- •Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры Основы аналитической геометрии
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.6. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •2.6. Контрольные задания к главе 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.4. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.6. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. Пределы и непрерывность
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к разделу II
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.4. Геометрический и механический смысл производной. Производные высших порядков
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теорема о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •ОТВЕТЫ
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Содержание
д) xn = cos π2n .
5.2. Предел последовательности
Определение предела последовательности. Число a называется пределом последовательности {xn }, если для любого сколь угодно малого положитель-
ного числа ε существует номер Nε , такой, что для всех членов последова- |
|||||||||||
тельности с номерами n > Nε , выполнено неравенство |
|
xn − a |
|
<ε . |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
В этом случае пишут: lim x = a или x → a . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n→∞ n |
n |
|
|
|
|
|
|
||
Неравенство |
|
xn − a |
|
<ε |
равносильно |
двойному |
неравенству |
||||
|
|
||||||||||
a −ε < xn < a +ε , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое означает, |
что точки xn , |
начиная с некоторого номера |
n > Nε , лежат |
внутри интервала (a −ε;a + ε), который называется ε-окрестностью точки а.
Если последовательность, имеет предел, то она называется сходящейся
(сходится к a ), в противном случае – расходящейся.
Пример 5.4. Доказать, пользуясь определением предела последовательно-
сти, что число a = 2 является пределом последовательности xn = 2nn++13 . Для
ε = 0,001 найти соответствующий номер Nε , такой, что |
|
xn − a |
|
<ε |
для всех xn , |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
для которых n > Nε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Решение: Рассмотрим любое число |
ε > 0 и найдем для этого числа но- |
||||||||||||||||||
мер Nε , такой, что |
|
для всех |
членов последовательности xn , |
для которых |
|||||||||||||||||
n > Nε , |
|
будет |
|
|
|
|
|
справедлива |
цепочка |
||||||||||||
|
x − a |
|
= |
|
2n + 3 − 2 |
|
= |
|
2n + 3 − 2n − 2 |
|
= |
1 |
|
<ε . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
n +1 |
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
208
Решив последнее неравенство относительно n , получим n > ε1 −1. Следо-
вательно, можем положить, например, |
Nε = 1 |
−1 +1 (где [α] − целая часть |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
числа α ). Таким образом, показано, |
что для любого числа ε > 0 существует |
|||||||
|
1 |
|
|
xn |
− 2 |
|
<ε для всех членов последовательно- |
|
|
|
|||||||
номер Nε = |
ε |
−1 +1, такой, что |
|
|
||||
|
|
|
|
|
сти с номерами n > Nε . Согласно определению предела последовательности,
мы доказали, что lim 2n + 3 = 2 .
n→∞ n +1
При ε = 0,001 получаем |
Nε = |
|
1 |
|
|
+1 =1000 , т.е. |
|
xn |
− 2 |
|
< 0,001 при |
|
|
|
|||||||||
|
|
−1 |
|
|
|||||||
0,001 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n >1000 .
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Говорят,
что последовательность {xn } стремится к плюс бесконечности, если для любо-
го сколь угодно большого положительного числа M существует номер NM ,
такой, что для всех членов последовательности с номерами n > NM , выполнено неравенство xn > M .
В этом случае пишут: lim xn = +∞ или xn → +∞ .
n→∞
Говорят, что последовательность {xn } стремится к минус бесконечности,
если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа M существует номер NM , такой, что для всех членов последовательности с номе-
рами n > NM , выполнено неравенство xn < M .
В этом случае пишут: lim xn = −∞ или xn → −∞.
n→∞
Говорят, что последовательность {xn } стремится к бесконечности, если для любого сколь угодно большого положительного числа M существует номер NM , такой, что для всех членов последовательности с номерами n > NM ,
209
выполнено неравенство |
|
xn |
|
> M |
(последовательность { |
|
xn |
|
} |
стремится к плюс |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
бесконечности). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В этом случае пишут: lim x |
= ∞ или x →∞. Очевидно, если lim x |
n |
= +∞ |
|||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
n |
n |
n→∞ |
|
|||||||
или lim x |
n |
= −∞, то можно считать также, что lim x = ∞. |
|
|
|
|||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|||||
Последовательность {x } |
называется бесконечно большой, если lim x = ∞, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
n |
|
и бесконечно малой, если lim x |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.5. Доказать, пользуясь определением, что
1)последовательность {xn }= 1 является бесконечно малой;
n
2)последовательность {xn }={2n +1} является бесконечно большой.
