7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба

x = ±1. Нанесем на числовую ось точки x = ±1 и определим на полученных интервалах знаки второй производной.

Функция выпукла на промежутках (−∞; −1) и (1; + ∞) и вогнута на промежутке

(–1; 1). В точках x = ±1 вторая производная функции равна нулю и меняет знак, следовательно, эти точки являются точками перегиба.

Задачи для самостоятельного решения

Найти интервалы выпуклости, вогнутости точки перегиба кривых.

285

7.5. Асимптоты. Построение графиков функций

Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции

y = f (x) , если расстояние от точки M (x, f (x)) до данной прямой стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность.

то прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции при x → +∞. Если существуют аналогичные пределы x → −∞, то прямая y = kx + b

является наклонной асимптотой графика функции при x → −∞ . Следует отметить, что асимптоты при x → +∞ и при x → −∞ могут быть различными.

Прямая x = x0 является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) , если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке x0

равен бесконечности.

Для исследования функции и построения ее графика может использоваться следующая схема:

1)найти область определения функции;

2)определить четность (нечетность) функции, ее периодичность;

3)найти точки разрыва функции, ее вертикальные асимптоты;

4)найти точки перегиба с осями координат;

5)найти интервалы возрастания, убывания функции и ее экстремумы;

6)найти интервалы выпуклости, вогнутости функции, точки перегиба;

7)найти наклонные асимптоты графика функции;

8)построить график функции.

чаем, что прямая х = 1 является вертикальной асимптотой.

286

x → −∞, то в обоих случаях наклонной асимптотой является у = 2х + 1.

Пример 7.12. Исследовать функцию y = x2x+1 и построить ее график .

Ре ш е н и е.

1)Область определения x (−∞; 0) (0; + ∞) .

2)Так как f (−x) = x2 +1 = − f (x) , функция является нечетной.

−x

при x > 0 , делаем заключение, что на интервале (−∞;0) функция выпукла,

на интервале (0; + ∞) – вогнута, точка х = 0 является точкой перегиба.

287

у

–1

••

1х

•• –2

Рис. 7.2

Задачи для самостоятельного решения

288

7.6.Применение производной в задачах

сэкономическим содержанием

Введем обозначения: х – количество произведенной и проданной продукции, R(х) – выручка от реализации этой продукции, С(х) - соответствующие этому выпуску издержки, Р(х) = R(х) – С(х) – полученная при этом прибыль, р(х) – цена единицы продукции. Функцию спроса будем записывать в виде

р = f(х) или x =ϕ( p) .

Предельные издержки обозначаются МС(х) и равны дополнительным издержкам, необходимым для производства одной дополнительной единицы продукции, т.е.

289

MC(x) = C(x) = C(x +1) −C(x) ≈ dC = C′(x) .

В связи с этим будем считать, что MC(x) = C′(x) , т.е. предельные из-

держки равны производной от функции издержек.

Аналогичным образом определяются предельные прибыль P′(x) и вы-

ручка R′(x) , которые определяют, соответственно, прибыль и выручку от про-

изводства и продажи одной дополнительной единицы продукции.

Если прибыль при некотором значении x0 максимальна, то P′(x0 ) = R′(x0 ) −C′(x0 ) = 0 , откуда следует, что R′(x0 ) = C′(x0 ) . Таким образом максимум прибыли достигается при количестве x0 произведенной продукции,

для которого предельная выручка равна предельным издержкам.

Эластичность функции в точке х показывает, на сколько процентов изменится значение функции при изменении аргумента на 1%. Функция эластична в точке х, если Ey (x) >1 и неэластична, если Ey (x) <1.

Пример 7.13. Функция спроса на некоторый продукт задана уравнением p = 400 − x , 0 ≤ x ≤ 400 . На сколько изменится выручка, если объем продаж увеличится с 256 до 257 единиц? Сравнить эту величину с предельной выручкой.

Р е ш е н и е. Выручка R(x) = xp = x 400 − x.

290

издержки составляют C(x) = 5000 + 0,56x, 0 ≤ x ≤ 56000 . Сколько пирожков в неделю необходимо выпекать, чтобы прибыль была максимальной? Вычислить прибыль при х = 20000, х = 30000, х = 40000 и сравнить с максимальной.

Р е ш е н и е.

291

а) Найти интервалы, на которых спрос эластичен, неэластичен и точку, в которой он имеет единичную эластичность.

б) Найти промежутки, на которых выручка R возрастает и убывает сопоставить

выручки. Таким образом, в области, в которой спрос эластичен увеличение объема производства ведет к увеличению выручки, а в области, где он не-

эластичен, наоборот, к ее снижению.

292

На сколько процентов изменится значение функции в этой точке, если аргумент

Следовательно, если значение аргумента увеличится на 1%, то значение функ-

ции уменьшится на 13 %; если значение аргумента увеличится на 4%, то значе-

ние функции уменьшится на − 34 %.

Задачи для самостоятельного решения

7.193. Функция спроса для некоторого товара имеет вид

p =1000 − 0,5x2 , где х – количество единиц произведенного и проданного то-

вара, р – цена одной единицы при данном уровне производства х. Общие из-

держки заданы функцией C(x) = 400x +1000 . При каком объеме выпуска про-

дукции прибыль будет максимальной? Какова при этом цена одного изделия и средние издержки?

293

7.194. Компания производит игрушки. Выручка и издержки заданы

соответственно функциями R(x) = 500x − x2 , C(x) = 75000 + 2x , где х – число

20

игрушек, произведенных за неделю. При каком объеме выпуска продукции прибыль будет наибольшей?

равны C(x) = 0,5x +500 . Найти: а) максимальную прибыль; б) предельную прибыль в точках х = 900, х = 1600, х = 2500, х = 3600.

7.196. Выручка от сдачи в аренду х единиц площади определяется

функцией R(x) = 2x(900 +32x − x2 ) . Найти: а) дополнительный доход при

увеличении арендуемой площади с 14 до 15 единиц; б) предельный доход при х = 14. Сравнить результаты пунктов а) и б).

Найти ценовую эластичность спроса в указанной точке и установить, будет ли спрос в этой точке эластичным, неэластичным или же он равен единице.

Найти эластичность функций в указанных точках.

294