Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
сборник выс мат часть 1(2013).pdf
Скачиваний:
142
Добавлен:
20.02.2016
Размер:
2.2 Mб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет»

Сборник задач и упражнений по высшей математике

для студентов экономических специальностей

Часть I

МИНСК 2007

ПР Е Д И С Л О В И Е

Впервые два года обучения студенты экономических специальностей изучают курс высшей математики, служащий фундаментом экономического образования. Для успешного и глубокого усвоения курса высшей математики необходимы не только учебники и справочники по соответствующим разделам, но и задачники, служащий для закрепления теоретического материала и повышения уровня математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направленности.

При подготовке сборника авторы исходили из того, что наиболее эффективной формой изучения высшей математики является, помимо изучения теоретического материала, самостоятельная работа студентов над практическими заданиями при надлежащем контроле со стороны преподавателей. Поэтому каждый параграф содержит краткие сведения из теории, носящие справочный характер, и достаточно большое число примеров с подробным решением для иллюстрации наиболее рациональных приемов. В конце каждой главы данные соответствующие контрольные задания, что облегчает использование этого сборника преподавателями.

Материал сборника подготовлен сотрудниками кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета и распределен следующим образом: гл. 1 написана доцентом, к.ф.-м.н. Е.И. Шилкиной; гл. 2 – доцентом, к.ф.-м.н. А.В. Конюхом; гл. 3 – доцентом, к.ф.-м.н. О.Н. Поддубной; гл.4–5 – доцентом, к.ф.-м. н. С.В. Майоровской; гл. 6 – 7 – доцентом, к.ф.-м. н. В.В. Косьянчуком.

Вконце книги даны ответы на предложенные задачи и приведен список литературы, в которой вошли в основном все источники, использованные авторами при составлении данного сборника.

Вприложении в конце книги также даны примерные варианты тестовых заданий для контроля усвоения курса студентами.

Задачник может быть использован студентами экономических специальностей различных вузов всех форм обучения.

Авторы будут благодарны за все замечания и предложения по улучшению данного сборника.

3

Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры Основы аналитической геометрии

Глава 1. Элементы линейной алгебры

1.1. Матрицы и операции над ними

Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица mn действительных чисел, записываемая в виде

a11

A = a21

am1

a12

a1n

a

a

 

22

 

2n .

… …

 

 

am2

amn

 

 

 

 

Если число строк матрицы A равно числу ее столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n и обозначают An . Элементы a11, a22 ,,ann квадратной матрицы образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, называется единичной матрицей и обозначается E.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

Транспонированием матрицы A = (aij )m×n называется такое ее преобразо-

вание, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров и порядком следования элементов. Матрица, полученная транспонированием матрицы A, называется транспонированной и обозначается A. Таким об-

разом, A′ = (aij)n×m , где aji = aij , i =1,2,, m; j =1,2,, n .

4

Суммой двух матриц

A= (aij )m×n и B = (bij )m×n называется такая матрица

С = (cij )m×n , в которой cij = aij +bij (i =1, 2,, m; j =1, 2,, n).

Кратко пишут С

= А + В.

 

 

Произведением матрицы A= (aij )m×n на число α называется такая матрица

B = (bij )m×n , в которой

bij =α aij (i =1, 2,, m; j =1, 2,, n).

Кратко пишут

B = A α или B =α A .

 

 

Произведением матрицы A = (aik )m×n на матрицу B = (bkj )n×p справа (или матрицы В на матрицу А слева) называется такая матрица C = (cij )m×p , в кото-

n

(i =

 

 

 

).

рой cij = ai1b1 j + ai 2b2 j +…+ aikbkj +…+ ainbnj = aikbkj

 

; j =

 

1, m

1, n

k =1

 

 

 

 

 

Произведение матрицы А на матрицу В справа обозначается С = АВ (так же обозначается произведение матрицы В на матрицу А слева). Правило умножения матриц формулируется следующим образом: чтобы получить элемент cij , стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы С = АВ,

нужно элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

 

 

 

1

2

3

 

 

1

1

 

 

Пример 1.1. Пусть

,

B =

0

2 . Тогда

A =

0

 

 

 

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1 1 + 2 0 + 3 2

 

1 (1) + 2 (2) + 3 0

7 5

AB =

1 + 0 0 + (1) 2 4 (1) +

 

 

 

=

 

.

