Глава 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник выс мат часть 1(2013).pdf

Скачиваний:

144

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3834 35 36 37 38 > Следующая >>>

	−	1	c ,	5	c	+ c		, c , c					R. 1.104. (0, 0, 0).
1.103.	−	4	c ,	4	c	+ c		, c , c		, c , c			R. 1.104. (0, 0, 0).
		4	1	4	1		2	1	2		1	2

	−	4	(c	+ c		),	1	(c		−5c	), c , c					R.
1.105.	−	3	(c	+ c		),	3	(c		−5c	), c , c		, c , c			R.
		3	1		2		3		2	1	1	2		1	2

1.106.	(2c1 + 3c2 −c3 , c1 + c2 − c3 , −c1 + 2c2 + c3 , c1, c2 , c3 ), c1, c2 ,
1.107.	(c1, c2 , c1 +3c2 , 0, 0).	1.108. Нет.					1.109. Да.
1.111.	Да. 1.112. {(2, 3, 1, 0), (1, 2, 0, 1)}.
1.113.	{(1, 0, 3, 1, 0), (2, 1, 0, 0, 0), (1		3	, 0, − 4	3	, 0, 1)}.

1.114. {(1, 2, 1, 0), (−1, 1, 0, 1)}.				1.115.	(1, 1, 2, −1).

	JJJG	G JJJG	G JJJG	Глава 2		JJJG
2.2. а)				G G	б)		G	G
	CB = −3q ; CB = −4 p; AC			= 4 p +3q ;		AM	= 4 p +1,5q

c3 R.

1.110. Нет.

JJJG	G	G
; AN	= 3q	+ 2 p ;

JJJJG	=1,5 −2 pG .			2.3.		а)
MN
2.5.	G	2	G	G	2.6.
	c =	3 b −a .
2.7.	JJJJG		G	G	G	;
	AC		= a	+b	+c
		1

c =

+b );

б)

= 2c −b

2.4.

+b ).

JJJG

1 G

JJJG

2 G

JJJG

1 G

OA = −

3 a −

3 b

;

OB =

3 a −

3 b

;

3 b −

3 a .

JJJG

;

JJJJG

= a

+b −c ;

= b −a

B D = b −a

−c .

2.8.

JJJG

= −

−

JJJG

1 G

;

JJJJG

1 G

+ c ;

a −

b +c ;

JJJJG

= −

1 G

2.9.

x = −1.

2.11. C(10;4) .

2.12. C(10;− 2) .

2.13.

x = 5.

2.14. 7; 69 . 2.15. 7. 2.16. а)

(5;7,5;−2,5) ;

б)

(4;6;− 2); (6;9;−3) .

2.17.

2.18. B(11;3;1) . 2.19. а)

aG = −20 pG +11qG;

б)

a = 6 pG −7qG. 2.20. а) aG = −2 pG + 4qG+ rG;

2.21.

JJJJG

−3

б)

= 3 p + 2q

− r .

5 2 ,

cosα =

cos β =

cosγ

JJJG

JJG

2.22.

Пр

= 2 ,

Пр

= 3,

cosα = 2 , cos β = −6 ,

cosγ = 3 .

AB = −6 ,

2.23.

; б) (1;

−1;

2) . 2.25. (2;2;2) . 2.26. 10.

= 4i − 2

2 j

+ 2 2 k . 2.24. а)

