1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник выс мат часть 1(2013).pdf

Скачиваний:

144

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 382 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1.47. Решить систему при всех значениях параметра m:

а)	(m +1)x − y = m,		б)	x −(m −1)y = 2,
а)		;	б)	(m + 2)x + 2 y =
	(m −3)x + my = −9;			(m + 2)x + 2 y =	4 − m2 .

− x3 = −16,

г) 3x1 − 2x2 + x3 = 24,

г) 3x1 − 2x2 + x3 = 24,

Квадратная матрица А n-го порядка называется невырожденной (неособенной), если ее определитель отличен от нуля: = det A ≠ 0 . Если det A = 0 , то матрица А называется вырожденной.

Матрица В называется обратной к матрице А, если АВ = ВА = Е, где Е –

единичная матрица. Обратную матрицу принято обозначать A−1 . Можно показать, что если для данной матрицы А существует обратная, то она единственная.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы А была невырожденной. Тогда обратная матрица на-

		−1	1		~
ходится по формуле	A		=		А, где
				det

A11

A = A12

…

A1n

A21	… An1
A22	… An2		.
… …		…

A2n	…	Ann

Матрица Аназывается присоединенной к матрице А. Ее элементами слу-

жат алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы A′.

Пример 1.7. Найти A−1 , если она существует, для матрицы

A =

Р е ш е н и е.

Вычисляем

Находим

по-

det A =

= ad − bc ≠ 0 .

следовательно

A =

(−1)1+1 M

= d;

= (−1)1+2 M

= −c;

A = (−1)2+1 M

= −b;

A = (−1)2+2 M

= a. Тогда

		d	−b		d	− b
	1

A−1 =				= ad − bc ad −bc			.
A−1 =				= ad − bc ad −bc			.
	ad − bc − c a				− c	a
	ad − bc − c a					ad −bc
				ad − bc		ad −bc

0 1 2

Пример 1.8. Найти A−1 , если она существует, для A = 2 0 3 .

0 0 1

Р е ш е н и е. Вычисляем определитель, разлагая по элементам второго

				1+2					2	3
столбца: det A =1 (−1)									0	1			= −2 ≠ 0 . Находим алгебраические дополнения:
А =	0 3				= 0 ;			А = −				2 3				= −2 ;				А =	2 0				= 0 ;		А = −		1 2			= −1;
А =	0 3				= 0 ;			А = −				2 3				= −2 ;				А =	2 0				= 0 ;		А = −		1 2			= −1;
11		0		1				12				0			1					13		0		0			21		0		1
		0		1								0			1							0		0					0		1
А =			0 2				= 0 ; А = −							0 1			= 0 ; А =						1 2			= 3; А = −				0 2		= 4 ;
А =			0 2				= 0 ; А = −							0 1			= 0 ; А =						1 2			= 3; А = −				0 2		= 4 ;
22			0	1				23						0	0					31			0	3			32			2	3
			0	1										0	0								0	3						2	3
А =		0		1		= −2 .
А =		0		1		= −2 .
33		2		0
		2		0
							0 −1 3													0 1/ 2 − 3/ 2
Тогда				A = −2				0			4 ,							A−1 = 1				0				− 2	.

																								1
							0 0 −2													0 0				1
Проверкой убеждаемся, что
								0 1 2							0 1/ 2 − 3/ 2									1 0 0
				АA−1 =				2 0 3							1 0					− 2				= 0 1 0				= Е.

																				1
								0 0 1							0 0					1				0 0 1
								0 1/ 2 − 3/ 2											0 1 2					1 0 0
				A−1 А=				1 0							− 2				2 0 3					= 0 1 0				= Е.

															1
								0 0							1				0 0 1					0 0 1

Для невырожденных матриц имеют место следующие свойства:

1. (A−1 )−1 = A; 2. (AB)−1 = B−1 A−1; 3. (An )−1 = (A−1 )n ; 4. (A−1 )′ = (A′)−1, спра-

ведливость которых рекомендуется проверить самостоятельно.

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований ее строк

Пусть А – невырожденная матрица. Назовем элементарными преобразованиями строк этой матрицы:

1.Перемену двух строк местами.

2.Умножение всех элементов строки на число, не равное нулю.

3.Прибавление ко всем элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на некоторое число.

Применяя указанные элементарные преобразования строк к матрице

a11

a12

… a1n

1 0

… 0

E]=

a21

a22

… a2n

0 1 …

…

… … …

… … … …

an2

… ann

0 0 …

an1

приведем ее к виду:

1 0 … 0

b11

b12

… b1n

B]=

0 1

… 0

b21

b22

…

b2n

…

… … …

… … … …

0 0

… 1

bn1

bn2

…

bnn

Поскольку A−1 A

E = A−1 A

A−1E

= E

A−1 , то

B = A−1. Отсюда получаем

следующий способ нахождения обратной матрицы A−1 ( при условии, что det A ≠ 0 ):

1.Записываем матрицы А и Е рядом через черту: [А Е].

2.С помощью элементарных преобразований над строками полученной матри-

цы приводим ее к виду [Е В].