4

0 (2) + (1) 0 2

4

1 1 + (1) 4 1 2 + (1) 0 1 3 + (1) (1) 3 2 4

 

1 + (2) 4 0 2 + (2) 0 0

3 + (2)

 

 

 

 

BA = 0

(1)

= −8 0 2 .

 

2

1 + 0 4

2 2

+ 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 + 0 (1)

2 4 6

Таким образом, AB BA.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.2. Пусть

1

1

,

B

1

1

 

 

 

 

A =

 

=

 

. Тогда

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

1

 

 

 

5

1 (1) +1 1

1 1 +1 (1) 0

0

 

AB =

(1)

+1 1

 

=

 

= 0 ,

1

1 1 +1 (1)

0

0

 

1 1 +1 1

1 1 +1 1 0

0

= 0 .

BA =

1

1

+1 1

 

=

 

 

1 1 +1 1

0

0

 

Таким образом, AB = BA = 0, хотя A 0 , B 0 .

Многочлены от матриц. Пусть А – произвольная квадратная матрица n- го порядка, k – натуральное число. Тогда k-й степенью матрицы А называется произведение k матриц, каждая из которых равна А: Аk = A AA . Нулевой

 

 

 

 

 

k раз

степенью A0

квадратной матрицы А (A 0) называется единичная матрица,

порядок которой равен порядку А: A0 = E .

 

 

 

 

Пусть

f (t) =α0t m +α1t m1 +…+αm

есть

многочлен

аргумента t, где

α0 ,α1,,αm действительные числа. Тогда многочленом

f ( A) от матрицы

А

называется матрица f ( A) =α0 Am +α1 Am1 +…+αm E ; порядок матрицы

f

( A) совпадает с порядком матрицы А.

Если

f ( A) есть нулевая матрица:

f

( A) = 0 , то многочлен f (t) называется аннулирующим многочленом матрицы

А, а сама матрица А называется корнем многочлена f (t) .

Пример 1.3. Если

 

1

2

, f (t) = t 2

2t + 3 , то

А=

 

 

 

1

1

 

 

 

1 2

1 2

2

 

1 2

+ 3

1

0

0

0

f ( A) =

 

 

 

 

 

 

=

.

1 1 1 1

 

1 1

 

0

1

0

0

Задачи для самостоятельного решения

1.1. Определить размерность следующих матриц:

1 2 ,

1

2

3

4 ,

5 6

 

1

7

8

, [2],

2 , [1 2 3].

 

3 5

5

6

7

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

10

3

6

1.2. Какие из следующих матриц являются диагональными, верхними треугольными, нижними треугольными:

0 2

1

0

0

 

1 1

 

1

0

0

1 0

 

 

 

 

D = − 3 0

0 ,

A =

,

B = 0 2 0 , C =

,

E =

,

3

4

 

 

 

 

0 1

 

 

 

 

0 1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

0

4

 

 

 

 

5

 

 

0

1

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

10

 

 

 

 

 

 

1.3. Дана матрица

B =

 

5

 

 

 

 

 

 

b22 , b31,

2

7 . Чему равны элементы

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

 

 

 

 

 

b13 ? Какие элементы образуют главную диагональ, какие – побочную?

1.4. Найти A 2B + 3C, если:

5 3

1 2 3 2

0

1

A = 1

2 , B =

4

1

, C = − 2 3

.

 

5

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

1 2 5 2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5. Найти матрицу Х из уравнения:

1

2

 

5

2

1

3 2

 

1 0 0

 

 

 

+ 2X =

 

 

 

 

3

1

 

 

+3X =

 

1

 

а) 2

3

2 5 ;

б)

2

0

0 .

 

4

4

 

 

2

2

3 2

1

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6. Найти АВ и установить, существует ли ВА, если

 

 

2

3

4

5

 

300

200

 

 

400

100

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

9

2

3 4

,

B =

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

300

 

 

 

5

3

 

100

 

 

1

11

 

500

 

 

 

 

 

 

 

 

200

 

1.7. Найти АВ и ВА, если:

1

0

0

1

 

 

1

1

 

1

 

1

а) A =

,

B =

;

 

б) A =

, B

=

 

;

0

0

0

0

 

 

1

1

 

1

1

2

3

2 3

 

2

3

0

 

1

0

г)

B =

1

4 ;

в) A =

,

B =

 

;

A =

0

,

1

2

1 2

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

7

 

1

д)

A = 2 , B = [1 4 0].