321

2.27. а) 3; б) –10; в)							2	7 . 2.28. 5. 2.29. 3. 2.30.																		7 . 2.31.				7 ; 13 . 2.32.		45D .
2.33. 60D . 2.34. 45D .								2.35.				120D .				2.36. 60D . 2.37.											arccos 0,8. 2.38.				arccos 65 .
2.39.		−4		.	2.40.	G	=	4		6	;				G	=	4	2	. 2.41.				3 . 2.42. 2. 2.43. (0;0,8;0,6);
2.39.				.	2.40.	ПрG a	=				;		ПрGb			=			. 2.41.				3 . 2.42. 2. 2.43. (0;0,8;0,6);
		49				b		3							a		3
		49						3									3
(0;−0,8;−0,6).						2.44.		5	;−		12		;0 .			2.45.			−	6	;−	2	;−			3	. 2.46. (2α;3α;α), α R .
(0;−0,8;−0,6).						2.44.			;−		13		;0 .			2.45.			−	7	;−	7	;−			7	. 2.46. (2α;3α;α), α R .
						13					13									7		7				7
2.47. 8. 2.48. 6. 2.49. а)										cG = −6 j ; б) cG = −2k ;												в)				cG = 6i −9 Gj + 6kG . 2.50.						21 .
2.52. 2,5. 2.53.						50 2 . 2.54.						3	2 . 2.55.						26 . 2.56.							2	21 . 2.57. –8. 2.58. а) да;
													4														3
б) нет, левая; в) нет, правая. 2.59. 14. 2.60. а)																								да;			б) нет. 2.61. 6.				2.62.	4 1 .
																																3
2.63.		4		3	. 2.64. 2V .			2.66. У к а з а н и е : умножить скалярно обе части
		3
равенства на aG. 2.67. а) да;												б) да; в) нет; г) да; д) да. 2.68. а) нет; б) нет; в) да;
г)	нет;		д)		да. 2.69. а)			1;		б)		2; в)				3;	г)	2;		д) 4.				2.70. а)				xG	(1); xG (−2); xG (3) ; б)
																												1		2	3
xG	(1;0) ;			xG	(0;1) ;	x (3;−2) ;				xG		(2;1) ;				в)	x (1;0;0) ;					x (0;1;0) ;						xG	(1;−2;0) ;		x (0;0;1) ;
1				2		3					4						1						2					3			4
г)	xG	(1;0;0) ; xG (0;1;0) ;						xG		(0;0;1) ; x (−2;1;3) ;											д)			x (1;0;0) ;				xG		(0;1;0) ;	x (0;0;1) ;
	1				2			3								4							1						2		3
xG	(−1;0;1) . 2.71. а) да;							б) да;					в) нет; г) нет;								д) да.					2.72. а)				λ ≠ 0;	б) λ ≠ 0;
4
в) ни при каких λ. 2.73. да.												2.74. α ≠ −8 , β ≠ 3 . 2.75. а) да; б) нет.
2.76.		1.		а) 3x1 +5x2 =15, x1 =1, x2 = 2,4;																	б) 3x1 +5x2 = 30, x1 = 5, x2 = 3;
					в) 3x1 +5x2 = 45, x1 = 3, x2 = 7,2.
2.	а) 3x1 +5x2 > 4x1 + 4x2 , 3x1 +5x2 = 30, x1 =1, x2 = 5,4;
				б) 3x1 +5x2 < 4x1 + 4x2 , 3x1 + 5x2 = 30, x1 = 5, x2 = 3;
					в) 3x1 +5x2 = 4x1 + 4x2 , 3x1 +5x2 = 30, x1 = 3,75, x2 = 3,75.
2.77.		1. а) 3x1 +5x2 + 4x3 =19,													= (1; 2; 1,5)					или					= (1; 3; 0,25);
2.77.		1. а) 3x1 +5x2 + 4x3 =19,												x	= (1; 2; 1,5)					или				x	= (1; 3; 0,25);

б) 3x1 +5x2 + 4x3 = 34, x = (2; 4; 2) или x = (0; 6; 1);

322

в) 3x1 +5x2 + 4x3 = 53, x = (10; 4; ,75) или x = (1; 3; 0,25).

2. а) x = (0, 6, 1); б) (2, 2, 4,25); в) (2, 4, 2).

2.78. 1. а) (6000, 8000, 12000, 2000); б) (6000, 12000, 18000, 3000);

в) (1500, 2000, 3000, 500).

2. а) λ1G1 + λ2 G2 =1 G1 + 2 G1 = (11000, 14000, 18000, 1000);

б) 2		G1	+ 3	G1	= (18000, 23000, 30000, 2000) велосипедов каждого
вида.

3. Умножение вектора на число и нахождение линейной комбинации

векторов.
		485		845	215	855
2.79. а) 1 (A + B) = 1065				410	190	680 ;
2
2				475	595		11
		1430		475	595		11
		70	130		10 110
б) B − A =		30	340 200			40	.

			710		10	20
	− 40		710		10	20

2.80.p = AB = [1380, 2040, 340], S = 3760.

2.81.S = g s = 570, T = g t =1220, P = g p = 35000.

2.82.S = gA = (575, 550, 835, 990).

2.83.90 p1 +100 p2 +110 p3 +90 p4 = 3480; p1 =10, p2 = 5,8, p3 =10, p4 =10.

2.84.c ≥ 9.

2.85.2 грузовика 1-го типа, 3 грузовика 2-го типа, 4 грузовика 3-го типа.

2.86.2 ед. первого вида, 3 ед. второго вида, 4 ед. третьего вида.

2.87.2 кг корма А, 1 кг корма В, 3 кг корма С.

2.88.100 свитеров, 120 джемперов, 150 жакетов.

323

2.89.10 изделий А, 20 изделий В, 30 изделий С.

2.90.20 лис, 30 песцов, 10 норок.

2.91.50 столов, 70 шкафов, 100 стульев.

Глава 3

3.3 1) X=1, Y = 3; 2) X= — 4, Y = —2; 3) X = 1, Y = —7; 4) X = 5, Y = 3.

3.4. (3; —1). 3.5. (—3; 2). 3. 8. 1) X= — 6, Y = 6 3 2) X = 3 3 , Y = —3; 3) Х

=2 , Y = — 2 . 3.9. 1) d = 2, θ = π3 ; 2) d = 6, θ = — π4 ; 3) d = 4, θ = 56 π. 3.10.

1)d = 2 , θ = — 34 π; 2) d = 5, θ = arctg 43 − π; 3) d = 13, θ = π — arctg125 ;

4)d = 234 , θ = — arctg 5. 3.11. a) 3; б) — 3. 3.12. a) (—15; —12);

б) (1; —12). 3.13. —2. 3.14.	3 3 − 4 .	3.15. 1) —5; 2) 5. 3.16. 1) 5; 2) 10; 3) 5;
	2
4) 5 ; 5) 2 2 ; 6) 13. 3.17. 137 кв. ед. 3.18. 8 3 кв. ед. 3.19. 13, 15. 3.20. 150

кв. ед. 3.21. 4 2 . 3.26.< ВАС = 45°, < АВС = 45°, < АСB = 90°. 3.27. 60°.

