Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник выс мат часть 1(2013).pdf

Скачиваний:

144

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3825 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Раздел III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Глава 6. Производная и дифференциал

6.1. Определение производной. Правила дифференцирования

Приращением функции y = f (x) в точке x0 при соответствующем приращении x аргумента x называется разность y(x0 ; x) = f (x0 + x) − f (x0 ) (рис.6.1).

f (x0 + x)

f (x0 )

y = f (x)

•

		y
		y

•	•

x
			x
•	•	x	x
x0	x0 +	x
Рис. 6.1
Если существует конечный предел	lim	y(x0 ; x)		, то его значение назы-
	x→0		x

вается производной функции y = f (x) в точке x0 , а сама функция называется дифференцируемой в точке x0 .

Для производной используются следующие обозначения: y′(x0 ) , f ′(x0 ) ,

dy(x0 ) , df (x0 ) и др. dx dx

Нахождение производной называют дифференцированием функции. Чис-

ла f+′(x0 ) = lim	y(x0 ; x)	и f−′(x0 ) = lim	y(x0 ; x)	называются соответст-
	x		x
x→+0		x→−0
венно правой и левой производными функции y = f (x)				в точке x0 . Для сущест-

251

вования производной функции в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы ее односторонние производные существовали и были равны f+′(x0 ) = f−′(x0 ) .

Таблица производных основных элементарных функций

1.(xα )′ = α xα−1 , α ≠ 0 .

2.(a x )′ = a x ln a, a > 0, a ≠1.

3.(ex )′ = ex .

4. (loga x)′ = x ln1 a , a > 0, a ≠1.

5.(ln x)′ = 1x .

6.(sin x)′ = cos x .

7.(cos x)′ = −sin x.

8. (tgx)′ =	1	.
	cos2 x

9. (ctgx)′ = −sin12 x .

10.		′		′		1
	(arcsin x)		= −(arccos x)		=	1− x2 .

11. (arctgx)′ = −(arcctgx)′ = 1+1x2 .

Правила дифференцирования

Пусть y = f (x) и y = g(x) – некоторые дифференцируемые функции, с –

постоянная величина. Тогда:

1.(c)′ = 0.

2.(c f )′ = c f ′.

3.	( f ± g)′ = f ′± g′.
4.	( f g)′ = f ′ g + f g′.
			′	f	′	g − f g	′
5.		f	=					, g ≠ 0.
						g 2
	g

252

Пример 6.1. Исходя из определения, найти производную функции y = x3 .

Р е ш е н и е. Найдем

y(x0 ; x) = (x0 + x)3 − x03 = 3x02 x +3x0 ( x)2 +( x)3 . Вычислим предел:

y(x

;

3x2

x +3x

(

x)2 +(

x)3

lim

= lim

= lim (3x02 +3x0 x +( x)2 ) = 3x02 С

x→0

ледовательно, (x3 )′ = 3x2 .

Пример 6.2. Найти производные следующих функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования:

1) y = x3 x ,

	2)	3sin x −			2	,
				x	x
	3)		1	x
	3)	5		,
		2
	4)	x2 cos x ,
	5)	ln x .
		x
Р е ш е н и е.
																											1		7
1) Представим y = x3								x	в виде степенной функции y = x3 x																			2	= x	2	и
													y′				7		′			7	7	−1	7		5
воспользуемся табличной производной (1)														=					′		=	7		−1	7
воспользуемся табличной производной (1)														=	x 2						=	2 x 2			= 2 x 2 2)

			2													2			′
y′ = (3sin x −			2	)′ =	(правило 3)					=	(3sin x)′−					2				=		(правило

																	3
		x		x
		x		x
															x 2
		=3(sin x)′−					−	3	′					3			−	5		= 3cos x +3x						−	5
2)	=						−		′					3			−	2								−	2 .
2)	=					2 x	2		=	3cos x −2 −					x			2									2 .
														2

	1	x ′								1 x ′			1 x					1
	5															ln					.
3) y′ =	5			= (правило 2) = 5								= 5				ln					.
	2									2			2					2

253

y′ = (x2 cos x)′= (правило 4) = (x2 )′ cos x + x2 (cos x)′ = 2x cos x − x2 sin x .

ln x

′

(ln x)′x −ln x(x)′

x −ln x 1

1−ln x

y′ =

= (правило 5) =

Пример 6.3. Найти производную функции y = x2 −5x + 4 в точках x0 = 0

иx0 = 4 .

