5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей

Определение предела функции в точке. Пусть функция y = f (x) опреде-

лена в некоторой ε - окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0

(в этом случае говорят, что функция определена в проколотой ε - окрестности точки x0 ).

Первое определение предела функции (по Коши, или «на языке ε −δ »):

Число A называется пределом функции f (x) , при x → x0 (или в точке x0 ),

если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое число δ > 0 (вообще говоря, зависящее от ε ), что для всех x , таких, что x − x0 <δ , x ≠ x0 выполнено неравенство f (x) − A <ε .

Обозначается это так: lim f (x) = A или f (x) → A при x → x0 .

x→x0

Первое определение предела функции равносильно второму определению

(по Гейне или «на языке последовательностей»):

Число A называется пределом функции f (x) , при x → x0 (или в точке x0 ),

если для всякой последовательности {xn} значений аргумента, стремящейся к x0 и такой, что xn ≠ x0 для любого n , соответствующая последовательность значений функции {f (xn )} сходится к A .

Пример 5.8. 1) Доказать, пользуясь определением по Коши, что число A = 7 является пределом функции y = 2x +1 при x →3;

2) Доказать, пользуясь определением по Гейне, что число A = 3 является

216

рая также является бесконечно малой, то

217

Равносильное определение предела функции на «на языке последовательно-

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Функция y = f (x) на-

зывается бесконечно большой при x → x0 (в точке x0 ), если для всякого числа

M > 0 найдется такое число δ > 0 , что для всех x , таких, что x − x0 <δ , x ≠ x0

Функция y = f (x) называется бесконечно малой при x → x0 (в точке x0 ),

если lim f (x) = 0 .

x→x0

218

для всякого ε > 0 найдено число M = ln 2ε из определения предела. Это и озна-

чает, что lim 2−x = 0 .

x→+∞

Свойства бесконечно малых функций.

1)Сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых при

x→ x0 функций есть бесконечно малая при x → x0 функция;

2)Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция;

3)Функция y = f (x) является бесконечно малой при x → x0 тогда и только

а) lim f (x) ± g(x) = A ± B ;

x→x0

б) lim cf (x) = cAдля любого c R ;

x→x0

в) lim f (x)g(x) = AB ;

x→x0

г) lim f (x) = A , если B ≠ 0 ; x→x0 g(x) B

219

мы воспользовались теоремами об арифметических действиях над пределами и теоремой о пределе элементарной функции.

2) Поскольку пределы числителя и знаменателя равны нулю, мы имеем де-

3) Снова имеем неопределенность вида 00 . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю и вос-

220

4) Числитель и знаменатель дроби представляют собой бесконечно большие при x → +∞ функции, поэтому здесь имеет место неопределенность вида

является ограниченной на всей числовой оси, а потому при ее умножении на бесконечно малую при x → +∞ функцию y = 2−x получим также бесконечно

малую при x → +∞ функцию. Таким образом, lim (1 − 4cos x)2−x = 0 .

x→+∞

Пределы функций и неравенства.

1) Если lim f (x) = A, lim g(x) = B , и f (x) ≤ g(x) для всех x из некоторой

x→x0 x→x0

проколотой ε - окрестности точки x0 , то A ≤ B ;

2) Если предел функции в данной точке положителен (отрицателен), то и все значения указанной функции положительны (отрицательны) в некоторой проколотой окрестности этой точки (обратное, вообще говоря, неверно: напри-

мер, пределом последовательности с положительными членами xn = 1n является

число ноль);

3) (теорема о промежуточной переменной) Пусть функции f (x) , f1 (x) , f2 (x) определены в некоторой проколотой ε - окрестности точки x0 и

221

3) Если функция имеет предел в данной точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Задачи для самостоятельного решения

5.37. Пользуясь первым определением предела (по Коши), доказать, что.

5.38. Пользуясь вторым определением предела (по Гейне), доказать, что.

5.40. Доказать, что функция y = f (x) является бесконечно малой при x → +∞.

Найти пределы:

222