Глава 5. Пределы и непрерывность

5.1. Числовая последовательность

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник выс мат часть 1(2013).pdf

Скачиваний:

144

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Последовательность не является ни монотонной, ни строго монотонной,

т.к., например, x

= −1 < x = 1 , но

> x = −1 ;

Покажем, что данная последовательность строго убывает, т.е. для любо-

Понятие числовой последовательности. Действия над последователь-

ностями. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число xn , то говорят, что задана числовая последова-

тельность x1 , x2 ,…, xn ,…, которую будем обозначать {xn }.

Числа x1 , x2 ,…, xn ,… называют членами (элементами) последовательности: x1 − 1–м членом последовательности, x2 − 2–м членом последовательности,…, xn − n −м (энным) или общим членом последовательности.

Числовую последовательность можно рассматривать как функцию f , опреде-

ленную на множестве N натуральных чисел. Тогда общий член последовательности xn = f (n) . Последнее выражение называется формулой общего члена по-

следовательности.

Суммой, разностью, произведением или отношением двух последователь-

ностей {xn } и {yn } называются последовательности, члены которых образова-

ны соответственно по правилам z

= x

+ y

;

= x

− y

;

= x y

;

при

yn ≠ 0 . Произведением последовательности {xn }

на число c называется после-

довательность с общим членом zn

= cyn .

Последовательность может быть задана, в числе прочего, с помощью реккурентных формул, т.е. формул, позволяющих выразить n − й член последовательности через предыдущие члены.

Пример 5.1. Написать первые пять членов последовательности {xn }, если

1)	x	=	(−1)n	;

	n		2n +1

2)	xn	− n − й знак в десятичной записи числа π .

203

3) x1 = 0 , xn = 2xn−1 +1;

Решение: 1) Поочередно подставляя n =1,2,3,4,5 в формулу общего чле-

на последовательности, найдем x1 = −13 , x2 = 15 , x3 = −17 , x4 = 19 , x5 = −111 .

2) В силу того, что число π = 3,141592653…, получаем x1 =1, x2 = 4 , x3 =1, x4 = 5 , x5 = 9 .

3) Имеем x1 = 0 . Пользуясь формулой xn = 2xn−1 +1, последовательно нахо-

дим x2 =1, x3 = 3, x4 = 7 , x5 =15 .

Ограниченность последовательности. Последовательность {xn } называ-

ется ограниченной сверху, если существует такое число M , что для любого номера n справедливо неравенство xn < M (т.е. все члены последовательности содержатся в интервале (−∞; M )).

Последовательность {xn } называется ограниченной снизу, если существует такое число m , что для любого номера n справедливо неравенство xn > m (т.е.

все члены последовательности содержатся в интервале (m;+∞)).

Последовательность {xn } называется ограниченной, если существует такое число M > 0 , что для любого n выполнено неравенство xn < M (т.е. все члены последовательности содержатся в интервале (−M ; M )).

Очевидно, ограниченная последовательность является ограниченной как сверху, так и снизу и обратно, ограниченная одновременно сверху и снизу последовательность является ограниченной.

Пример 5.2. Какие из следующих последовательностей ограничены сверху? ограничены снизу? ограничены?

1)3,5,7,9,…;

2)−21, −34 , −49 , −516…;

3)	1	,	1	,	1	,	1	…;
	2		22		23		24

204

4) −3,9, −27,81….

Решение: 1) Данная последовательность xn = 2n +1, состоящая из всех нечетных чисел, не превышающих числа три, ограничена снизу, но не ограничена сверху;

2) Последовательность x =	−n2	< 0 ограничена сверху, но не является ог-
2) Последовательность x =		< 0 ограничена сверху, но не является ог-
n	n +1
	n +1
раниченной снизу;

3)Последовательность ограничена, т.к. она является ограниченной и снизу

исверху: 0 < xn = 21n <1.

4)Последовательность xn = (−3)n не является ограниченной, т.к. для любо-

го, сколь угодно большого, числа M > 0 можно найти такой номер n (напри-

ln M		+ 2 ), что	xn	n	> M .
ln M				n
мер, n =				=3
	ln 3

Возрастание и убывание последовательности. Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу, называется постоянной.

Последовательность {xn } называется неубывающей (невозрастающей), ес-

ли для любого номера n справедливо неравенство xn ≤ xn+1 (соответственноxn ≥ xn+1 ).

Невозрастающие и неубывающие последовательности называются моно-

тонными.

Последовательность {xn } называется возрастающей (убывающей), если для любого номера n справедливо неравенство xn < xn+1 (соответственноxn > xn+1 ).

Возрастающие и убывающие последовательности называются строго мо-

нотонными.