Ре ш е н и е. Найдем производную y′ = 2x −5 , а затем найдем значение

производной в указанных точках. y′(0) = 2 0 −5 = −5 ; y′(4) = 2 4 −5 = 3.

Задачи для самостоятельного решения

Найти приращение функции y(x0 , x).

6.1. y = x2 +3x +1, x0 =1, x = 0,1;

6.2. y =	1	, x0 = 2 ,	x = 0,2 ;
	x
6.3. y =		x , x0 = 4 ,	x = 0,41;
6.4. y = lg x , x0 =10 ,			x = 0,3 .

Найти производные указанных функций, исходя из определения производной.

6.5.	y = 3x + 2 ;	6.6.	y = x2 − 2x +3;
6.7.	y = sin x ;	6.8.	y = log2 x ;	6.9. y = x−2 .

6.10. Показать, что производная функции y = x в точке x = 0 не суще-

ствует.

Найти производные указанных функций, используя правила дифференцирования и таблицу производных.

6.11. y = x3 −4x2 +5x −3;	6.12. y =	x6	−4x4 + 2x2 +11;

	3

254

6.13. y =

3x +5

;

6.15. y =

x −

;

6.17. y = 63

x2 +84

x3 −

;

6.19. y = 3cos x −2sin x ;

6.21. y = 6 2x +3 4x ;

6.23. y = (2x +3) sin x ;

6.25. y = (3x −2) ln x ;

6.27. y = x arcsin x ;

6.29. y = cos2 x ;

6.31. y =

2x −1

;

x2 + x +1

6.33. y =

cos x

;

1+sin x

6.35. y =

2x −1

;

6.37. y = x2 cos x log2 x .

6.14. y = (2x −3)2 ;

6.16. y = 2x − x32 + x43 ;

6.18. y = 48x − 3 3x ;

6.20. y = tgx + ctgx ;

6.22. y = x2 cos x ;

6.24.	y = (x2 + 2x +3)ex ;
6.26.	y = cos x ex ;
6.28.	y = (x2 +1)arctgx ;
6.30.	y =	4x	;
		1−2x

6.32.	y =	sin x	;
		x2 +1

6.34.	y =	x	;
		1+ x
6.36.	y =	x ln x	;
		x2 +1

Найти значение производной функции в указанной точке x0 .

6.38. y = (1+ 3

x2 )2 ,

x0 =1;

6.39. y = (x + 2) sin x ,

x0 = 0 ;

6.40. y = cos x −

+1, x0

;

6.41. y =

−

x ,

x0 =1;

x2 +1

6.42. y =

−

x0 = 3 ;

6.43. y =

x +1

= 3 ;

x2 −5

6.44. y = 4 3

x2 , x0

= −8 ;

6.45. y = (x2 −3x + 2)ex , x0 = 0 .

255

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3825 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.20164.65 Mб371савицкая 2012.pdf
#
10.11.2018976.38 Кб30Савицкая Г.В. Опорный конспект по АХД в АПК.doc
#
28.09.20192.74 Mб37самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
31.08.20193 Mб46сахар.doc
#
21.08.20191.1 Mб5Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162.2 Mб144сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163.17 Mб403сборник заданий по матем часть1.pdf
#
20.02.20163.36 Mб7Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc
#
20.02.2016182.78 Кб203Сборник тестов(Логистика).doc
#
20.02.2016358.91 Кб15Сбытовая политика--курс.Баранова.doc
#
14.11.2018176.64 Кб8Свитин В.Ф. Основы физ. подготовки.doc