Указание. Вычислить длины сторон треугольника, а затем применить теорему косинусов. 3.26. M1(0; 28) и M2(0; – 2). 3.29. Р1(1; 0) и Р2(6; 0).

3.30. M2(3; 0). 3.31. B(0; 4) и D(–1; –3). 3.32. Условию задачи удовлетворяют два квадрата, симметрично расположенных относительно стороны АВ. Вершины одного квадрата суть точки C1 (– 5; 0), D1 (– 2; – 4), вершины другого – С2 (3; 6), D2 (6; 2). 3.33. 1) М(1; 3); 2) N(4; –3). 3.34. (1; –3), (3; 1) и (–5; 7). 3.35. D(– 3; 1). 3.36. (5; –3), (1; –5). 3.37.13. 3.38. (2; –1) и (3; 1). 3.39.

( 5

; –2). 3.40.

14 2 . 3.41. (– 11; –3). 3.42. 4. 3.43. λ = AB

= 2;

= AC

= −3 ;

λ3

= −

3.44.

A(3; –1) и B(0, 8). 3.45. 1) 14 кв. ед.;

2) 12 кв. ед.;

3)25 кв. ед. 3.46. 5. 3.47. 20 кв. ед. 3.48. 7,4. 3.49. х= –116 , у = 4111 .

3.50.(0; – 8) или (0; – 2).

324

3.51.С1(–2; 12), D1(–5; 16) или С2(– 2; 23 ), D2 (–5; 143 ).

3.52.Точки M1, M3 и М4 лежат на данной прямой; точки M2, M5 и М6 не лежат на ней. 3.53. 3, –3, 0, –6 и –12. 3.54. 1, –2, 4, –5 и 7. 3.55. (6; 0), (0; –4).

3.56.(3; –5). 3.57. А(2; –1), В(–1; 3), С (2; 4). 3.58. (1; –3), (–2; 5), (5; –9) и

(8; –17). 3.59. S = 17 кв. ед. 3.60. С1(–1; 4) или C2 ( 257 ; −367 ).

3.61. 1) 2x −3y +9 = 0; 2) 3x − y = 0 ; 3) y + 2 = 0; 4) 3x + 4 y −12 = 0 ;

5)2x + y +5 = 0 ; 6) x +3y − 2 = 0 . 3.62. 1) k=5, b = 3; 2) k = − 23 , b = 2;

3)k = −53 , b = − 23 ; 4) k = − 32 , b = 0; 5) k = 0, b = 3. 3.63. 1) – 53 ; 2) 53 .

3.64. 1) 2x +3y −7 = 0 ; 2) 3x − 2 y − 4		= 0 . 3.65. (2; 1), (4; 2), (–1; 7), (1; 8).
3.66. (–2;–1). 3.67. Q(11; –11). 3.68. 1) 5х+у – 7 = 0; 2)				8x +12 y +5 = 0 ;
3) 5х + 7y + 9 = 0;	4) 6x −30 y −7 = 0	. 3.69. a) k = 7; б) k =		7	; в) k =	− 3 .
			10
						2
3.70. 5x − 2 y −33 =	0 , x + 4 y −11 = 0 ,	7x + 6 y +33 = 0 . 3.71.		7x − 2 y −12 = 0 ,

5x + y − 28 = 0 , 2x −3y −18 = 0 . 3.72. x + y +1 = 0 . 3.73. 2x +3y −13 = 0 . 3.74.

(3; 4). 3.75. x – 5 = 0. 3.76. Уравнение стороны АВ: 2х+у – 8=0; ВС: х + 2у –1= = 0; СА: х – у– 1 =0. Уравнение медианы, проведённой из вершины А:

х – 3 = 0; из вершины В: х + у – 3 = 0; из вершины С: у =0.

3.77. 3х – 5у + 4 = 0; х + 7у — 16 = 0; 3x −5y − 22 = 0 ; x + 7 y +10 = 0 .

3.78. Уравнения сторон прямоугольника: 2x −5y +3 = 0 , 2x −5y − 26 = 0 ;

уравнение его диагонали: 7x – 3у – 33 = 0. 3.79. х + у – 8 = 0, 11x– у – 28= = 0. У к а з а н и е . Условию задачи удовлетворяют две прямые: одна из них проходит через точку Р и середину отрезка, соединяющего точки А и В; другая проходит через точку Р параллельно отрезку AB . 3.80. M1(10; –5). 3.81. Р(2; –1). 3.82.

Р(2; 5). 3.83. x −5y +3 = 0 или 5x + y −11 = 0 . 3.84.

325

Уравнение сторон квадрата:	4x +3y +1 = 0, 3x − 4 y +32 = 0, 4x +3y − 24 = 0 ,
3x − 4 y + 7 = 0 ; уравнение	его второй диагонали: x + 7 y −31 = 0 . 3.85.

3x − 4 y +15 = 0 , 4x +3y −30 = 0, 3x − 4 y −10 = 0 , 4x +3y −5 = 0 .