 

 

 

 

 

 

 

3

Сделать вывод о выполнении равенства АВ = ВА.

 

2

3

0

 

1

1.8. Даны матрицы

1],

X = 2 . Найти те по-

A =

0

, Y = [4

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

парные произведения данных матриц, которые существуют.

1.9. На примере матриц А и В убедиться, что AB = 0, хотя A 0, B 0,

если:

а)

A =

2

3

B =

9

6

 

 

 

,

 

 

;

 

 

 

 

4

6

 

6

4

 

 

 

 

5 2 2 3

 

 

2

2 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 3 11

 

б)

A =

6 4

3 5

,

B =

1

 

9 2

3 4

16 24 8 8

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 6

4 7

 

 

8 16 0 16

 

1.10. Дано:

 

 

 

 

 

 

1 3 0

 

1 0 2

6 5 7

A = 0 4 1 , B =

0 1 1 ,

X = 2 2 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 0

 

2 0 2

3 3 6

Показать, что АХ = ВХ, хотя A B.

 

 

1.11. Найти A2 , если A = 6

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

6

 

1.12. Показать, что операция транспонирования матрицы обладает свой-

ствами:

 

 

 

 

 

 

′ ′

а) (A + B)

= A

+ B ;

б) (AB)

= B A ;

с) (cA)

= cA .

 

 

 

 

 

1.13. Найти A B BA, если:

 

 

 

8

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1 0

3 2 ;

 

 

б) A = 1 , B =

3 6 .

 

а) A =

,

B =

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 1

 

 

 

1

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.14. Дано:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3 6 ,

 

 

 

3 2 ,

 

 

 

 

1 .

 

 

 

A =

B =

1 0

X =

1 ,

Y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

0

1 1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

Найти AB,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BX , B BX , AY,

A AY.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.15. Даны матрицы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

1 0

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

1 0 1 , B = 2 2 3 ,

C = −1 0

1

,

D = −1 1 .

 

 

 

 

 

 

3 3 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 7 5

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определить размерность следующих матриц: AC, AD, DA, BC, CB, DAC, BCDA. Найти:

1)элемент, стоящий во второй строке и втором столбце матрицы АС;

2)элемент, стоящий в четвертой строке и первом столбце матрицы ВС;

3)элемент, стоящий в последней строке и последнем столбце матрицы DA;

4)элемент, стоящий в первой строке и первом столбце матрицы ВС.

1.16.Пользуясь свойствами умножения матриц, вычислить наиболее ра-

ционально АВ, если

340

510

 

24

36

A =

,

B =

 

24

.

 

170

340

12

 

1.17. Даны матрицы

 

3

4

8

1

 

2 7

A =

,

B =

,

C =

 

. Найти мат-

 

 

 

5

1

2

3

8 1

 

рицу D = λ1 A + λ2 B + λ3C, если λ1 = 2, λ2 = −1, λ3 =1.

 

 

 

1.18. Найти

f ( A), если:

 

 

 

 

 

 

 

а) f (x) = x2 5x +

3, A =

2

1

 

 

 

 

 

 

3

;

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

2

 

1

1

 

 

 

б) f (x) = x

2

x +1,

A =

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

в) f (x) = x2 2x + 3,

 

1

1

 

 

 

A =

3

;

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

г) f (x) = x3 2x2 + x + 4,

 

 

3

1

 

 

 

A =

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

2

 

 

 

д) f (x) = 3x2 4x +1, A =

0 0

1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е) f (x) = x4 2x2 + 3x 5,

A =

0 2 0 0 .

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

 

1.19.

Найти

2 f ( A) 3g( A),

если

 

1 2

f (x) = x3 x2 + 5x + 4,

 

A =

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

 

g(x) = x2 2x +1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.20. Найти

f (B)

2g(B), если A =

0

1

f (x) = x2 2x +1,

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

g(x) = 3x +5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 1

 

 

 

1.21. Найти (f ( A))2 ,

если A = 2

1

3 ,

f (x) = x +1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

1.22. Найти (f ( A))3 ,

если A = 1

 

2 ,

f (x) = 2x +1.

 

 

 

 

 

 

 

1 0

 

 

 

 

1.23. Выполнить указанные действия:

 

 

 

 

1 5 2

1

0

0 5

0

1

4

 

cosα

sinα 3

а)

2 3

; б) 0

1

0 ; в)

0

0

;

г)

sinα

cosα .

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

10

a11,
det A = a11.

