- •Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры Основы аналитической геометрии
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.6. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •2.6. Контрольные задания к главе 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.4. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.6. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. Пределы и непрерывность
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к разделу II
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.4. Геометрический и механический смысл производной. Производные высших порядков
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теорема о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •ОТВЕТЫ
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Содержание
3.310. Убедившись, что прямые { |
2x + 2 y − z −10 = 0, |
|
|
x + 7 |
|
|
y − 5 |
z −9 |
|
|||||||||||
x − y − z − 22 |
= 0. |
и |
|
|
= |
|
|
= |
|
па- |
||||||||||
3 |
|
−1 |
4 |
|||||||||||||||||
раллельны, вычислить расстояние d между ними. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.311. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(1; 2; –3) па- |
||||||||||||||||||||
раллельно прямым |
x +1 |
= |
y +1 |
= |
z +1 |
и |
|
x + 5 |
= |
y − 2 |
= |
z + 3 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
−3 |
|
−3 |
|
|
−2 |
|
|
−1 |
|
|
3.312. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2; –2; 1) и
прямую x=2t+1; y=-3t+2; |
|
z=2t–3. |
|
||||
3.313. Доказать, что прямые |
x −1 |
= |
y + 2 |
= |
z − 5 |
и x=3t+7, y=2t+2, z=-2t+1 |
|
2 |
|
−3 |
|
||||
|
|
|
4 |
|
лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой плоскости.
3.314. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные
прямые |
x − 2 |
= |
y +1 |
= |
z − 3 |
, |
x −1 |
= |
y − 2 |
= |
z + 3 |
. |
|
3 |
|
−2 |
3 |
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
−2 |
3.315. Найти проекцию точки С(3; –4; –2) на плоскость, проходящую через па-
раллельные прямые |
x − 5 |
= |
y − 6 |
= |
z + 3 |
, |
|
x − 2 |
= |
y − 3 |
= |
z + 3 |
. |
|
|||||||
|
|
|
13 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
13 |
1 |
|
−4 |
1 |
|
−4 |
|
|||||||||
3.316. Найти точку Q, симметричную точке Р(3; –4; –6) относительно плоско- |
|||||||||||||||||||||
сти, проходящей через М1(-6; 1; –5), М2(7; –2; –1) и М1(10; –7; 1). |
|
||||||||||||||||||||
3.317. Составить |
уравнение плоскости, |
проходящей через прямую |
х=3t+1, |
||||||||||||||||||
у=2t+3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y + z −3 = 0, |
|
|
|
|
||||||||
z= –t–2 параллельно прямой {x + |
2 y − z −5 = 0. . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.318. Составить |
уравнение |
|
плоскости, |
проходящей |
через |
прямую |
|||||||||||||||
|
x −1 |
= |
y − 2 |
= |
z − 2 |
перпендикулярно к плоскости 3х+2у–z–5=0. |
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
−3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
Обобщением понятия плоскости трехмерного пространства на случай n −мерного пространства является понятие гиперплоскости. Каждую гиперплоскость можно задать одним линейным уравнением вида:
a1x1 + a2 x2 +... + an xn = b , |
(0.69) |
176
где a1,a2 ,..., an ,b –действительные числа, a12 +a22 +... + an2 ≠ 0 .
Очевидно, что на декартовой плоскости ( n = 2 ) уравнение (0.69) описывает прямую. Если в n −мерном пространстве задана гиперплоскость (0.69), то этой гиперплоскостью все точки пространства разбиваются на два полупро-
странства:
1) |
множество точек, для которых a1x1 + a2 x2 +... + an xn ≥ b ; |
(0.70) |
2) |
множество точек, для которых a1x1 + a2 x2 +... + an xn ≤ b . |
(0.71) |
Эти полупространства пересекаются по самой гиперплоскости (0.69). Множество Χ точек n −мерного пространства называется выпуклым, если
для любых A, B X справедливо λA + (1 − λ)B X , λ [0,1] , т.е. выпуклое множество наряду с любыми двумя своими точками A и B содержит и все точки отрезка AB . Например, на рисунке 3.21 первое множество является выпуклым, а второе–нет.