3.86. 2х + у —16 = 0, 2x + у + 14 = 0, х–2у–18 = 0. 3.87. 1) 2x −3y −13 = 0 ; 2)

x − 2 = 0 ; 3) у + 3 = 0. 3.88. Перпендикулярны 2) и 3). 3.89. 4х–у– 13=0, х—5= 0, x+8у+5=0. 3.90. ВС: 3х+4у–22= 0; СA: 2x - 7у -5 = 0; СN: 3x+5у-23=0.

3.91. x + 2у — 7 = 0; x – 4у- 1 = 0; x - у + 2 = 0. У к а з а н и е . Задача может быть решена по следующей схеме: 1. Устанавливаем, что вершина А не лежит ни на одной из данных прямых. 2. Находим точку пересечения медиан и обозначаем её какой-нибудь буквой, например М. Зная вершину А и точку М, мы можем составить уравнение третьей медианы. 3. На прямой, проходящей через точки А и М, строим отрезок MD = AM (черт. 80). Затем определяем координаты точки D, зная точку М — середину отрезка AD и один из его концов А. 4. Устанавливаем, что четырёхугольник BDCM — параллелограмм (его диагонали взаимно делятся пополам), составляем уравнения прямых DB и DC. 5. Вычисляем координаты точек В и С.6. Зная координаты всех вершин треугольника, мы можем составить уравнения его сторон.

3.92. 4x+7y–1=0, у–3=0, 4x+3у–5=0. 3.93.

2x +9 y −65 = 0 , 6x −7 y − 25 = 0

18x +13y − 41 = 0 . 3.94. х + 2у = 0, 23x + 25у = 0.

3.95. 8х – у – 24 = 0. 3.96. 3x + 4у – 1=0, 7x + 24y – 61=0.

3.97. 1) а = –2,5у – 33 = 0;

2) a1 – 3, х – 56 = 0; a2 = 3,

5x + 8 = 0; 3) а1 = 1,

3x – 8у = 0; a2 =

5 ,

33x –56у = 0. 3.98. m = −4 , n = 2; x −5 = 0. 3.99. 1) (5; 6);

( 1 ;

1 ); 3)

(2; −

); 4)

( −5 ;

2).

291. 1)

При a ≠ 3;

при a = 3 и b ≠ 2

;

при

a = 3

−

3.102.

m = −4, n ≠ 2

или m = 4, n ≠ −2

;

m = −4,n = 2

или

m = 4,n = −2 ; 3)

m = 0 , где n

—

любое значение.

326

3.103.					m =									7			.	3.104.							1)					пересекаются; 2)																		не пересекаются. 3.105. a = −7 .
3.103.					m =								12				.	3.104.							1)					пересекаются; 2)																		не пересекаются. 3.105. a = −7 .
													12
3.106.							1)								x2			+	y2				=1;					2)								x2			+		y2			=1;			3)				x2				+				y2					=1;				4)	x2		+	y		2	=1;
3.106.							1)								25			+	4				=1;					2)							25				+		9			=1;			3)			169					+		144							=1;				4)	25		+	16			=1;
															25				4																25						9									169							144												25			16
5)		x2			+					y2					=1;			6)					x2			+			y2				=1;						7)				x2			+ y2 =1; 8)										x2				+			y2				=1; 9)			x2	+		y2		=1
5)	100				+										=1;			6)				169				+							=1;						7)			5				+ y2 =1; 8)									16					+							=1; 9)		13		+				=1
	100								64													169						25														5													16							12							13			9
или					x2											y2		=1;				10)									x2						y2			=1. 3.107.										1)					x2							y		2				1; 2)	x2			y		2	=1;
												+																					+																										+							=					+
		117							4			+			9															64			+			48																			4				+		49					=			1		+	25
		117													9															64						48																			4						49								1			25

3)	x2			+				y2						=1; 4)							x2			+			y	2			=1; 5)									x2		+				y2	=1; 6)							x2			+			y2					=1. 3.108.						1) 5 и 3;
3)	25			+		169								=1; 4)						64				+		25					=1; 5)									16		+		144			=1; 6)							7			+			16					=1. 3.108.						1) 5 и 3;
	25					169														64						25														16				144										7						16
2) F1(–4; 0),																F2(4; 0); 3) ε =																	4			; 4) x = ± 25. 3.109.																				16 кв. ед. 3.110. (–3; – 8 ),
																																	5												4																														5
(–3;		8 ). 3.111. Точки A1 и A6 лежат на эллипсе; A2, A4 и A 8 — внутри эллипса;
		5
A3,		A 5,							A7,							A9		и A10 — вне эллипса. 3.113. 20.																																				3.114. 10. 3.115. (–5; 3																				3 ) и
(–5;				–3							3 ).							3.116.								1)								x2				+		y2			=1;				2)					x2			+			y2				=1;						3)	x2		+	y		2	=1;
(–5;				–3							3 ).							3.116.								1)							36					+		9			=1;				2)			16					+		16					=1;						3)	20		+	15			=1;
																																	36							9										16							16												20			15
			x2									y2																x2							y2															x2						y2													x2			y		2
3)								+								=1;						5)										+							=1;						6)								+							=1;								7)			+				=1.
3)		20						+					4			=1;						5)						9				+				5			=1;						6)				256				+		192					=1;								7)	15		+	6			=1.
		20											4															9								5													256						192														15			6
3.117.				(x −3)2														( y + 4)2								=1.							3.118.								(x +3)2								( y − 2)2										=1. 3.119. 1) С (3; —1),
3.117.									9						+					16						=1.							3.118.												9		+						4						=1. 3.119. 1) С (3; —1),
									9											16																									9								4
полуоси 3 и																		5 ,				ε =			2 ; уравнения директрис: 2x — 15 = 0, 2y + 3 = 0;
																									3
2) С(– 1; 2), полуоси 5 и 4, ε =																																				3		; уравнения директрис: 3x – 22 = 0;
																																				5
3x + 28 = 0;																3) С(1; –2),												полуоси 2														3				и	4, ε =						1	;								уравнения директрис:
																																																					2
																																						(x − 2)2									y2															2							2
у – 6 = 0, у + 10 = 0. 3.121. 1)																																								169					+			= 1;							2) 2x									— 2xy + 2у							– 3 = 0;
у – 6 = 0, у + 10 = 0. 3.121. 1)																																								169					+		25	= 1;							2) 2x									— 2xy + 2у							– 3 = 0;
3) 68x2 +											48xy + 82у2 — 625 = 0; 4) 11х2 + 2ху + 11y2 — 48x — 48y — 24 = 0.