1.24. Вычислить выражения при n = 2 и n = 3, обнаружить закономер-

ность и с помощью метода математической индукции обосновать ответ:

1

1 n

λ

1

n

cosα

sinα n

1

a n

а)

 

;

б)

0

λ

 

;

в)

cosα

 

;

г)

.

0

1

 

 

 

 

sinα

 

 

0

1

1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Пусть имеется произвольная квадратная матрица n-го порядка:

a11

a21

A =

ai1

an1

a

a

a

 

 

 

12

 

1k

 

1n

 

 

a22

a2k

a2n

 

… …

… …

 

(1.1)

.

ai2

aik

ain

 

 

… …

… …

 

 

a

 

a

 

a

 

 

 

n2

nk

 

 

 

 

 

 

nn

 

Каждой такой матрице поставим в соответствие число, обозначаемое A

или det A и называемое определителем этой матрицы. Для обозначения определителей также используют греческую букву .

При n =1 матрица (1.1) имеет вид A =[a11 ], и, по определению, будем счи-

тать определителем этой матрицы (определителем первого порядка) само число т.е.

Пусть теперь n 2. Минором M ik элемента aik матрицы (1.1) назовем определитель матрицы (n 1) го порядка, полученной из (1.1) вычеркиванием

i строки и k-го столбца. Алгебраическим дополнением Aik

элемента aik матри-

цы

(1.1) назовем произведение множителя (1)i+k на

минор M ik , т.е.

A

= (1)i+k M

ik

. Определителем матрицы n-го порядка равен сумме произведе-

ik

 

 

 

ний элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения:

 

 

 

n

 

 

 

 

det A = a11 A11 + a12 A12 +…+ a1n A1n = a1k A1k .

(1.2)

k =1

11

Формула (1.2) называется разложением определителя n-го порядка по элементам первой строки.

Вычислим определитель третьего порядка:

 

а11

а12

а13

 

(1)1+1

 

а22

а23

 

(1)1+2

 

а21

а23

 

+ a (1)1+3

 

а21

а22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

а

а

а

= а

 

+ а

 

 

 

=

 

21

22

23

11

 

 

а32

а33

12

 

 

а31

а33

 

13

 

 

а31

а32

 

 

а31

а32

а33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= а11(а22а33 а23а32 ) а12 (а21а33 а23а31) + a13 (а21а32 а22а31) =

 

 

 

 

 

 

= а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 а13а22а31 a12а21а33 а11а23а32 .

(1.3)

 

Каждое из

шести

слагаемых

в

(1.3) называется членом

определителя

третьего порядка и есть произведение трех элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы составить выражение (1.3), можно воспользоваться схемой Саррюса (или правилом треугольников), согласно которой со знаком плюс берутся произведение элементов главной диагонали и произведения элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Со знаком минус берутся произведения элементов побочной диагонали и произведения элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали:

 

 

 

 

+

 

Перечислим свойства определителей.

1.Определитель матрицы, полученной из данной транспонированием, равен определителю данной матрицы: det A′ = det A.

2.При перестановке местами двух строк (столбцов), определитель меняет знак на противоположный, сохраняя при этом свою абсолютную величину.

3.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

12

4.Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя умножить на одно и то же число, то сам определитель умножится на это число.

Следствие 1. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Следствие 2. Если определитель содержит нулевую строку (столбец), то он равен нулю.

Следствие 3. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

5.Если каждый элемент i-й строки ( k го столбца) определителя есть сумма двух слагаемых: aik = aik′ + aik′′ , то определитель есть сумма двух опреде-

лителей; в первом из которых i-я строка ( k -й столбец) состоит из элементов aik, во втором – из элементов aik′′ .

6.Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения.

7.Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

8.Если к элементам некоторой строки определителя прибавить элементы другой строки, умноженные на произвольное число α, то определитель не изменится.

9.Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц.

Пример 1.4. Вычислить определитель треугольной матрицы:

a

0

0

0

 

11

a22

0

0

 

a21

 

А= a31

a32

a33

0

.

 

 

 

 

… …

 

an2

an3

 

 

an1

ann

Р е ш е н и е. Применяя последовательно формулу (1.2), получим

13

 

a22

0

0

 

a33

0

 

 

 

 

 

 

 

 

a32

a33

0

 

 

det A = a11

= a11 a22

… … …

=…= a11a22a33 ann .