Пример 5.3. Исследовать данные последовательности на монотонность: 1) xn = 2n +1.

205

2)	x	=	(−1)n
2)	x	=
	n		n
			n
3)	x	= 3n +1 ;
	n		2n −1
			2n −1
4)	x	= n2 − 9n −100 .
	n
Решение: 1) Данная последовательность является строго монотонной

(возрастающей), поскольку xn+1 = 2(n +1) +1 = 2n + 3 > 2n +1 = xn для любого на-

турального числа n .

го номера n справедливо неравенство xn > xn+1 . Для этого рассмотрим отноше-

ние			n −го			члена	последовательности	к	n +1−му:
	x	=	3n +1	2n +1	=	6n2 + 5n +1	. Числитель полученной дроби всегда больше
	n
	x		2n −1	3n + 4		6n2 + 5n − 4
	x		2n −1	3n + 4		6n2 + 5n − 4
	n+1

знаменателя и поскольку при этом общий член xn положителен для любого на-

турального n , то			xn	>1 и x	> x	для всех n .
турального n , то				>1 и x	> x	для всех n .
			xn+1	n	n+1
			xn+1
4) Рассмотрим разность между n −м членом последовательности и n +1−м:
x	− x	= n2 − 9n −100 − ((n +1)2 − 9(n +1)n −100) = −2n + 8 .					Выражение,
n	n+1
стоящее в		правой		части	равенства, положительно при		n =1,2,3 (т.е.
x1 > x2	> x3 > x4 ), равно нулю при n = 4 (т.е. x4 = x5 ) и отрицательно для осталь-
ных значений n (при этом xn					< xn+1 ), поэтому, строго говоря, данная последова-

тельность монотонной не является, однако она строго монотонна (возрастает), начиная с пятого члена.

Задачи для самостоятельного решения

5.1.Написать первые пять членов последовательности (xn ) , если

206

а) xn = 3n−1 ; в) xn = n n+1 ;

д) xn = n2 − 2n +3;

ж) x1 = 0 , x2 =1, xn+2 = xn + xn+1

з) xn = ∑n 1k ;

k =1 2

б) xn = (−1)n +1; г) xn = cos π2n ; е) xn = n1!;

– последовательность чисел Фибоначчи;

и) xn = ∑(−1)k .

k =1

Для каждой из заданных последовательностей написать формулу общего

члена:
5.2. а) 1,	1 ,	1 ,		1		,	1		,…;				б) 1,	1	,	1		,		1		,		1		,…;
5.2. а) 1,	1 ,	1 ,		7		,	9		,…;				б) 1,	8	,	27		,	64			,	125			,…;
	3	5		7			9							8		27			64				125
в) 2	, 4	,	6	,		8	,		9	,…;			г) 2,1		1	,11			,1		1		,11		,…;
в) 2	, 4	,	7	,		9	,			,…;			г) 2,1		2	,11			,1		4		,11		,…;
3	5		7			9	10								2	3					4			5
д) −1,1 −1,1 −1,1….
5.3. а) 2,4,2,4,2,4,…;													б) −2,5,−10,17,−26,… ;
в) 1	, 1	,	1	,		1		,	1		,…;		г) 1	, 1 ,			1		,		1			,	1		,…;
в) 1	, 1	,		,				,			,…;		г) 1	, 1 ,					,					,			,…;
2	5		8		11 14								2	6		24 120								720
д) −2, 4			, −8				, 16			,−		32	,….
д) −2, 4			, −8				, 16			,−			,….
	2					6	24				120

Какие из данных последовательностей ограничены сверху? ограничены снизу? ограничены? монотонны? строго монотонны?

5.4.

а)

= n ;

б)

= −

;

в)

x =

−

1 n

;

г) x = −n3

+ 2n ;

д)

−1

5.5.

а)

x = (−2)n ;

б)

= 2−n

;

в)

x = n(−1)n ;

г)

x = n2

;

207

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.20164.65 Mб371савицкая 2012.pdf
#
10.11.2018976.38 Кб30Савицкая Г.В. Опорный конспект по АХД в АПК.doc
#
28.09.20192.74 Mб37самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
31.08.20193 Mб46сахар.doc
#
21.08.20191.1 Mб5Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162.2 Mб144сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163.17 Mб403сборник заданий по матем часть1.pdf
#
20.02.20163.36 Mб7Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc
#
20.02.2016182.78 Кб203Сборник тестов(Логистика).doc
#
20.02.2016358.91 Кб15Сбытовая политика--курс.Баранова.doc
#
14.11.2018176.64 Кб8Свитин В.Ф. Основы физ. подготовки.doc