3.122. 4x2 + 3y + 32x — 14у + 59 = 0. 3.123. 4x2 + 5y2 + 14x + 40y + 81 =0.

327

3.124. (4; 23 ), (3; 2). 3.125. 1) Прямая пересекает эллипс; 2) проходит вне

эллипса; 3) касается эллипса. 3.126. 1) При |m|<5 — пересекает эллипс; 2) при т = ± 5 — касается эллипса; 3) при |т| > 5 — проходит вне эллипса.

3.127. 3x + 2у — 10 = 0 и 3x + 2y + 10 = 0. 3.128. х + y– 5 = 0 и x + y + 5 = 0.

3.129. M1(– 3; 2); d = 13 . 3.130. x + y–5=0 и x+ 4y–10=0. 3.131. 4x–5у–10=0.

3.132.

=1 или

=1. 3.133.

=1 .

3.134.

=1.

3.135.

=1 . 3.135. (3; 2) и (3; — 2). 3.137. 1) x2–y2 = 9; 2) (x–2)2 + (y +

+ 3)2 = 49; 3) (x – 6)2 + (y + 8)2 = 100 ;

4) (x + 1)2 + (y – 2)2 = 25;

5) (x – 1)2 + (y – 4)2 =8;

6) х2 + у2 = 16;

7) (x – 1)2 + (y + 1)2 = 4;

(x – 2)2 + (y – 4)2 = 10;

9) (x – l)2 + y2 = 1;

10) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25.

3.140. (x – 4)2 + (y + 1)2 = 5 и (x–2)2 + (y–3)2 = 5. 3.141. (x + 2)2 + (y + 1)2 =20.

	2		2	9		2		22	2		2			2
3.142. (x–5)		+ (у + 2)		=20 и (x– 5 )			+ (y– 5 ) = 0. 3.143. (x–1)					+ (у + 2)			= 6.
3.144. (х–2)2 + (y–1)2 =5 и (x– 22 )2					+ (y +			31 )2	=	289 . 3.145. Уравнения 1), 2),
				5				5		5
4), 5), 8) и 10) определяют окружности;								1) С(5; –2), R = 5; 2) С(–2; 0), R = 8;
3) уравнение определяет единственную точку (5; –2); 4) С(0; 5), R =													5 ; 5) С

(1;–2), R = 5; 6)уравнение не определяет никакого геометрического образа на плоскости; 7) уравнение определяет единственную точку (–2; 1); 8) С(– 12 ; 0),

R = 12 ; 9) уравнение не определяет никакого геометрического образа на

плоскости; 10) C(0;–	1 ), R=	1 .	3.147. 1) Вне окружности; 2) на ок-
	2	2

ружности; 3) внутри окружности; 4) на окружности; 5) внутри окружности.

3.148. 2x – 5у +19 = 0. 3.149. M1(–1; 5) и	М2( –2; –2). 3.150. 1) Пересекает
окружность; 2) касается окружности;	3) проходит вне окружности.