… …

 

an2

an3

ann

 

an3

ann

 

 

 

 

 

 

Итак, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Аналогично можно показать, что определитель матрицы, у которой равны нулю все элементы, находящиеся выше (ниже) побочной диаго-

n(n1)

нали, равен произведению числа (1) 2 и всех элементов побочной диагона-

 

1

4

3

5

 

4 3

 

 

1

2

2

0

 

 

ли. Например,

= (1)

2

 

5 2 4 1 = 40 .

 

3

4

0

0

 

 

 

 

 

1

0

0

0

 

 

 

 

 

2

5

1

2

 

 

 

 

Пример 1.5. Вычислить определитель =

3

7

1

4

 

.

 

5

9

2

7

 

 

 

4

6

1

2

 

 

Р е ш е н и е. К первой и к четвертой строкам прибавим вторую строку, к третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на два, и разложим полученный определитель по третьему столбцу:

 

1

2

0

6

 

1

2

6

 

1

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

7

1 4

 

 

 

=

= (1) (1)2+3

1 5

15

= 3

1

5

5

.

 

1

5

0

15

 

1

1

6

 

1

1

2

 

 

1

1

0

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прибавляя третью строку к первой и второй строкам, получим:

 

0

3

4

= 3 1 (1)3+1

 

3

4

 

 

 

 

= 3

0

6

7

 

= 3 (21 24) = −9 .

 

1

1

2

 

 

6

7

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

14

a11x1 + a12 x2 +…+ a1n xn = b1,

 

 

 

a21x1 + a22 x2

+…+ a2n xn = b2

,

(1.4)

.................................................

 

 

 

a

x + a

n2

x

2

+…+ a

nn

x

n

= b

.

 

 

n1 1

 

 

 

 

 

n

 

 

 

Правило Крамера: если определитель матрицы

 

 

 

a11

a12

a1n

 

 

 

 

A =

a

21

a

a

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

2n

 

 

 

 

… … …

 

 

 

 

am1

am2

 

amn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

системы (1.4)

отличен от нуля,

то система имеет

единственное решение

(x1 ,, xn ), определяемое по формулам

 

 

x =

i , i =

 

,

(1.5)

 

1, n

 

i

 

 

 

 

где = det A, а

i определитель, полученный из определителя матрицы А за-

меной его i-го столбца столбцом свободных членов, i =1, n. Формулы (1.5) на-

зываются формулами Крамера.

2x1 + 3x2 +

x3

=1,

 

Пример 1.6. Решить систему уравнений 3x1

x2 +

 

 

 

 

по форму-

2x3 =1,

x

+ 4x

2

x

3

= 2

 

1

 

 

 

 

 

 

лам Крамера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

1

 

 

 

Р е ш е н и е. Выпишем матрицу системы A =

 

1

1

 

и вычислим ее

3

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

определитель =

2

3

1

 

3

1

2

= 2 + 6 +12 +1 16 + 9 =14 0.

 

1

4

1

 

Значит, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычисляем вспомогательные определители 1, 2 , 3 , заменяя в определителе

1, 2 и 3-й столбцы столбцом свободных членов:

15

 

1

3

1

 

 

2

1

1

 

 

2

3

1

 

1 =

1

1

2

=14,

2 =

3

1

2

= 0,

3 =

3

1

1

= −14.

 

2

4

1

 

 

1

2

1

 

 

1

4

2

 

По формулам Крамера находим: x1 = 1414 =1; x2 = 140 = 0; x3 = 1414 = −1.

Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

1.25. Вычислить определители:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

2

5

 

 

 

 

2

9

 

 

 

 

0

1

 

 

 

2

1

2

 

 

 

 

1

4

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

б)

;

 

в)

 

;

 

г)

3

1

5

;

 

 

д)

3 0

2

;

 

 

4

 

3

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

0

2

 

 

 

2

4

3

 

 

 

 

0

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

0

5

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

a

b

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е)

1

 

2

2

 

;

 

ж)

;

 

з)

;

 

и)

 

d e f

 

.

