Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник выс мат часть 1(2013).pdf

Скачиваний:

144

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3827 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Найти производные функций, заданных неявно, в указанных точках.

6.120. x2 + y2							= 4ex , M1			(0; − 2), M 2 (0; 2).
6.121. x2 + y2						= 8 ,		M1 (2; 2),			M 2 (− 2; 2).
6.122.		x +			y = 4 ,			M (1; 9).
	x	2		y	2					3
6.123.											3
			+			=1,
	4			9				M 1;		2	.

6.124. x3			+3y2 =10xy ,						M (3;1).
6.125. x2			− y3			= 3 , M (2;1).

6.4. Геометрический и механический смысл производной. Производные высших порядков

Геометрический смысл производной функции y = f (x) в точке x0 за-

ключается в том, что производная равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке (x0 , f (x0 )), т. е. f ′(x0 ) = k = tgα , где

α – угол наклона касательной.

Тогда уравнения касательной и нормали к графику функции y = f (x)					в
точке x0	имеют, соответственно,		вид:	y − f (x0 ) = f ′(x0 )(x − x0 ) ,	и
y − f (x0 ) = −	1	(x − x0 ) .
y − f (x0 ) = −	f ′(x0 )	(x − x0 ) .
	f ′(x0 )
Если графики функций y = f (x)			и y = g(x)	пересекаются в точке x0 ,	то

угол, образуемый графиками функций в данной точке, определяется как угол между касательными в этой точке к графикам данных функций.

В механике, если обозначить s(t) – путь, пройденный телом за время t

′	s(t0	, t)	определяет
при прямолинейном движении, то производная s (t) = lim		t	определяет
t→0		t
скорость v(t0 ) тела в момент времени t0 , т. е. v(t0 ) = s′(t0 ) .

260

Производной второго порядка или второй производной функции y = f (x)

называется производная от ее первой производной (y′)′. Обозначается вторая

′′	′′	d 2 y
производная следующим образом: y ,	f (x),	dx2 .

Производной n-го порядка функции y = f (x) называется производная от производной (n–1)-го порядка данной функции. Обозначается производная n-го

порядка следующим образом: y(n) ,

f (n) (x),

d n y . Таким образом,

y(n) = (y(n−1) )′.

dxn

При прямолинейном движении точки по закону s = s(t) вторая производ-

′′

– есть ускорение точки в момент t .

ная s (t)

Пример

6.8. Найти угловой коэффициент касательной к

параболе

y = x2 − 2x +3 а) в точке (2; 3); б) в точке (–1; 6).

Р е ш е н и е. Так как f ′(x0 ) = k , найдем производную y′ = 2x − 2 и под-

ставим соответствующее значение x0 .

а)

′

k = y (2) = 4 − 2 = 2 ;

б)

′

k = y

(−1) = −2 − 2 = −4 .

Пример

6.9.

каких

точках

касательная

графику

функции

y = x2 + x + 2

а) образует с осью Ox угол 45D ; б) параллельна оси Ox .

Р е ш е н и е.

а)

Если касательная образует угол

45D

с осью Ox ,

то

k = tg45

=1 с одной

′

другой.

Следовательно,

стороны и k = y (x) = 2x +1 с

2x +1 =1,

x = 0 .

б)

Если касательная параллельна оси Ox , то ее угол наклона равен 0D

k = tg0

′

x = −

= 0 . Так как k = y (x) = 2x +1, получим 2x +1 = 0,

2 .

Пример 6.10. Расстояние s

(в метрах), пройденное телом за время t

(в

секундах) определяется законом s(t) = t 2 +3t +1. Найти скорость тела в момент времени t =1, t = 4, t =10с, и среднюю скорость за период времени от 1 до 10 с.

261

Р е ш е н и е. Скорость

′

v(1) = 5, v(4) =11, v(10) = 23.

v(t) = s (t) = 2t +3 .

Средняя

скорость

за промежуток от 1

до

10 с. Может быть найдена как

s(10) − s(1)

= 131 −5

=14 м/с.

10 −1

Пример 6.11. Найти третью производную функции y = ln(2x +3)

в точке

x = 0 .

Р е ш е н и е. Найдем y′ =

= 2

(2x

+3)

−1

2x +3

Далее y′′ = (2 (2x +3)−1 )′ = 2 (−1) (2x +3)−2 2 = −22 (2x +3)−2 ;

y′′′ = (−4 (2x +3)−2 )′ = 8 (2x +3)−3 ;

′′′

−3

y (0) = 8 3

Пример 6.12. Найти вторую производную функции x2 + y2 = 4

в точке

C(1;

3).

Р е ш е н и е. Найдем первую производную.

Получим, 2x + 2 y y′ = 0 ,

′

= − y

Еще раз дифференцируем полученное соотношение:

2 + 2 y′ y′+ 2 y y′′ = 0

′

′′

(y ) +1

Выразим вторую производную:

= −

′′

= −

1+3

y (1)

3 3 = − 3

3 .