Решение: 1) Требуется доказать, что lim 1 |
= |
0. Рассмотрим любое число |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ε > 0 . Тогда |
|
x |
− 0 |
|
= |
|
1 − 0 |
|
= |
1 и неравенство |
|
|
x |
− 0 |
|
<ε будет выполнено в |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точности тогда, |
когда 1 <ε , |
т.е. когда n > 1 |
. Положив Nε = 1 |
+1, получим, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
||||
что для всех n > Nε |
|
справедливо неравенство |
|
xn |
− 0 |
|
<ε . В соответствии с оп- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ределением предела это и означает, что lim 1 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Докажем, что lim(2n + |
1) = +∞ . Рассмотрим любое положительное число |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M . Неравенство |
|
x = 2n +1 > M |
будет выполнено при n > |
M −1 |
. Положив |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nε = M −1 +1, получим, что |
для всех |
n > Nε |
|
|
справедливо неравенство |
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn > M . Это и означает, что lim(2n +1) = +∞ .
n→∞
Свойства бесконечно малых последовательностей.
1) Сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;
210
2)Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность;
3) Последовательность {xn }, все члены которой отличны от нуля,– беско-
1
нечно малая тогда и только тогда, когда последовательность – бесконечно
xn
большая (символически это можно записать следующим образом: 10 =∞,
∞1 = 0 ).
Операции над пределами последовательностей.
Если lim x = a , lim y |
n |
= b , то |
|||||||
|
n→∞ |
|
n |
|
n→∞ |
|
|||
1) |
lim x ± y |
n |
= a ± b ; |
|
|
||||
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|||
2) |
lim cxn |
= ca для любого c R ; |
|||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
||
3) |
lim x y |
n |
= ab ; |
|
|
||||
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|||
4) |
lim |
xn |
= a |
, если b ≠ 0 ; |
|||||
|
|||||||||
|
n→∞ yn |
|
b |
|
|
|
5) lim(x )k = |
|
lim x |
n ) |
k |
= ak , k N ; |
|||
n→∞ |
n |
|
|
(n→∞ |
|
|
||
6) lim k x |
n |
= k |
a , k N . |
|||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.6. Найти следующие пределы:
1) |
lim |
sin n |
; |
|
2) |
lim |
2n3 − 3n +1 |
; |
|||
n |
|
|
3n3 + 7 |
||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|||
3) |
|
|
|
n3 |
|
|
lim |
n + 2 − n − 2 ; |
|||
lim |
|
|
|
; |
4) |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
n→∞ |
3n −1 |
|
|
n→∞ |
|
|
||||
5) |
lim |
n 6 n + 5 32n10 |
− 7 |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
n→∞ (3n − 4 n) 3 8n3 + 8 |
|
|
|
211
Решение: 1) Последовательность xn = sin n является ограниченной, т.к. sin n ≤1 для любого натурального n , поэтому ее произведение на бесконечно
малую последовательность yn = 1n есть также бесконечно малая последователь-
ность, т.е. lim sin n = 0 .