328

3.151. 1) \|k\| <									3												3							3																							b2						= R2 . 3.153. x2+y2 +
									4 ; 2) k = ±												4		; 3) \|k\| > 4 .															3.152.
									4 ; 2) k = ±												4		; 3) \|k\| > 4 .															3.152.										1+ k2
+6x – 9y – 17 = 0. 3.154. 7x – 4у = 0.																																																	3.155. х – 2у + 5 = 0.
3.156.				x1x + y1y = R2. 3.157. 45°. 3.158. 90°.																																							3.159. 90°. 3.160. x+2y+5= 0.
3.161. d					= 7,5. 3.162.															3.			3.163.					2x + 4y –													1 =						0						и					2x		+ y					+				19			= 0.
3.164.			1)					x2			−		y2				=1;						2)				x2	−			y2			=1;					3)						x		2			−				y2				=1;4)								x2			−		y2		=1;
3.164.			1)				25				−	16					=1;						2)			9		−		16				=1;					3)					4						−				5				=1;4)							64				−		36		=1;
							25					16														9				16														4										5											64						36
	x2			y	2												x	2			y2								x2						y2											x2									y2											x2					y2
5)		−					=1;			6)									−				=1;			7)						−						=1; 8)														−							=1; 9)										−					=1.
5)	36	−	64				=1;			6)					144				−	25			=1;			7)		16				−		9				=1; 8)									4					−		5					=1; 9)						64				−		36			=1.
	36		64												144					25								16						9													4							5											64						36
3.165. 1)							x2		−		y	2				=1;			2)				x2	−			y2	= −1; 3)											x2				−			y2						= −1;								4)				x2			−			y2		= −1;
3.165. 1)					36				−	324						=1;			2)				16	−		9		= −1; 3)										100					−	576								= −1;								4)			24				−		25			= −1;
					36					324													16			9												100						576																			24						25
5)	x2	−		y2			= −1. 3.166.												1) a = 1, b = 2; 2) a = 4, b = 1;																																		3) a = 4, b = 2; 4) a = 1,
5)	9	−	16				= −1. 3.166.												1) a = 1, b = 2; 2) a = 4, b = 1;																																		3) a = 4, b = 2; 4) a = 1,
	9		16
b = 1;			5) a = 5 , b =															5	;		6) a			=			1 , b =						1 .																			3.167.									1) a = 3, b = 4;
									2									3								5							4
2) F2(–5; 0), F2(5; 0); 3) ε =																								5		; 4) y = ±										3 x ;						5) x = ±														9 .				3.168. 12 кв. ед.
																								3												4																				5
3.170. 12. 3.171. 10. 3.172. (–6; 4																												3 ) и (–6; –4															3 ).
							x2				y2										2			2													x2						y2																		x2									y2
3.173. 1)								−						=1; 2) x									–y		= 16;								3)							−					=1									или											−								=1;
3.173. 1)						18		−		8				=1; 2) x									–y		= 16;								3)				4			−			5		=1									или							61		9		−			305					=1;
																																																															9								16
4)	x2	−		y2			=1;			5)						x2		−	y	2		=1.						3.174. ε =											2 .					3.175.															x2	−		y2			=1.
4)	32	−	8				=1;			5)					16			−	9			=1.						3.174. ε =											2 .					3.175.														60		−		40			=1.
	32		8												16				9																																							60				40
3.176. 1) С (2; —3), а = 3, b = 4, ε = 5/3, уравнения директрис:
5x–1 = 0, 5x–19 = 0,																		уравнения асимптот: 4x – 3y – 17= 0, 4х + 3у + 1 = 0;
2) С(–5; 1), a = 8, b = 6,																						ε = 1,25; уравнения директрис: х= –11,4 и x = 1,4,
уравнения асимптот:
3x + 4y + 11 = 0 и 3x–4y + 19 = 0;																																3) C(2; –1),																				a = 3, b = 4, ε = 1,25,
уравнения директрис: y=–4,2, y=2,2, уравнения асимптот:

329

				(x −3)2		( y − 2)2		2
4x+3y–5 = 0, 4х–3у–11 = 0. 3.178. 1)				144	−	25	=1; 2) 24xy + 7y –144=0;
3) 2xy+2x–2у + 7 = 0. 3.179.	x2	−	y2	=1. 3.180. 1) С(0; 0), а = b = 6, уравнения
3) 2xy+2x–2у + 7 = 0. 3.179.	16	−	9	=1. 3.180. 1) С(0; 0), а = b = 6, уравнения
	16		9
асимптот: x = 0 и у = 0; 2) С(0; 0), a = b = 3, уравнения								асимптот: x = 0 и

y = 0; 3) С(0; 0), а = b = 5, уравнения асимптот: x = 0 и у = 0. 3.181. ( 254 ;3 ) –

прямая касается гиперболы. 3.182. 1) Касается гиперболы; 2) пересекает гиперболу в двух точках; 3) проходит вне гиперболы. 3.183. 1) При |m| > 4,5

— пересекает

гиперболу; 2) при

т = ± 4,5

–

касается

гиперболы;

3) при |т|

< 4,5 – проходит вне гиперболы.

3.184.

k2а2–b2

т2.

3.185.

3х–4у–10=0, 3х–4у+10=0. 3.186. 5х – 3у – 16 = 0, 13x + 5y + 48 = 0.

3.187. 2x + 5y – 16 = 0. 3.188. d =

10 . 3.189.

−

3x2

−

4 y2

=1.

3.190.

−

=1. 3.191.

х = – 4, х = 4, у = – 1,

у = 1. 3.192.

−

=1.

3.193.

−

=1. 3.194.

1) y = 6x;

2) у = –x;

3) x

2 y ; 4) x

= –6y.

