
|
|
|
|
4 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
Вариант 5
6 |
|
f ( A) −? |
|
|
|
, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 −3x2 |
+ x3 |
= −7, |
|
|
3. x1 + 4x2 |
+ 2x3 |
|
|
|
= −1, |
||
|
|
x1 − 4x2 |
|
|
|
|
|
= −5. |
|
|
2 |
−3 |
|
1 |
|
4. |
A = 1 |
4 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
2 |
1 |
−1 |
2 |
2 |
|
6. |
2 −1 2 |
X = 1 −3 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
−1 |
||
8. |
x1 + 2x2 |
− x3 |
+ x4 = 0, |
|||
2x1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
− x3 +3x4 = 0. |
1. |
A = 3 |
2 , B = −1 2 |
, |
|||||
|
|
2 |
3 |
|
2 −1 |
|||
|
3 |
−5 |
|
− 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
− 4 |
7 |
|
4 |
4 |
|
. |
|
|
4 |
−9 |
|
−3 |
7 |
|
|
|
|
2 |
−6 |
|
−3 |
2 |
|
|
|
|
4 |
2 |
−1 |
|
4. |
A = 1 |
2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
−1 |
2x −3x + 5x + 7x =1,
5.2x1 −3x2 −11x3 −15x4 =1,
4x1 −6x2 + 2x3 + 3x4 = 2.1 432
|
|
α |
2α |
3α |
4α |
||
7. |
A = |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
. |
||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
Вариант 6
C = |
6 |
− 4 . AB − BA −C 2 |
−? |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
− 6 |
|
|
|
|
4x1 + 2x2 − x3 |
= 0, |
|
|
|
3. x1 + 2x2 + x3 |
=1, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x3 = −3. |
9x1 −3x2 + 5x3 + 6x4 = 4, |
|
5. 6x1 −2x2 + 3x3 + x4 = 5, |
|
|
3x1 − x2 +3x3 +14x4 = −8.
53
|
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
||
6. |
X |
−1 3 |
4 |
= [− 2 −3 0]. |
7. A = −1 1 |
2 |
1 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
3 |
5 |
α |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|||||
8. |
x1 + x2 − x3 |
+ x4 − x5 = 0, |
|
|
|
|
|
||||
2x1 |
+ 2x2 + 3x3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
− x4 + 2x5 = 0. |
|
|
|
|
|
Вариант 7
1. C = |
1 |
1 , D = |
1 1 , A = |
6 − 4 . CD − DC − A2 −? |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−1 |
|
|
|
1 1 |
|
9 |
− 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−5 |
2 |
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
2x1 − x2 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
−3 |
4 |
−5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
|
. |
|
|
|
|
3. |
x1 + 2x2 |
|
|
|
|
|
||||
−5 |
7 |
− 7 |
|
5 |
|
|
|
|
− x3 = −2, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
8 |
−8 |
5 |
|
− 6 |
|
|
|
|
|
|
x2 + x3 = −5. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 −1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
4x1 + 2x2 |
− x3 |
+ 2x4 |
= 3, |
||||
4. A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. 3x1 + 2x2 |
−3x3 |
+ 4x4 |
=1, |
|
|||
1 2 −1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 +3x2 − 2x3 + 3x4 = 2. |
||||||||
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 3 1 |
1 1 |
2 |
|
|
|
|
α 0 −1 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. X 7 9 5 = |
1 2 −1 . |
|
|
7. |
A = 2α |
0 − |
2 4 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 α |
0 |
|
|
||||
8. |
x1 − x2 + x3 − x4 + x5 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2x1 |
− 2x2 |
+ 3x3 |
+ 4x4 − x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
||
3 |
0 |
1 |
−1 |
1 |
|
|
1 |
. ABC −? |
1. A = 2 |
−1 |
0 , |
B = 2 |
− 2 , |
C = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
1 |
5 |
|
|
|
|
54
|
1 |
0 |
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
x1 − x2 |
+ 2x3 = 0, |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
−1 |
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
|
|
. |
|
|
3. x1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
− 2x3 = 2, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + x |
|
+ 4x |
|
= 2. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
||||||||
|
4 |
− 2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 −1 |
2 |
|
|
|
|
x1 − 2x2 + 2x3 |
=1, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
2x1 +3x2 − x3 |
|
||||||||||||||
4. A = 1 1 |
− 2 . |
|
|
5. |
= 4, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 + |
x2 + 3x3 = 7, |
||||||||||
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
− |
x |
2 |
+ 2x |
= 2. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
−3 −3 2 |
|
|
|
|
0 1 5 −1 |
||||||||||||||
6. |
X |
3 |
3 |
1 |
|
= [1 2 5]. |
7. A = |
0 |
α 10 |
− 2 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−1 |
|
|
|
|
0 0 0 |
0 |
||||||||||||
8. |
x1 + x2 − |
x3 + x4 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x1 |
+ 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3x3 − x4 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 2 |
0 1 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
A = |
2 3 |
1 |
|
, |
B = 2 0 |
−3 . AB −? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 0 − 2 |
3 4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
− 2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
3x1 |
|
|
+ x3 =1, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
0 |
−1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
. |
|
|
|
3. − x1 |
+ 2x2 + |
|
|
|
|||||||||
−1 |
3 |
4 |
6 |
|
|
|
3x3 = 3, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x1 + 4 x2 + |
|
|
|
|||||||||
|
2 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
x3 =1. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
− 2x1 + 2x2 − x3 |
= −7, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 −3x2 + |
x3 |
= 6, |
|
||||||||
4. |
A = −1 2 3 . |
|
|
|
|
|
5. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 + x2 + 2x3 = 7, |
|
||||||
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4x |
− 2x |
2 |
+ 3x |
=13. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 −1 0 |
|
|
0 4 |
|
|
|
−1 0 2 |
1 |
|||||||||
6. |
2 4 |
−1 X |
= |
0 − 2 . |
|
7. A = |
|
2 0 |
− 4 − 2 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 α |
|
|
|
||
|
0 1 |
|
|
|
5 7 |
|
|
|
|
|
− 2 −1 |
55
8. |
x1 + 2x2 − |
x3 + 4x4 − x5 |
= 0, |
||||
2x1 |
+ 4x2 |
+ |
3x3 + |
x4 + x5 = 0. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. A = |
|
|
|
|
|
|
f (x) = x |
3 |
−5x |
2 |
+ 7x −3, |
f ( A) −? |
|
|
|
|
|
||
0 1 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
+5x2 |
− x3 |
= 2, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
3 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
. |
|
|
|
|
|
3. |
x1 |
−3x2 |
+ 2x3 |
|
|
|||||||
0 |
3 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
= 3, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 7x2 −3x3 = 3. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 − x2 + x3 = 6, |
|
|||||
|
|
3 |
5 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
x |
−5x |
2 |
+ x |
3 |
=12, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
4. A = |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
5. 2x1 |
+ 4x2 |
|
|
|
|
|||||
1 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
= −6, |
|||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 |
+ x2 + 3x3 = 3, |
|
||||
|
|
6 7 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x1 |
|
|
+ 4x3 = 9. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 −1 0 |
|
|
−1 2 |
|
|
|
|
0 −1 2 α |
||||||||||
6. |
2 1 −1 X |
= |
|
1 0 . |
|
|
7. A = 2 1 3 −α . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
0 −1 |
|
|
|
|
2 0 5 0 |
|
8. |
x1 −3x2 + x3 −x4 |
= 0, |
||
2x1 |
+ x2 |
− x3 + x4 |
|
|
|
= 0. |
56