5.7. Непрерывность и точки разрыва функции

Непрерывность функции в точке. Функция y = f (x) называется непре-

рывной в точке x0 , если:

1)эта функция определена в некоторой окрестности точки x0 ;

2)существует предел lim f (x) ;

→x0

тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Односторонняя непрерывность. Функция y = f (x) называется непрерыв-

ной слева в точке x0 , если она определена на некотором полуинтервале (a; x0 ]

и lim f (x) = f (x0 ) .

x→x0 −0

Функция y = f (x) называется непрерывной справа в точке x0 , если она оп-

ределена на некотором полуинтервале [x0 ;a) и lim f (x) = f (x0 ) .

x→x0 +0

Непрерывность функции на множестве. Функция y = f (x) называется

непрерывной на множестве X , если она является непрерывной в каждой точке x этого множества. При этом если функция определена в конце некоторого промежутка числовой оси, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. В частности, функция y = f (x) называется не-

прерывной на отрезке [a;b], если она

237

1)непрерывна в каждой точке интервала (a;b);

2)непрерывна справа в точке a ;

3)непрерывна слева в точке b .

Точки разрыва функции. Точка x0 , принадлежащая области определения функции y = f (x) , или являющаяся граничной точкой этой области, называется

точкой разрыва данной функции, если f (x) не является непрерывной в этой точке.

Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого и второго рода:

1) Если существуют конечные пределы lim f (x) = f (x0 −0) и

x→x0 −0

f (x0 −0) = f (x0 + 0) = A ≠ f (x0 ) , то x0 называется точкой устранимого разрыва.

В этом случае, положив f (x0 ) = A, можно видоизменить функцию в точке x0

так, чтобы она стала непрерывной (доопределить функцию по непрерывности). Разность f (x0 + 0) − f (x0 −0) называется скачком функции в точке x0 .

Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю.

2) Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва II рода. В точках разрыва II рода не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределов f (x0 −0) и f (x0 + 0) .

Свойства функций, непрерывных в точке.

2)Если функция u(x) непрерывна в точке x0 , а функция f (u) непрерывна

вточке u0 = u(x0 ) , то сложная функция f (u(x)) непрерывна в точке x0 .

238

3) Все основные элементарные функции (c , xa , ax , loga x , sin x , cos x , tg x , ctg x , sec x , cosec x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x ) непрерывны в каж-

дой точке своих областей определения.

Из свойств 1)–3) следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1) (теорема о промежуточных значениях) Пусть функция f (x) определе-

на и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда для любого числа C , заключенного

между числами f (a) и f (b) , ( f (a) < C < f (b) ) найдется хотя бы одна точка x0 [a;b], такая, что f (x0 ) =C .

2) (теорема Больцано – Коши) Пусть функция f (x) определена и непре-

рывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах значения различных знаков.

Тогда найдется хотя бы одна точка x0 [a;b], такая, что f (x0 ) = 0 .

3) (1-я теорема Вейерштрасса) Пусть функция f (x) определена и непре-

рывна на отрезке [a;b]. Тогда эта функция ограничена на этом отрезке.

4) (2-я теорема Вейерштрасса) Пусть функция f (x) определена и непре-

f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) .

Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функция y = 3x2 + 2x −5 непрерывна в произвольной точке x0 числовой оси.

Решение: 1 способ: Пусть x0 – произвольная точка числовой оси. Вы-

числим сначала предел функции f (x) при x → x0 , применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций:

239

определению и означает непрерывность рассматриваемой функции в точке x0 .

Таким образом, lim y = 0 , что и означает по определению непрерывность

x→0

функции для любого x0 R .

Пример 5.18. Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. В

случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:

1)f (x) = 1 − x2 при x <3 ;

5x при x ≥ 3

2)f (x) = x2 + 4x +3 ;

x+1

Решение: 1) Областью определения данной функции является вся число-

вая ось (−∞;+∞). На интервалах (−∞;3), (3;+∞) функция непрерывна. Разрыв возможен лишь в точке x = 3 , в которой изменяется аналитическое задание функции.

240

Найдем односторонние пределы функции в указанной точке:

f (3 −0) = lim (1 − x2 ) =1 −9 =8;

x→3−0

f (3 + 0) = lim 5x =15.

x→3+0

f(x) непрерывна справа.

2)Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = −1, в которой она не определена. Преобразуем выражение для f (x) , разложив числитель

Мы выяснили, что левый и правый пределы функции в исследуемой точке существуют, конечны и равны между собой, поэтому x = −1 – точка устранимо-

прямую y = x +3 с «выколотой» точкой M (−1;2) . Чтобы функция стала непре-

рывной, следует положить f (−1) = f (−1 −0) = f (−1+ 0) = 2 .

Таким образом, доопределив f (x) по непрерывности в точке x = −1, мы получили функцию f * (x) = x +3 с областью определения (−∞;+∞).

3)Данная функция определена и непрерывна для всех x , кроме точек

x= 0 , x = 2 , в которых знаменатель дроби обращается в ноль.

Рассмотрим точку x = 0 :

241

Поскольку в достаточно малой окрестности нуля функция принимает толь-

Рассмотрим теперь точку x = 2 :

Функция принимает отрицательные значения вблизи слева от рассматри-

ция не имеет ни левого, ни правого конечного пределов, т.е. терпит в этой точке разрыв II рода.

Задачи для самостоятельного решения

5.174. Пользуясь лишь определением, доказать непрерывность функции f (x) в

каждой точке x0 R :

242

в точке x = 0 , но непрерывна справа в этой точке. Построить график функции f (x) .

Какие из условий непрерывности в точках разрыва этих функций выполнены, и какие не выполнены?

5.179. Указать точку разрыва функции

Какие из условий непрерывности в этой точке выполнены, и какие не выполнены?

243

1

5.180. Указать точку разрыва функции y = 2x и определить ее род. Найти lim y

x→±∞

и построить эскиз графика функции. Какие условия непрерывности в точке разрыва не выполнены?

Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. Построить гра-

фик данной функции.

первого рода найти скачок функции в точках разрыва. В случае устранимого разрыва доопределить функцию « по непрерывности».

244