- •Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры Основы аналитической геометрии
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.6. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •2.6. Контрольные задания к главе 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.4. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.6. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. Пределы и непрерывность
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к разделу II
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.4. Геометрический и механический смысл производной. Производные высших порядков
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теорема о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •ОТВЕТЫ
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Содержание
7.207. |
y = 3ln x, x = e, x = e2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Найти эластичность функций. |
|
|
|
|
|
|||||||||
7.208. |
y = ax +b; |
7.209. y = |
ax + b |
; |
|
|
7.210. |
y = axn . |
||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cx + d |
|
|
|
|
|
|||
|
|
7.7. Контрольные задания к главе 7 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|||||||
1. |
Вычислить предел |
lim |
x2 −4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x5 −32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найти интервалы монотонности функции |
y = x3 −3x2 −36x +1. |
||||||||||||||
3. |
Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции |
y = x2e−x и точ- |
||||||||||||||
|
ки перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти асимптоты графика функции y = |
2 + x |
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
|||
5. |
Найти цену р, которая обеспечивает максимальную прибыль, если функция |
|||||||||||||||
|
издержек имеет вид C(x) = 35x +500 , а функция спроса |
p = 50 −0,1x , где х – |
||||||||||||||
|
количество выпущенной продукции. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|||||||
1. |
Вычислить предел |
lim |
|
sin 3x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x→0 1−cos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Найти интервалы монотонности функции |
y = xe−x2 . |
|
|
||||||||||||
3. |
Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции |
y = x3 +6 ln x и |
||||||||||||||
|
точки перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти асимптоты графика функции y = |
|
x |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 4 |
|
|
||||
5. |
Найти цену р, которая обеспечивает максимальную прибыль, если функция |
|||||||||||||||
издержек имеет вид |
C(x) = 0,5x +600 , а функция спроса p = 60 |
, где х – коли- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
чество выпущенной продукции.
295
Вариант 3
1. |
Вычислить предел lim |
e3x −e |
2x |
|
|
|
|
sin x |
. |
|
|
|
|
||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти интервалы монотонности функции |
y = (x +3)2 (x −2)4 . |
|||||
3. |
Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции y = ln(x2 +1) и |
||||||
|
точки перегиба. |
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти асимптоты графика функции |
y = |
x2 |
− x − 2 |
. |
||
|
x − 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти цену р, которая обеспечивает максимальную прибыль, если функция
издержек имеет вид C(x) =8000 +50x + 0,03x2 , а функция спроса p = 70 −0,001x , где х – количество выпущенной продукции.
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
||
1. |
Вычислить предел lim |
tg2x |
|
. |
|
|
|
|
1−cos 3x |
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|||
2. |
Найти экстремумы функции |
y = ex + e−x . |
|
|
||||
3. |
Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции y = e−2x2 и точ- |
|||||||
|
ки перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти асимптоты графика функции y = |
x2 |
|
. |
||||
x2 − |
16 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
5.Издержки заданы функцией C(x) = 50000 + 400x −0,25x2 . Найти предельные
издержки при х = 400 и объяснить их смысл.
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
1. Вычислить предел |
lim |
x4 |
−3x2 + 4x −2 |
. |
|
|
x3 |
−3x + 2 |
|||
|
x→1 |
|
|
||
2.Найти экстремумы функции y = x3e−x2 .
3.Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции
y = x3 −12x + 20 и точки перегиба.
296
4. |
Найти асимптоты графика функции |
y = |
|
x − 2 |
. |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
x2 −4x +3 |
|||
5. |
Доход при |
производстве х |
единиц продукции задан функцией |
||||
|
R(x) = 240x −3x2 + 2000 . При каком объеме выпуска продукции доход будет |
||||||
|
наибольшим и чему равен при этом предельный доход? |
||||||
|
|
Вариант 6 |
|
|
|||
1. |
Вычислить предел lim xtgx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
2. |
Найти экстремумы функции y = 3e6x−x2 . |
|
|
|
|||
3. |
Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции |
||||||
y = x3 −5x2 +3x −5 |
и точки перегиба. |
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти асимптоты графика функции |
y = |
|
2x |
. |
|
|
|
− x2 |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
||
5.Функция, характеризующая прибыль при производстве х единиц продукции
имеет вид P(x) = −0,25x2 + 2000x −1500 000 . При каком значении х прибыль максимальна и чему равна при этом предельная прибыль?
Вариант 7
1. |
Вычислить предел lim x3e−x . |
|
|
|
|
|||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
||
2. |
Найти экстремумы функции y = x2 ln x . |
|
|
|
|
|||
3. |
Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции y = 2x + |
ln x |
и |
|||||
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
точки перегиба. |
|
|
|
|
|||
4. |
Найти асимптоты графика функции y = |
2x −3 |
. |
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
x +1 |
|
|||
5. |
Найти ценовую эластичность спроса в точке x0 = 20 , если функция спроса |
|||||||
|
имеет вид p = |
500 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x3 + 0,5 |
|
|
|
|
||
297
Вариант 8
1. |
Вычислить предел lim |
|
x2 − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Найти наибольшее и наименьшее значение |
функции |
y = x3 −3x2 +5 на от- |
||||||||||||||||||
|
резке [−1;1] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Найти |
интервалы |
|
выпуклости, |
вогнутости |
графика |
|
функции |
|||||||||||||
|
y = x4 −12x3 + 48x2 +3 и точки перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
Найти асимптоты графика функции y = |
2x2 − x +3 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Найти ценовую эластичность спроса в точке |
x0 = 50 , если функция спроса |
|||||||||||||||||||
|
имеет вид |
p =800 −4x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x +1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
Вычислить предел lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
Найти наибольшее и наименьшее значение |
функции |
y = 2x − |
x + 4 на от- |
|||||||||||||||||
|
резке [0;1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции |
|
|
x3 |
|||||||||||||||||
y = |
|
|
и |
||||||||||||||||||
x2 |
+12 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
точки перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Найти асимптоты графика функции y = |
3x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Найти эластичность функции y = |
2 +3x |
|
в точке |
x0 = 6 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 + x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Вычислить предел lim |
4x −2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x→0 |
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
Найти наибольшее и наименьшее значение |
функции |
y = x2 −4x +9 на от- |
||||||||||||||||||
|
резке [0; 4] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
298
3. |
Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции y = 6 −3 x −4 и |
||||
|
точки перегиба. |
|
|
|
|
4. |
Найти асимптоты графика функции |
|
x2 |
||
y = |
|
|
. |
||
x2 |
|
||||
|
|
|
+3 |
||
5. |
Найти эластичность функции y = 2 3 |
x в точке x0 =125 . |
|||
299