Рис 3.21.
Пересечение любой совокупности выпуклых множеств есть выпуклое множество.
Каждое полупространство (0.70), (0.71) является выпуклым множеством. Гиперплоскость (0.69), как пересечение выпуклых множеств есть выпуклое множество.
Через каждую точку границы выпуклого множества на плоскости проходит, по крайней мере, одна опорная прямая, имеющая общую точку с границей, но не рассекающая это множество.
177
В трехмерном пространстве через каждую точку границы выпуклого множества проходит хотя бы одна опорная плоскость, оставляющая это множество в одном полупространстве.
Множество Χ точек n −мерного пространства называется ограниченным,
если оно имеет конечный диаметр d(Χ) = max |
ρ( A, B) , где ρ( A, B) – расстоя- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AΧ, BΧ |
|
ние между двумя точками A и B множества X . |
|
|||||||||
Пусть в \n даны m полупространств, определяемых неравенствами: |
||||||||||
a11x1 |
+ a12 x2 |
+... + a1n xn |
≥ b1, |
|
||||||
a |
x |
+ a |
x |
+... + a |
x |
|
≥ b , |
(0.72) |
||
...21 1 |
22 |
2 |
|
2n n |
|
2 |
||||
a |
x + a |
x |
|
+... + a |
mn |
x |
≥ b . |
|
||
|
m1 1 |
m2 2 |
|
|
n |
m |
|
Все знаки неравенств одного смысла могут быть достигнуты умножением, в случае необходимости, обеих частей неравенства на -1. Пересечение этих полупространств, называемое выпуклой многогранной областью, определяет множество решений системы линейных неравенств (0.72). Если это пересечение ограничено, оно называется выпуклым многогранником n −мерного простран-
ства \n . Таким образом, множество решений системы линейных неравенств (0.72) представляет собой либо выпуклый многогранник, либо выпуклую неограниченную область, либо пустое множество точек.
Частным случаем, но крайне важным с точки зрения графической иллюстрации решения, является система m линейных неравенств с двумя переменными, имеющая вид:
a11x1 |
+ a12 x2 |
≥ b1, |
|
|||
a |
x |
+ a |
x |
≥ b , |
(0.73) |
|
...21 1 |
22 |
2 |
|
2 |
||
a |
x |
+ a |
x |
|
≥ b . |
|
|
m1 1 |
m2 2 |
m |
|
где a11, a12 ,...,am1, am2 ,..., b1,...,bm − заданные действительные числа.
Системы вида (0.73) возникают при моделировании многих экономических задач.
178
Так как (0.73) – совокупность линейных неравенств, необходимо определить понятие решения линейного относительно переменных x1 и x2 неравенст-
ва:
a1x1 + a2 x2 ≤ b . |
(0.74) |
|
|
Решением неравенства называется такая |
пара действительных |
чисел |
|
(x1, x2 ), которые удовлетворяют неравенству (0.74). Если трактовать x1 |
и |
x2 |
как координаты точек пространства \2 , т.е. плоскости x1O x2 , то областью ре-
шений неравенства называется совокупность всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (0.74). Областью решений линейного неравенства является одна из полуплоскостей, на которые граничная прямая a1x1 + a2 x2 = b делит плоскость x1O x2 .
Одной из экономических интерпретацией неравенства (0.74) является бюджетное множество, которое определяется как множество наборов товаров
(x1, x2 ) в количествах x1 и x2 соответственно (первого и второго вида), кото-
рые можно приобрести по ценам a1 и a2 за единицу товара, имея заданную сумму b денежных единиц.