3.195. 1) p = 3; в правой полуплоскости симметрично оси Ох; 2) р = 2,5; в верхней полуплоскости симметрично оси Оу; 3) р = 2; в левой полуплоскости

симметрично оси Ох; 4) р = 12 ; в нижней полуплоскости симметрично оси

Оу. 3.196. 1) у2 = 4х; 2) у2 = –9x; 3) x2 = у; 4) x2 = –2у. 3.197. x2 = –12у. 3.199. F(6; 0), х + 6 = 0. 3.200. 12. 3.201. y2 = –28x. 3.202. 1) А(2; 0), p = 2,

x–1 = 0; 2) А( 2 ;0), р = 3,			6x–13 = 0; 3) А(0; – 1 ), р = 3, 6y–13 = 0; 4) А(0; 2),
	3		3
p =	1 ; 4y – 9 = 0. 3.203. 1) А(–2; 1), р = 2; 2) А(1; 3), p =			1	; 3) А(6; –1), p = 3.
	2			8
3.204. 1) А(–4; 3), p =		1 ; 2) А(1; 2), р = 2; 3) А(0; 1), р = 1 .
		4	2

330

3.206. x = 14 y2 – у + 7. 3.207. x2 + 2ху+ у2–6x +2y + 9 = 0. 3.208. F(9; –8).

3.209. (–4; 6) — прямая касается параболы. 3.210. 1) Касается параболы; 2) пересекает параболу в двух точках; 3) проходит вне параболы.

3.211. 1) k <			1 ; 2) k =1/2; 3) k>1/2. 3.212. p = 2bk. 3.213. х + у + 2 = 0.
			2
3.214. 2х–у–16 = 0. 3.215. d = 2 13 .					3.216. 3x –y + 3 = 0 и 3x–2y + 12 = 0.
3.217. 5x–18y + 25 = 0. 3.218. (6; 12) и (6; –12). 3.219. (10;							30 ), (10; – 30 ),
(2;	6 ),	(2; –	6 ).	3.220. (2; 1),	(–1; 4), (	3 + 13 ; 7 +	13 ) и
						2	2
( 3 −	13 ;	7 −	13 ).
2		2
3.221. x − 2 y +3z +3 = 0 . 3.222. 2x − y − z −6 = 0						3.223. х – у – 3z + 2 = 0.

3.224. x + 4 y + 7z +16 = 0. 3.225. 9x − y + 7z − 40 = 0. 3.226.3x +3y + z −8 = 0.

3.227. 1) nG ={2;−1;−2}, nG ={2λ;−λ;−2λ}; 2) n ={1;5;−1}, nG ={λ;5λ;−λ};
3)	nG ={3;−2;0}, nG ={3λ;−2λ;0};					4) n ={0;5;−3}, nG ={0;5λ;−3λ};
5)	6)	nG ={0;1;0}, nG ={0;λ;0}. 3.228. 1) и 3) 3.229. 1) и 2) 3.230. 1) l=3, m= –4;
2) l=3, m= – 2 ; 3) l= –3				1	, m= –1	1 .		3.231. 1)6;		2) −19; 3) − 1 . 3.232. 1)		1	π
		3		3		5			7			3
и	2 π; 2) 1 π и		3 π; 3)	π	; 4) arccos		2	и π−arccos		2	. 3.233. 5x −3y + 2z = 0.
и	2 π; 2) 1 π и		3 π; 3)	2	; 4) arccos			и π−arccos	15		. 3.233. 5x −3y + 2z = 0.
	3	4	4	2		15			15

3.234.	7x–y–5z = 0. 3.235. 4x– у– 22–9=0. 3.236. x = 1; у = –2; z = 2.
3.239.	1) а ≠ 7; 2) а = 7, b = 3; 3) а = 7, b ≠ 3.

3.240. 1) z – 3 = 0; 2) у + 2 = 0; 3) х + 5 = 0. 3.241. 1) 2у + z = 0; 2) 3x + z = 0; 3) 4x+3у = 0. 3.242. 1) у+42+10= 0; 2) х–z–1=0; 3) 5x+у– 13= 0.3.243. (12; 0; 0),

(0; –8; 0), (0; 0; –6). 3.244. a = –4, b = 3, с = 12 . 3.245. 240 кв.ед. 3.246. 8 куб.ед.

3.247. −x3 + −y4 + 2z =1. 3.248. −x3 + 3y + 3z =1.3.249. x+ y+ z+ 5= 0. 3.250.

2x–21у + 2z + 88 = 0, 2x–3у–22 + 12 = 0. 3.251. х + у + 2–9 = 0, x– у– 2 + 1 = 0,

331

х– у + z– 3 = 0, х + у– z– 5 = 0. 3.252. 2x– у– 3z– 15 = 0. 3.253. 2x–3у + z– 6 = 0. 3.254. х–3у– 2z + 2 = 0.

3.255.{5zx=−07 y −3 = 0 ;{5yx=+02z −3 = 0 ;{7x y=−02z +3 = 0 .3.256. {35xx −+ 2yz−=70z +9 = 0 .

3.257. (2; –1; 0);

(11

; 0;

−1 ). 3.259. 1) D = – 4; 2) D = 9; 3) D = 3.

3.260.

1) A1=A2=0 и хотя бы одно из чисел D1, D2 отлично от нуля;

2) B1 = B2 = 0 и хотя бы одно из чисел D1 ,D2

отлично от нуля; 3) C1 = C2 = 0 и

хотя

бы

одно из

чисел

D1,

отлично

от

нуля. 3.261.