 

 

 

 

 

 

1

3

4

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

na

nb

 

 

 

 

 

a

b

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.26. Вычислить определители, пользуясь свойствами определителей:

 

3 5

7

 

2

 

 

 

 

 

 

1

2 3

 

 

4

 

 

 

 

3 4

 

2

1 2 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

1

 

2

3

 

4

;

 

 

 

б)

 

2

1

4 3

;

 

 

в)

1

 

2

3 2

8

;

 

2 3

3 2

 

 

 

 

 

 

3

4 1 2

 

 

 

 

5 6 4 3 4 3 14 3

 

 

1 3

5

 

4

 

 

 

 

 

 

4

3

2 1

 

 

 

 

2 5 4 5 1 2 12 5

 

 

1

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

1

2

3

 

4

 

 

 

4

3

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

1

1 1

 

1

;

д)

 

 

2 3

4

1

;

 

е)

1 2 0

0

;

 

 

 

 

1

 

1

1 1

 

 

 

 

 

3 4

1

 

2

 

 

 

5

4

3

 

2

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

4 1

2

 

3

 

 

 

1

3

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

0

3

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

0

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж)

 

 

1

3

 

5

4

 

;

 

з)

200

200

 

0

 

1600

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

0

6

 

 

 

 

 

19

20

 

 

31

 

190

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

3

4

 

 

 

 

1991

1

 

 

0

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

365

275

569

 

 

2401

1986

 

 

 

 

 

и)

3

3

3

;

к)

.

 

362

272

565

 

 

2402

1987

 

 

 

 

 

 

 

1.27.Пусть А – квадратная матрица четвертого порядка и ее определитель равен двум. Найти определитель матрицы 3А.

1.28.Пусть А – квадратная матрица пятого порядка и det A = 3. Найти

det(2 A).

1.29.Пусть А – квадратная матрица n-го порядка и det A = b.Найти

det(kA).

1.30.При каком значении α следующие определители равны нулю:

 

3 5

 

;

 

 

 

 

3 α 2

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

3 α

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

б)

 

 

;

 

в)

 

1 0

2

 

;

г)

2

 

α 0

 

;

 

 

 

 

1

α

 

 

 

 

 

 

2

 

 

α

 

 

 

 

 

1

2

α

 

 

 

 

 

10

 

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

5

 

 

 

 

 

1

2

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

 

0 10 α

 

;

 

е)

 

2 1 0

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

5

 

 

 

 

 

3

3

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

a12

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

a22

a2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.31. Доказать, что

 

0

0

a3n

= a11a22 ann .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

… …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

ann

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.32. Доказать, что

 

0 0

0

a2 n1

0

 

 

 

n(n1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

a

3 n1

0

0

 

= (1)

 

2

a

a

2n1

a

n1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

… … …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.33. Вычислить определители, используя теорему о разложении определителя по элементам строки (столбца):

17

 

0

0

2

0

0

 

 

3

2

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

5

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

2 0

 

 

 

а)

2 3 7

2 3

;

б)

 

 

;

 

 

 

1

0

4

2

0

 

 

1

2

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

1

3

0

0

 

 

 

 

1

2

0

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 4 2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

5

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

2 1 3

1

 

;

 

 

г)

 

 

0

 

2

 

 

7

1

 

.

 

1

2

1

0

 

 

 

 

 

 

 

2

10

 

 

1

5

 

 

 

3 1

4 1

 

 

 

 

 

 

 

3 15 6 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.34. Вычислить определитель

x

 

 

y

z

t

 

, разлагая его по элементам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1 4 3

 

 

 

 

 

 

второй строки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 a 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.35. Вычислить определитель

4

b

4

3

, разлагая его по элементам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

c

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

α

5

4

 

 

 

 

 

второго столбца.

1.36. Вычислить определители:

 

a

3

0

5

 

 

 

1

0

2

a

 

 

 

x

a

b

0

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

y

0

0

d

 

 

0

b

0

2

 

 

 

2

0

b

0

 

 

 

 

а)

;

б)

 

;

в)

0

e z 0 f

.

1 2 c 3

 

3

c 4

5

 

0

0

0

d

 

 

 

d

0

0

0

 

 

 

g

h

k

u

l

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

0

0

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.37. Не раскрывая определителей, показать, что они равны нулю:

 

 

a

 

b

 

c

1

 

 

 

 

sin 2 α

1

cos2

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

c

 

a

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

;

 

б)

sin 2 β

1

cos2 β

;

 

 

 

 

 

c

 

a

 

b

1

 

 

 

 

 

 

 

b +c

c + a

 

a +b

1

 

 

 

 

sin 2 γ

1

cos2

γ

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

1

c

a + b

 

 

 

 

x y

ax +by

 

 

 

 

 

 

в)

 

1

a b + c

 

;

г)

 

z

t az +bt

 

;

 

 

1

b

c + a

 

 

 

 

u

v

au +bv

 

 

 

3sinα

2 cosα

sin(α +δ)

 

 

 

 

д)

3sin β

2 cos β

sin(β +δ)

 

;

 

3sin γ

2 cosγ

sin(γ +δ)

 

 

 

1

+ 2a

2001

a

x

 

 

 

 

е)

1

+ 2b

2002

b

x

 

.