Пример 3.39. Построить на плоскости |
x1O x2 |
область решений системы |
|||||||
линейных неравенств: |
|
|
|||||||
3x |
|
+ 2x |
|
≤ 6, |
|
|
|||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||
x1 |
+ |
x2 |
≥1, |
|
|
|
|||
x |
≥ 0, x |
|
≥ 0. |
|
|
||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Решение. |
Построим граничные прямые (рис. 3.22): |
||||||||
3x1 + 2x2 = 6 |
(l1 ); |
x1 + x2 =1 (l2 ); x1 = 9 (l3 ); |
x2 = 0 |
(l4 ). Прямые (l1 ) и (l2 ) |
строим по двум точкам, а именно, точкам пересечения с осями координат. Построим прямую (l1 ): 3x1 + 2x2 = 6 . Если x2 = 0 , то 3x1 + 2 0 = 6 , x1 = 2 , значит,
прямая (l1 ) пересекает ось O x1 в точке А (2; 0); если x1 = 0 , то 3 0 + 2x2 = 6 , x2 = 3 , значит, прямая (l1 ) пересекает ось O x2 в точке
179
В (0; 3). Аналогично устанавливаем, что прямая (l2 ) пересекает оси O x1 и O x2
в точках С (1; 0) и D (0; 1) соответственно. Прямые (l3 ) и (l4 ) задают уравне-
ния осей координат O x2 и O x1 соответственно.
Каждая из построенных прямых разбивает плоскость на две полуплоскости, одна из которых (ее направление укажем стрелкой) является решением неравенства, соответствующего граничной прямой. Для того, чтобы узнать, какая именно из двух полуплоскостей является решением неравенства, в неравенство, соответствующее рассматриваемой граничной прямой, подставим координаты точки, не лежащей на этой прямой, например, для (l1 ) и (l2 ) подставим точку
О(0; 0): 3 0 + 2 0 ≤ 6 , (l1 ); 1 0 +1 0 ≤1, (l2 ). Получим числовые неравенства
0 ≤ 6 , которое является истинным, следовательно, стрелка направлена от пря-
мой (l1 ) в полуплоскость с точкой О(0; 0) и 0 ≥1, которое является ложным.
Следовательно, стрелка направлена от прямой (l2 ) в полуплоскость, не содер-
жащую точку О(0; 0). Неравенство x1 ≥ 0 задает полуплоскость, лежащую пра-
вее прямой (l1 ); а неравенство x2 ≥ 0 задает полуплоскость, лежащую выше прямой (l2 ). Пересечение отмеченных полуплоскостей (четырехугольник
АСDВ) и есть область решений изучаемой системы неравенств:
180
x2
(l3 )
В 3
(l2 ) 2 (l1 )
D 1 |
С |
А |
|
(l4 ) |
|
|
|
||
0 |
1 |
2 |
3 |
x1 |
Рис. 3.22.
Задачи для самостоятельного решения
Построить на плоскости
равенств:
2x − x ≤ 6,
3.319. x1 1+ 4x22 ≤8,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
x + 2x ≤12,
3.321. x11 + x2 2≤8,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
2x + 3x ≤ 6,
3.323. x1 1+ x2 ≥2 2,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
3x + x ≤ 6,
3.325. x1 1+ 2x22 ≥ 4,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
x1O x2 область решений системы линейных не-
|
x |
+ 3x |
2 |
≤ 6, |
||
3.320. |
|
1 |
|
≤ 6, |
||
3x1 + x2 |
||||||
|
x |
≥ 0, |
x |
≥ 0. |
||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
x |
+ x |
≤12, |
|||
3.322. |
|
1 |
2 |
|
|
≥ 6, |
x1 |
+ 2x2 |
|
||||
|
x |
≥ 0, |
x |
≥ 0. |
||
|
|
1 |
|
|
2 |
3x + 4x ≤12,
3.324. x1 1+ x2 ≥21,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
2x + 5x ≤10,
3.326. x1 1+ x2 ≥23,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
181