Задачи для самостоятельного решения

Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в точке x0 .

6.126. y = 2x2 −3x +1, x0 = 2 ;	6.127. y = 3sin 2x ,	x0	=	π	;
				6

262

6.128. y = 5 ln(1+ x2 ) ,	x0 = 2 ;	6.129. y =	2x −3			,	x0 =1.
6.128. y = 5 ln(1+ x2 ) ,	x0 = 2 ;	6.129. y =				,	x0 =1.
			x +1
Написать уравнения касательной и нормали к графику функции y = f (x)
в данной точке x0 .
6.130. y = x2 −5x + 4 ,	x0 = −1;	6.131. y =		x , x0			= 4 ;
6.132. y = ln x , x0 =1;			1−x2		, x0 = −1.
6.132. y = ln x , x0 =1;		6.133. y = e			, x0 = −1.
6.134. Под каким углом график функции		y = sin x пересекает ось Ox ?
6.135. Под каким углом пересекаются кривые 2 y = x2				и 2 y = 8 − x2 ?
6.136. Найти углы, образованные графиком функции y = 4x − x2								и осью Ox в
точках их пересечения.
В каких точках касательная к графику функции							y = f (x)	параллельна
указанной прямой y = kx +b ?
6.137. y = 4x + x2 +1,	y = 8x −1;
6.138. y = 2 ln(x2 + 2) ,	y = x −3;

6.139. y = 63 x2 , y = 4x +1.

6.140. Зависимость пути s , пройденного телом за время t определяется законом s(t) = t3 −3t 2 + 2t +1, где время измеряется в секундах, а путь в метрах.

Найти скорость тела в момент времени t =1, t = 3 с. И среднюю скорость за промежуток времени от 1 до 3 с.

6.141. Закон движения материальной точки s(t) = t 2 +3t +1. В какой мо-

мент времени ее скорость будет равна 15 мс?

6.142. Тело движется прямолинейно по закону s(t) = t3 −12t 2 + 45t +3. В

какие моменты времени тело меняет направление движения?

Найти производные второго порядка от данных функций в точке x0 .

6.143. y = arctgx , x0 =1;

263

6.145. y = sin 2 x ,	x0	= π	;
		6
6.144. y = e−x2 ,	x0 = 0 ;
6.146. y = x2 ln x,	x0	=1.

Найти производные второго порядка от функций в указанных точках.

6.147. x2 − xy + y2 =1,			M (1; 0) ;	6.148. e y			+ y − x = 2 ,	M (−1; 0) .
6.149. Показать,		что	функция	y = C e2 x +C	2	e−2 x	удовлетворяет уравнению
				1	2
y′′− 4 y = 0 при любых значениях постоянных C1 , C2 .
Найти производные третьего порядка в точке x0 .
6.150. y = e3x+2 ,	x0	= 0 ;		6.151. y = sin 2x , x0 =				π ;
								4
6.152. y = ln 3x ,	x0	=1;		6.153. y = 3 1+ 2x , x0				= 0 .
Найти производные n-го порядка указанных функций в точке x0 = 0 .
6.155. y = x3 −2x2 + 4x +6 ;				6.156. y = x4 +1;
6.157. y = ex ;				6.158. y = sin x ;
6.159. y = cos x ;				6.160. y = ln(1+ 2x) ;
6.161. y = 4 1− x .

6.5.Дифференциал функции. Применение дифференциала

кприближенным вычислениям

Если функция y = f (x) имеет конечную производную в точке x0 , то приращение функции в этой точке можно представить в виде:

y(x0 , x) = f ′(x0 ) x +α( x) x (1),

264

где α(	x) → 0 при		x → 0 . Главная,		линейная относительно x , часть прира-
щения	f ′(x0 ) x называется дифференциалом функции и обозначается dy или
df (x) . Так как dx =			x , можем записать dy =			′
df (x) . Так как dx =			x , можем записать dy =			f (x) dx .
Если		f ′(x0 ) ≠ 0 , то при		x → 0 из формулы (1) получаем приближенное
равенство		y(x0 , x) ≈ f ′(x0 )		x = dy , из которого следует формула,				исполь-
зуемая для вычисления приближенных значений функций:
			f (x0 + x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 ) x (2).
Геометрический смысл дифференциала состоит в том, что он равен при-
ращению		ординаты	касательной к		графику		функции y = f (x)	в точке
(x0 ; f (x0 )) при заданном приращении аргумента							x (рис. 6.2),
			y
		f (x0 + x) •				y = f (x)
		f (x0 + x) •			•
			y			dy
						dy
			f (x0 ) •	•
					x
							x
				•	•	x	x
				x0	x0 +	x

Рис. 6.2

т.е. du = tgα x = f ′(x0 ) x .

Пример 6.13. Дана функция y = x2 +3x +1. Найти приращение функции


и ее дифференциал в точке x0 = 4 при					x равном: а) 1; б) 0,5; в) 0,1. В каждом
случае найти значение		y −dy		.

