- •Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры Основы аналитической геометрии
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.6. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •2.6. Контрольные задания к главе 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.4. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.6. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. Пределы и непрерывность
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к разделу II
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.4. Геометрический и механический смысл производной. Производные высших порядков
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теорема о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •ОТВЕТЫ
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Содержание
|
(sin x +1 −sin x ). |
|
|
|
x |
+3 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.71. lim |
5.72. lim |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|||
5.73. lim |
1 + 7x+2 |
|
5.74. lim |
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
3 −7x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
||||||||||||
x→±∞ |
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.75. lim |
|
|
|
tg2x |
|
. |
5.76. lim |
1 + |
|
2x |
2 −1 |
. |
|
|||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||
x→π |
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
ctg |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
x |
2 |
|
||||
5.77. lim |
|
|
|
− x . |
5.78. lim |
|
|
|
|
− |
|
. |
||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
+1 |
5x −3 |
|||||||||||||
x→∞ |
x |
−3 |
|
|
x→∞ |
|
5x |
|
|
5.4. Замечательные пределы
Первый замечательный предел:
lim sin x =1.
x→0 x
Второй замечательный предел:
|
|
1 |
x |
1 |
|
|
|
|
|
||||
lim 1 |
+ |
|
|
= lim(1+ y) |
|
= e . |
|
y |
|||||
x→∞ |
|
x |
|
y→0 |
|
Пример 5.12. Вычислить следующие пределы:
1) |
lim sinαx |
, α R ; |
2) |
lim sin 2x ; |
|||
|
x→0 |
x |
|
|
x→0 sin 3x |
||
3) |
lim tg x ; |
|
4) |
lim arcsin x ; |
|||
|
x→0 |
x |
|
|
x→0 |
x |
|
5) |
lim |
cos x |
|
|
|
3x + 2 5 x−1 |
|
|
; |
6) lim |
. |
||||
2x −π |
|||||||
|
x→0 |
|
|
x→∞ |
3x + 7 |
Решение: 1) Имеем неопределенность вида 00 . Умножим числитель и знаменатель дроби на число α , чтобы воспользоваться первым замечательным
пределом: lim sinαx |
= lim |
αsinαx |
=α lim sinαx |
. Произведя в последнем выра- |
|
x→0 |
x |
x→0 |
αx |
x→0 αx |
|
224
жении замену y =αx , получим αlim sinαx |
=α lim sin y |
=α . Итак, |
||||
|
|
x→0 |
αx |
y→0 |
y |
|
lim sinαx |
=α . |
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
2) Снова имеем неопределенность вида 00 . Разделим числитель и знамена-
тель дроби на x , после чего воспользуемся результатом пункта 1) данного при-
мера: lim sin 2x |
|
|
sin 2x |
|
|
= lim |
|
x |
= |
||
|
sin 3x |
||||
x→0 sin 3x |
x→0 |
|
|||
|
|
|
x |
|
|
lim |
sin 2x |
|
|
2 . |
x |
|
|
||
x→0 |
|
= |
||
|
sin 3x |
|
||
lim |
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
3) lim |
tg x |
|
0 |
|
= lim |
|
1 |
|
sin x |
= lim |
1 |
lim |
sin x |
=1 |
1 |
=1. |
||
|
x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
cos x |
x |
|
x |
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
x→0 |
cos x x→0 |
|
|
|
|||||||
|
4) Сделаем замену arcsin x = y . Тогда x = sin y и y → 0 при x → 0 , поэтому |
||||||||||||||||||
lim |
arcsin x |
= |
|
0 |
= lim |
y |
|
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→0 |
|
|
0 |
|
y→0 sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
и 2x −π = −2 |
π |
|
→ 0 при |
x → |
π |
, |
|
5) Замечая, что cos x = sin |
2 |
− x |
|
− x |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
сделаем замену |
π |
− x = t , чтобы свести предел к первому замечательному: |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
cos x |
|
0 |
= lim |
sin t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2x −π |
−2t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