;

; 3)

; 4) A1=D1= 0, A2=D2= 0; 5) B1=D1= 0, B2=D2=0;

6) C1=D1= 0,

C2=D2= 0.

3.262. 1)

x − 2

z +3

;

x − 2

z +3

;

−3

−1

x − 2

z +3

;

x − 2

z +3

;

x − 2

z +3

3.263.

x −1

y + 2

z −1

;

x −3

y +1

y + 2

z −3

;

−2

−1 3

−2

x +1

y − 2

z + 4

. 3.264.

1) x=2t + 1, y= – 3t – 1, z = 4t– 3;

2) x=2t + 1,

y=5t–1, z=-3; 3) x=3t+1, y=-2t-1, z=5t-3. 3.265. 1) x= t+2, y= –2t+1,

z=t+1;

2) x=t+3,

y= -t-1, z=t;

3) x=0,

y=t,

z= -3t+1. 3.266. (9; –4; 0),

(3; 0; –2),

(0;

–3).

3.267.

x=5t+4,

y=-11t–7,

z=-2.

3.268.

x −1

y − 2

z + 7

−3

−8

3.269.

x − 2

y +1

z +3

3.270.

x=3t+3,

y=15t+1,

z=19t–3.

3.271.

−1

−7

x − 2

y +1

3.272.

x − 2

y +1

z +3

Р е ш

е. Полагая,

−7

−1

−7

например, z0=0, находим из данной системы: x0=2, y0 = –1; таким образом мы уже знаем одну точку прямой; M0(2; –1; 0). Теперь найдём направляющий вектор. Имеем n1={1; –2; 3}, n2={3; 2; –5}; отсюда а=[n1, n2]={4; 14; 8}, т.е. l = 4, m = 14, n = 8. Канонические уравнения данной прямой мы получим,

332

подставляя найденные

значения

x0,

y0, z0

и l, m,

равенства

x − x0

y − y0

z − z0

x − 2

y +1

или

x − 2

y +1

;

y +1

z −1

. 3.273. 1) x = t + 1,

y = - 7t, z = -19t - 2;

x = - t+ 1,

−5

= 3t + 2,

z =

- 1. 3.276. 60°. 3.277. 135°. 3.278. cosϕ =

3.280. a = 3. 3.281.

x +1

y − 2

z +3

3.282.

x + 4

y +5

z −3

−1

−3

3.283.

1) 2x+ 15у+ 7z

+ 7= 0;

2) 9y

+ 3z + 5 = 0;

3) 3х + 3z–2 = 0;

4) 3x– 9y–7 = 0. 3.284. 1) 23x–2y + 21z – 33 = 0; 2) y + z– 18 = 0; 3) x + z– 3=0; 4) x–y + 15 = 0. 3.285. 5x + 5z – 8 = 0. 3.286. 11х– 2у–15z–3=0. 3.287.

α(5x − y − 2z −3) +β(3x − 2 y −5z + 2) = 0. У к а з а н и е. Прямая пересечения

плоскостей 5х–у–2z–3 = 0, 3x–2у–5z+2= 0 перпендикулярна к плоскости х+19у–7z–11=0; следовательно, условию задачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту

прямую.

3.288. 9х + 7y + 8z + 7 = 0.

3.289. Принадлежит. 3.290. l = – 5,

m = –11. 3.291. 4x–3у+ 6z–12 = 0, 12х–49y+ 38z + 84 = 0.

3.294. 1) (2; —3; 6); 2) прямая параллельна плоскости;

3) прямая лежит на

плоскости.

3.295.

x − 2

y +3

z +5

3.296. 2x –

3у + 4z–1 = 0.

−3

−5

3.297. x+2у+ 3z=0.

3.298. m = –3. 3.299. С = – 2. 3.300. A = 3, D = –23.

3.301. А = – 3, B = 4

3.302. t= – 6, С =

. 3.303. (3; –2; 4). Р е ш е н и е.

Искомую точку найдём, решая совместно уравнения данной прямой с уравнением плоскости, проведённой из точки Р перпендикулярно к этой прямой. Прежде всего заметим, что направляющий вектор данной прямой {3; 5; 2} будет являться нормальным вектором искомой плоскости. Уравнение плоскости, которая проходит через точку Р(2; –1; 3) и имеет нормальный вектор п={3; 5; 2}, будет иметь вид 3(х–2) + 5(у+1) + 2(z–3)=0

333

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3834 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.20164.65 Mб371савицкая 2012.pdf
#
10.11.2018976.38 Кб30Савицкая Г.В. Опорный конспект по АХД в АПК.doc
#
28.09.20192.74 Mб37самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
31.08.20193 Mб46сахар.doc
#
21.08.20191.1 Mб5Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162.2 Mб144сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163.17 Mб403сборник заданий по матем часть1.pdf
#
20.02.20163.36 Mб7Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc
#
20.02.2016182.78 Кб203Сборник тестов(Логистика).doc
#
20.02.2016358.91 Кб15Сбытовая политика--курс.Баранова.doc
#
14.11.2018176.64 Кб8Свитин В.Ф. Основы физ. подготовки.doc