4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций

Напомним, что графиком функции f (x) в декартовой прямоугольной сис-

теме координат Oxy , называется множество всех точек плоскости с координа-

тами (x, f (x)) .

Часто график функции y = f (x) можно построить с помощью преобразо-

ваний (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции.

В частности, из графика функции y = f (x) получается график функции

1) y = f (x) + a – сдвигом вдоль оси Oy на a единиц (вверх, если a > 0 , и

вниз, если a < 0 ;

2) y = f (x −b) – сдвигом вдоль оси Ox на b единиц (вправо, если b > 0 , и

влево, если b < 0 ;

3)y = kf (x) – растяжением вдоль оси Oy в k раз;

4)y = f (mx) – сжатием по оси Ox в m раз;

5)y = − f (x) – симметричным отражением относительно оси Ox .

6)y = f (−x) – симметричным отражением относительно оси Oy .

7)y = f (x) , следующим образом: часть графика, расположенная не ниже

оси Ox , остается без изменений, а «нижняя» часть графика симметрично отра-

жается относительно оси Ox .

8) y = f ( x ) , следующим образом: правая часть графика (при x ≥ 0 ) остает-

ся без изменений, а вместо «левой» строится симметричное отражение «пра-

вой» относительно оси Oy .

Основными элементарными функциями называются:

1)постоянная функция y = c ;

2)степенная функция y = xα ,α R ;

3)показательная функция y = ax , a ≠ 0,a ≠1;

4)логарифмическая функция y = loga x , a > 0,a ≠1;

199

y = arctg x , y = arcctg x .

Элементарными функциями называются функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических опе-

раций (+,−, ,÷) и композиций (т.е. образования сложных функций f g ).

Пример 4.6. Построить график функции

1)y = x2 + 6x + 7 ;

2)y = −2sin 4x .

Решение: 1) Путем выделения полного квадрата функция преобразуется к виду y = (x + 3)2 − 2 , поэтому график данной функции можно получить из графика функции y = x2 . Достаточно сначала сместить параболу y = x2 на три единицы влево (получим график функции y = (x + 3)2 ), а затем на две единицы вниз (рис. 4.1).

y

y = x2

y =( x+3)2–2

Рис.4.1.

200

Растянув полученный график в два раза вдоль оси Oy , получим график функции y = 2sin 4x (рис. 4.3). Осталось отразить последний график относи-

тельно оси Ox . Результатом будет искомый график (рис. 4.3).

y

8 4 2

y=– 2sin4x

Рис.4.3.

201

4.27.а) y =[x] ;

б) y ={x}= x −[x] – дробная часть числа x .

202