0 |
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) Здесь имеет место неопределенность вида 1∞ . Сведем данный предел ко второму замечательному пределу
3x + 2 5 x−1 |
|
|
3x + 2 |
− |
5 x−1 |
|
+ |
3x + 2 − 3x − 7 5 x−1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
+ |
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
1 |
|
= lim 1 |
3x + |
7 |
|
|
|
|
||||||||||||
x→∞ 3x |
7 |
|
|
|
x→∞ |
3x + 7 |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
(5 x−1) |
|
|
|
−5 |
|
5 x−1 |
|
|
−5 |
|
|
3x+7 |
|
−5 |
(5 x−1) |
|
|
|
|
−5 |
|
|
3x+7 |
3x+7 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−5 |
3x+7 |
|
|
|
−5 |
|
||||||||||||||||||
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
1 + |
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
3x + |
|
|
3x + |
|
|
|
|
|
3x + |
|
||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
7 |
|
x→∞ |
|
7 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
7 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение |
|
−5 |
|
имеет своим пределом ноль при x → ∞, поэтому |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3x + |
7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
225
|
|
|
−5 |
|
3x+7 |
|
|
|
|
|||||
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
= e . Учитывая далее, что |
||||||
3x + 7 |
|
|
||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
−5 |
(5x −1) |
= lim |
−25x + 5 |
= − |
25 |
, окончательно получаем |
|||||||
3x + 7 |
3x + 7 |
3 |
||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|||||||
lim |
3x + 2 5 x−1 |
= e |
− |
25 |
|
|
|
|
|
|||||
3 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→∞ |
3x |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полезно помнить часто используемые следствия из обоих замечательных пределов:
lim tg x |
=1; lim arcsin x =1; lim arctg x |
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→0 |
x |
|
|
x→0 |
x |
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
loga (1 + x) |
|
= |
1 |
|
= loga |
e , где a > 0, a ≠1, |
в частности lim |
ln(1 + x) |
=1; |
|||||||||
|
x |
|
|
|
ln a |
x |
|||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
||||
lim |
ax −1 |
= ln a , где a > 0 , в частности lim |
ex |
−1 |
=1; |
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
а также |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
(1 + x)m |
−1 |
= m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.13. Вычислить следующие пределы |
|
|
|
|||||||||||||||
|
1) lim ln(2 − x) − ln 2 ; |
2) lim eαx −1 ; |
|
3) lim eαx − eβx . |
|
||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
Решение: 1) Для данной неопределенности вида 00 преобразуем выраже-
ние, стоящее под знаком предела так, чтобы воспользоваться одним из следствий из второго замечательного предела:
|
|
|
|
2 − x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
|
ln |
|
|
ln 1 |
+ |
− |
|
|
|||||
lim ln(2 − x) − ln 2 |
|
|
2 |
||||||||||||
2 |
|||||||||||||||
= lim |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
, после чего, обозначая |
||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
x→0 |
x |
x→0 |
|
x→0 |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
226
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
− |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
ln(1 |
+ t) |
|
1 |
|
||||||||||
− |
= t , получим равенства lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
= |
. Таким образом, |
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 t→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim ln(2 − x) − ln 2 = |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→0 |
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2) lim |
eαx −1 |
|
0 |
=αlim |
eαx −1 |
= |
|
αx = y |
|
=α lim |
ey −1 |
=α . Здесь мы также |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
= |
|
|
|
αx |
|
|
y → 0 |
|
y |
|
||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