 

1

+ 2c

2003

c

x

 

 

 

1+ 2d

2004

d

x

 

 

1.38. Числа 1370, 1644, 2055, 3425 делятся на 137. Доказать, что опреде-

 

1

3

7

0

 

литель

1

6

4

4

также делится на 137.

 

2

0

5

5

 

 

3

4

2

5

 

 

 

1.39. Вычислить определители

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

1

1

 

 

a

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

a

1

1

 

 

 

 

 

 

2

=

,

3 =

1

a

1

,

4 =

приведением к треуголь-

 

 

1

a

 

 

1

1

a

 

 

1

1

a

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ному виду. На основании полученных результатов доказать, что определите-

 

 

 

 

 

a

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

a

1

1

равен (a +(n 1))(a 1)n1.

тель n-го порядка

1

1

a

1

 

 

 

 

 

… … … … …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

a

 

 

 

 

 

 

 

 

1.40. Решить уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

x

 

 

 

x

x2

 

 

 

4 x

x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

а)

7

4

5

= 0,

 

б)

1 2

4

= 0,

в)

 

x 4

x

 

= 0.

 

2

1 0

 

 

 

1

1 1

 

 

 

x x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.41*. Пользуясь свойствами определителей, доказать, что следующие определители n-го порядка равны указанным значениям:

19

 

1

1

1

1

 

 

 

1

2

3

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

3

n

 

 

1

0

1

1

 

 

 

 

 

n1

 

 

1

2

0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

1

1

0

1

= (1)

;

б)

1 2 3

n

= n! .

 

… … … … …

 

 

 

… …

… … …

 

 

1

1

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.42. Вычислить определители методом опорного элемента:

 

 

1 2 7 5

 

 

 

 

 

 

 

2

1 3

0

 

 

 

 

 

2

1

1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

1 3

1

2

 

;

 

 

б)

1 1

2

3

 

;

в)

 

 

7 1

3 1

 

.

 

 

2 1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

0

4

 

1 5

 

 

 

 

 

3

1 1 2

 

 

 

 

5 2

1

3

 

 

 

 

 

 

 

0

2

1

8

 

 

 

 

 

1

3

2 1

 

 

 

 

1.43. Проверить непосредственным вычислением, что

 

a b e f

 

 

=

 

a b

 

 

 

e f

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c d g h

 

 

 

c d

 

 

 

g h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.44. Найти det( AB), если det A = 2, det B = −3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

0

1

 

 

1.45. Найти det( AB), если A =

,

B =

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

1

2

1.46. Пользуясь правилом Крамера, решить следующие системы уравне-

ний:

а)

3x + 7 y =

2,

 

б)

2x + 5y =

;

 

 

1;

 

 

 

3x1 + 4x2

2x3

=11,

 

 

 

 

 

 

 

 

г) 2x1 x2 x3 = 4, ;

 

3x 2x

2

+ 4x

3

=11;

 

1

 

 

 

 

 

5x1

x2

+ 4x3

= 25,

 

 

 

 

 

 

 

 

е) x1 + 4x2 +3x3 =16, ;

 

17x x

2

 

 

 

=11;

 

1

 

 

 

 

 

 

2x1 + x2 + x3 = −1,

 

 

 

 

 

 

 

 

з) 2x1 x2 + 2x3 = −4, ;

 

4x + x

2

+ 4x

3

= −2;

 

1

 

 

 

 

4x 3y 1 = 0, ;

 

 

 

 

в) x1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 x2

x + 3y 4 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

x1 x2 + x3

= −2,

 

д) 2x1 + x2 2x3 = 6,

 

 

;

x + 2x

2

 

+ 3x

3

= 2;

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3x1 + x2

+ x3 = 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж) x1 2 x2 + 2x3 = −1, ;

4x

3x

2

x

3

= 5;

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 2x2 +3x3 =1,

 

и) 2x1 x2

 

 

 

= 2, .

 

3x

3x

2

 

+3x

3

= 5.

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

=0,

=3; ;

20