n→∞ n
2) Числитель и знаменатель дроби представляют собой бесконечно большие последовательности. В этом случае говорят, что имеет место неопределен-
ность |
|
∞ |
. Разделим числитель и знаменатель выражения, стоящего под зна- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n3 − 3n +1 |
|
|
|
2 − |
|
|
|
+ |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
ком предела на старшую степень n , т.е. на n3 : lim |
= lim |
n2 |
n3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3n3 + 7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
3 + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
||||||
Используя далее теоремы об операциях над пределами, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− |
3 |
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
lim 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 2 |
− lim |
|
|
+ lim |
2 |
− 3lim |
+ lim |
|
= 2 − 0 + 0 |
= 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
2 |
|
n |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
n→∞ |
|
|
n→∞ n2 |
|
|
n→∞ n3 |
|
= |
|
|
|
n→∞ n2 |
n→∞ n3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
3 + |
|
|
|
|
|
|
|
lim3 + lim |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
3 + 7lim |
1 |
|
|
|
|
|
3 + 0 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3) Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень n (выби- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
n3 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
раем из двух вариантов: n2 и n2 ), т.е. на n2 : |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= = lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. Последовательность, находящаяся в знаме- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n3 |
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нателе дроби, есть бесконечно малая, как сумма бесконечно малых последовательностей, поэтому исходная последовательность является бесконечно боль-
шой, т.е. lim |
n3 |
|
|
=∞. |
|
|
||
n→∞ |
3n −1 |
4) Домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное к нему, после чего воспользуемся формулой разности квадратов:
212
lim |
n + 2 − n − 2 = lim ( |
n + 2 − |
n − 2)( |
n + 2 + n − 2) |
= |
|||
n→∞ |
|
n→∞ |
|
n + 2 + |
n − 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
(n + 2) − (n − 2) |
= lim |
|
4 |
|
. Последовательность |
||
n + 2 + n − 2 |
|
n + 2 + |
|
|||||
n→∞ |
n→∞ |
n − 2 |
|
|
{ |
n + 2 + |
n − 2} |
является бесконечно большой, поэтому последовательность |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
– бесконечно малая, а значит lim |
|
n + 2 − n − 2 =0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n + 2 + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень n (выби- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
7 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
раем из n1+ |
|
= n |
|
, n |
|
|
= n2 , n1+ |
|
= n2 |
и n |
|
+ |
|
= n |
|
|
), т.е. на n2 : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6 |
6 |
5 |
|
3 |
4 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 n |
+ 5 |
|
32n10 − 7 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ 5 32 − |
|
7 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n 6 n + |
5 32n10 − 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n10 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
= lim |
|
|
|
n |
|
|
= lim |
|
6 n5 |
|
n |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n→∞ (3n − 4 n) 3 8n3 + 8 |
n→∞ 3n − 4 n |
3 |
8n3 + 8 |
|
|
|
n→∞ |
(3 − |
1 |
) 3 8 |
+ |
8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
4 n3 |
|
|
||||||||||
|
|
0 + 5 32 + 0 |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(3 − 0) 3 8 + |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Связь между сходимостью и ограниченностью последовательностей. Число e .
Справедливы следующие утверждения:
1)Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.
2)Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.
Последовательность |
|
+ |
1 |
n |
возрастает и ограничена сверху, а потому |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится. Ее пределом является число Эйлера e = 2,71828182845…, служащее
|
|
|
+ |
1 n |
|
основанием натуральных логарифмов. Таким образом, lim 1 |
|
= e . |
|||
|
|
n→∞ |
|
n |
|
|
2n +1 |
n |
|
|
|
Пример 5.7. Найти lim |
2n |
. |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
213
|
|
2n +1 n |
|
|
1 n |
|
|
1 2n |
1 |
|
||
Решение: Имеем: |
|
|
2 |
. Обозна- |
||||||||
lim |
|
= lim 1 |
+ |
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
|
||
|
|
|
||||||||||
|
n→∞ |
2n |
n→∞ |
|
2n |
n→∞ |
|
2n |
|
|
чив |
|
в |
|
последнем |
|
|
|
выражении |
|
|
2n = k , |
||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
k |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
== lim |
1 + |
|
1 |
+ |
|
= e2 |
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
||||||||
n→∞ |
|
k→∞ |
|
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2n |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
продолжим цепочку:
e .