0 |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
воспользовались одним из следствий из второго замечательного предела. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3) Для данной неопределенности вида 0 |
справедливы равенства |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim eαx − eβx |
= limeβx |
e(α−β ) x −1 |
|
= limeβx lim |
e(α−β ) x −1 |
. Воспользовавшись далее |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
x |
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
результатом пункта 2) данного примера, окончательно получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||
lim eαx − eβx |
=1 1 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
5.79. lim |
|
sin x |
. |
|
|
5.80. lim |
sin2 2x |
. |
|
||
|
tg9x |
|
|
arcsin2 |
3x |
|
|||||
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
||||
5.81. lim |
1 |
−cos 2x . |
5.82. lim |
1 −cos6x . |
|||||||
x→0 |
|
|
3x2 |
|
x→0 |
3xtg3x |
|
|
|||
5.83. lim |
1 |
−cos5x . |
5.84. lim |
1 + xsin x −cos x . |
|||||||
x→0 |
1 −cos3x |
|
x→0 |
sin2 x |
|||||||
5.85. lim |
|
|
x |
|
|
. |
5.86. lim |
1 + xsin x −1 |
. |
||
|
3 1 + x −1 |
|
|||||||||
x→0 |
|
|
x→0 |
x2 |
|
|
|||||
5.87. lim tgx −sin x . |
5.88. lim lg(1 +3x) . |
||||||||||
x→0 |
|
|
x3 |
|
x→0 |
x |
|
|
|
||
5.89. lim |
1 |
−6x |
. |
|
|
5.90. lim |
8x −7x |
. |
|
|
|
1 −ex |
|
|
6x −5x |
|
|
||||||
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
227
5.91. lim |
|
sin 2x |
|
. |
|
|
|
|||||
ln(1 + x) |
|
|
|
|
||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||||
5.93. limt( t |
a −1) , a > 0 . |
|||||||||||
t→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.95. lim |
x +8 |
x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→∞ |
x − 2 |
|
|
|
|
|
||||||
5.97. lim |
|
|
2 |
+3 |
5 x2 |
|
||||||
|
2x2 |
. |
|
|||||||||
x→∞ |
|
2x |
−3 |
|
|
|
|
|||||
5.99. lim |
|
|
|
|
|
1−x |
|
|
|
|||
(1 − 4x) |
x . |
|
|
|
||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x−2 |
|
|
|
|
|
|
||||
5.101. lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 +5x x |
. |
|
|
||||||
5.103. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
3 + 2x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
− |
6x + 7 |
|
−x+1 |
|||
5.105. lim |
3x |
. |
||||||||||
2 |
+ 20x −1 |
|||||||||||
x→∞ |
3x |
|
|
5.107. lim(3x −1)[ln(x −3) −ln x] . |
|||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
5.109. lim |
ax − a |
. |
|
|
|
x −1 |
|
|
|||
x→1 |
|
|
|
||
5.111. lim loga x −1 . |
|
||||
x→a |
x − a |
|
|||
5.113. lim |
xx −1 |
. |
|
|
|
xln x |
|
|
|
||
x→1 |
|
|
|
||
5.115. lim cosαx −cos βx |
, α ≠ β . |
||||
x→0 |
|
|
x2 |
|
|
5.117. lim |
2 − 2cos x |
. |
|
||
|
|
||||
x→π |
π − 4x |
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
5.92. lim sin 3x −sin x . |
|
|||||||||
x→0 |
|
|
ln(x +1) |
|
||||||
5.94. lim |
6x |
−3x |
. |
|
|
|||||
x2 + x |
|
|
||||||||
x→0 |
|
|
|
|
||||||
5.96. lim |
|
3x −1 2 x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
x→∞ |
|
3x +1 |
|
|||||||
|
5x3 + |
2 2 x3 −1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
5.98. lim |
5x |
|
|
|
||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||
5.100. lim |
x + a |
x+c |
|
|||||||
|
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
x→∞ |
x +b |
|
|
|||||||
5.102. lim 2 x 1 +3x . |
|
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.104. lim |
|
5 − x |
x+2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
. |
|
||||
x→∞ |
6 − x |
|
|
|||||||
5.106. lim |
|
1 |
ln |
|
2 + x |
|
||||
|
|
|
2 − x |
|
||||||
x→0 |
2x |
|
|
|
5.108. lim x(ln(a + x) −ln x) .
x→∞
5.110. lim ln x −1 .
x→e x −e
1
5.112. lim(1 −sin x)sin x .
x→0
5.114. lim(2 −cos x)cosec2 x .
x→0
5.116. lim tg πx sin |
x −α |
. |
||||
|
||||||
|
x→α |
2α |
2 |
|
|
|
|
|
1 + tg x |
1 |
|
|
|
5.118. |
sin x |
. |
|
|||
lim |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
|
x→0 |
1 +sin x |
|
|
|
228