Р е ш е н и е. Найдем приращение и дифференциал функции в произволь-
ной точке x0 :
y(x0 , x) = ((x0 + x)2 +3(x0 + x) +1)−(x02 +3x0 +1)= (2x0 +3) x + ( x)2 ,
dy = (2x0 +3) x ,	y −dy		= ( x)2 , т. е.		разность между дифференциалом и

приращением в данном случае равна квадрату приращения аргумента и стремится к нулю при x → 0 .

265

В точке x0

= 4 ,

y(4,

x) =11 x +(

x)2 , dy =11 x .

В случае

x =1, получим

y =12 , dy =11,

y −dy

=1.

При

x = 0,5 , получим

y = 5,75 , dy = 5,5 ,

y −dy

= 0,25 .

При

x = 0,1, получим

y =1,11, dy =1,1,

y − dy

= 0,01.

Пример 6.14. Найти дифференциал функции y = sin

в точках

x0 = 0

x0 = π ,

= π .

Р е ш е н и е. Найдем дифференциал функции в произвольной точке x0 .

Найдем

f ′(x0 ) = 2 sin

cos

= 1 sin x0 . Следовательно,

dy = 1 sin x0 dx .

При x0

= 0 ,

dy = 0 dx = 0 , при x0

= π , dy = 1 dx ,

при x0 =

, dy = 1 dx .

Пример 6.15. Найти приближенно значение sin 28D.

Р е ш е н и е. Так как sin 30D

= 0,5 , возьмем в качестве x0 угол 30D . Тогда

x = 28D −30D = −2D .

Необходимо градусную меру угла перевести в радианную.

x = −2D

≈ −0,034 .

180D

В силу формулы (2), sin 28D

≈ sin 30D + dy . Вычислим dy .

Рассматриваемая

функция

y = sin x ,

dy = cos x dx .

При

x0 = π

dy = cos π

dx =

3 dx .

Подставляя

dx = x = −0,034,

получим

dy = 23 (−0,034) ≈ −0,029 . Окончательно, sin 28D ≈ 0,5 −0,029 = 0,471.

Задачи для самостоятельного решения
6.162. Дана функция y = x2 + 2x . В точке x0 = 2 вычислить	y и dy при
x равном: а) 0,5; б) 0,1; в) 0,04. В каждом случае найти значение	y −dy	.
	y −dy	.

266

6.163. Какое приращение получает функция y = 3x2 − x при переходе не-

зависимой переменной от значения x0 =1 к значению x =1,04 . Найти соответ-


ствующее значение дифференциала этой функции и	y −dy	.
ствующее значение дифференциала этой функции и	y −dy	.
6.164. Дана функция y = x3 − x . В точке x0 = 2 вычислить значение					y и
dy при x =1, x = 0,1, x = 0,01. В каждом случае найти			y −dy	.
dy при x =1, x = 0,1, x = 0,01. В каждом случае найти			y −dy	.
6.165. Доказать, что для линейной функции y = ax +b			приращение		y и

дифференциал dy равны.

6.166. Ребро куба равно 10 см. На какую величину изменится объем куба V , если его ребро увеличить на 2 мм? Найти точное значение величины V и ее приближенное значение dV .

6.167. Радиус круга увеличен на 1 см. Дифференциал площади круга при этом оказался равным 16π . Найти первоначальную величину радиуса.

Найти дифференциалы указанных функций при произвольном значении аргумента x .

6.168. 8	x ;	6.169. ln x ;	6.170. sin x ;
6.171. 2x ;		6.172. 2x4 ;	6.173.	2	;

				x2
6.174. x	4 − x2 ;	6.175. sin x − x cos x ;	6.176. (1− x2 )3 ;
6.177. x ln x − x +1;		6.178. x arctgx	6.179. 3arcsin x − 4arctgx ;
6.180. ln(1+3x + 2x2 ) ;		6.181. e−x2 ;	6.182. tg 4 x ;
6.183. cos(5x).

Найти приближенные значения функций:

6.184. y = x3 +3x2 − 2x + 4 , при x =1,98 ;

6.185. y = cos x , при x = 63D; 6.186. y = x (x2 +9)−12 , при x = 4,1;

267

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3827 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.20164.65 Mб371савицкая 2012.pdf
#
10.11.2018976.38 Кб30Савицкая Г.В. Опорный конспект по АХД в АПК.doc
#
28.09.20192.74 Mб37самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
31.08.20193 Mб46сахар.doc
#
21.08.20191.1 Mб5Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162.2 Mб144сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163.17 Mб403сборник заданий по матем часть1.pdf
#
20.02.20163.36 Mб7Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc
#
20.02.2016182.78 Кб203Сборник тестов(Логистика).doc
#
20.02.2016358.91 Кб15Сбытовая политика--курс.Баранова.doc
#
14.11.2018176.64 Кб8Свитин В.Ф. Основы физ. подготовки.doc