Задачи для самостоятельного решения
5.6. Доказать, пользуясь определением, что число a является пределом последовательности xn , если
а) |
x = n +1 , a =1; |
|
|
б) |
x |
= 3n +1 , a = 3 ; |
|
|
||||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n −5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) |
x |
= |
|
2n − |
2 |
, a = |
2 |
; |
г) |
x |
= |
3n2 −1 |
, a = 3 ; |
|
|
|||||||||
|
5n + |
2 |
5 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
д) |
x |
= 3n+1 −1 , a = 3 ; |
е) |
x = |
5n2 |
|
, a = 5 . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n2 + 6 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.7. Доказать, пользуясь определением, |
что |
последовательность |
xn |
является |
||||||||||||||||||||
бесконечно малой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
x = |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
б) x = |
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
−1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
x = |
1 |
; |
|
|
|
|
|
г) x = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n |
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.8. Доказать, пользуясь определением, |
что |
последовательность |
xn |
является |
||||||||||||||||||||
бесконечно большой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) x = ln n ; |
|
|
|
|
|
б) x = 3n ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) x |
= |
n2 −1 |
; |
|
|
|
г) x = (−1)n n2 . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
214
Найти пределы последовательностей
5.9. lim n −3 .
n→∞ 6n +1
5.11. lim n3 −1000n2 +1 . n→∞ 1000n2 +17n
(n +5)4
5.13. lim 4 .
n→∞ 1 −5n
5.15. lim |
|
2n |
2 |
+5 − |
n |
2 |
+ 4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n→∞ |
|
4n +1 2n +3 |
|
|
||||||||||
5.17. limn→∞(3 n3 − 4n2 − n). |
|
|
|
|||||||||||
5.19. lim |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n→∞ |
3n + |
3n + |
3n |
|
||||||||||
5.21. lim |
(3 − n)3 |
−(2 − n)3 |
. |
|
||||||||||
(1 − n)3 |
−(1+ n)3 |
|
||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|||||||||||
5.23. lim |
(n + 2)2 |
−(n +5)3 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
(3 |
− n)3 |
|
|
|
|
|||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.25. lim |
|
|
n 3 3n2 |
+ 4 4n8 +1 |
. |
|||||||||
(n + n)(7 − n + n2 ) |
||||||||||||||
n→∞ |
|
1 + 2 +…+ n
5.27. lim 2 .
n→∞ n
5.10. lim |
|
n3 − 2n +5 |
. |
|
|
|
|||||
2n2 − 2n3 + 7 |
|
|
|
||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
||||||
5.12. lim |
|
1000n3 − 4n2 |
|
. |
|||||||
0,0001n4 +10n3 −3 |
|||||||||||
n→∞ |
|
||||||||||
5.14. lim |
6 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
− |
|
|
|
. |
|
|||
|
3n −1 |
|
|||||||||
n→∞ |
n −3 |
|
|
|
5.16. limn→∞( |
9n2 + n −3n). |
|
|
|
|
|||||||||
5.18. limn→∞( |
4n2 −7n + 4 − 2n). |
|||||||||||||
5.20. limn→∞( |
2n2 +3n −3n). |
|
|
|
|
|||||||||
5.22. |
lim |
|
(n + 2)3 −(n + 2)2 |
. |
||||||||||
|
(n |
− 2)3 − |
(n + 2)3 |
|||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||
5.24. |
lim |
|
n + 6 − |
n2 −5 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
4 n3 + |
1 |
|
||||||||
|
n→∞ 3 n3 +3 + |
|
|
|
|
|
||||||||
5.26. lim |
10n3 − |
n3 + 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4n6 +3 − n |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 + 1 + |
1 +…+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2n |
|
|||||||||
5.28. lim |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n→∞ 1 + 1 + 1 +…+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5.29. lim |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+…+ |
|
. |
|
|
|
||||||
|
3 5 |
(2n −1)(2n +1) |
|
|
|
|||||||||
n→∞ |
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
5.30. lim |
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
12 + 22 +32 |
|
+…+ n2 |
|
|
|
|
||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
7n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
5.31. lim |
|
. |
|
|
|
|
|
5.32. lim |
7n |
−1 |
. |
|||
|
7n +1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
+1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7n |
|
215