3.Выписываем обратную матрицу A−1 = B.

Пример 1.9. С помощью элементарных преобразований над строками

0 1 2

найти матрицу A−1, обратную матрице A = 2 0 3 .

0 0 1

Р е ш е н и е. Выпишем матрицу А Е , указывая выполняемые элемен-

тарные преобразования над строками (римскими цифрами указан номер стро-

ки):
	0 1 2			1 0 0							2 0 3				0 1 0 : 2


	2 0 3			0 1 0					0 1 2						1 0 0
	2 0 3			0 1 0					0 1 2						1 0 0
	0 0 1			0 0 1						3	0 0 1				0 0 1
	1	0	3/ 2		0	1/ 2	0		−		ΙΙΙ			1		0	0		0	1/ 2	−3/ 2


		1	2		1	0		2								1	0		1	0	−2
	0	1	2		1	0	0		− 2 ΙΙΙ					0		1	0		1	0	−2	.
	0 0 1				0 0 1									0 0 1					0 0		1
					0	1/ 2	− 3/ 2
	Тогда А−1 =				1	0	− 2				.

						0		1
					0	0		1
						0 1 2						0 1/ 2 − 3/ 2							1 0 0
	Проверка: АА−1 = 2						0		3			1	0		− 2		= 0			1	0 ;

														1
						0 0 1						0 0		1					0 0 1
						0 1/ 2 − 3/ 2 0 1 2													1 0 0
					А−1 А= 1 0							− 2	2 0 3					= 0 1 0 .

												1
						0 0						1	0 0 1						0 0 1

Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы

Матричным назовем уравнение, в котором роль неизвестного играет некоторая матрица Х. Простейшими примерами таких уравнений могут служить

уравнения АХ = С, ХВ = С, АХВ = С, где Х и С – прямоугольные матрицы равных размеров, А и В – квадратные матрицы соответствующих размеров. Если

предположить, что матрицы А и В

невырожденные, то эти уравнения имеют

одно и только одно решение

X = A−1C, X = CB−1 и X = A−1CB−1

соответствен-

но. Действительно, рассмотрим, например, уравнение АХ =

С,

где det A ≠ 0.

Умножая

слева

обе части

этого

уравнения

на

A−1, получим:

A−1 ( AX ) = A−1C, (A−1 A)X = A−1C, EX = A−1C, X = A−1C.

Пример 1.10. Решить матричное уравнение:

3 −1

5 6 14 16

−2

7 8 9 10

3 −1

5 6

, С

14 16

Р е ш е н и е. Обозначая А=

В =

, полу-

−2

7 8

9 10

чим АХВ = С. Если det A ≠ 0, det B ≠ 0, то X = A−1CB−1. Находим

det A =

−1

= −6

+ 5 = −1,

тогда

−2 1 2 −1

− 2

А−1 = −1

−5 3 5

−3

det B =	5	6	= 40 − 42 = −2 ,	В−1 = −	1	8 −6	−4	3	,

	7	8				−7 5	=
					2		7 / 2	−5/ 2

	2 −1 14 16 −4		3		=	19 22 −4			3 1 2
Х =					=				=	.
5 −3		9 10 7 / 2	−5/ 2				43 50 7 / 2 −5/ 2 3 4
	Систему n линейных уравнений с n неизвестными (1.4) можно предста-
вить в виде матричного уравнения					AX = B , где A – матрица системы (1.4),
				x1			b1
			X =	x		,	b
			X =		2	,	B = 2	.


				xn			bn

Поскольку матрица А – квадратная, то при условии det A ≠ 0 существует обратная матрица A−1 и тогда система (1.4) имеет единственное решение, мат-

ричная запись которого имеет вид X = A−1B.

					3x1 +	x2 −				x3	= 2,
Пример 1.11. Решить систему уравнений					x1 −	x2 +						матричным
Пример 1.11. Решить систему уравнений					x1 −	x2 +				x3 = 2,		матричным
					x + 2x		2	+ 2x			= 7
					1		2			3
методом.
				3	1	−1
Р е ш е н и е. Выпишем матрицу A = 1					−1	1	.		Найдем ее определи-

					2	2
				1	2	2
тель = det A =	3	1	−1
	3	1	−1
	1	−1	1	= −6 +1 − 2 −1 − 6 = −16 ≠ 0.
	1	2	2

Следовательно, матрица А неособенная и для нее существует обратная матрица A−1 . Найдем алгебраические дополнения матрицы А:

A =		1+1	−1 1									= −2 − 2 = −4;									1+2			1 1				= −(2 −1) = −1;
		1+1	−1 1																		1+2			1 1
		(−1)																	A = (−1)
11			2					2											12					1		2
			2					2																1		2
A =		1+3			1 −1							= 2			+ 2	= 3;			A = (−1)		2+1		1			−	1		= −(2 + 2) = −4;
		1+3			1 −1																2+1		1			−	1
		(−1)
13				2				2											21				1			2
				2				2															1			2
A = (−1)2+2							3 −1						= 6 +1 = 7;						A = (−1)2+3						3 1			= −(6 −1) = −5;
A = (−1)2+2							3 −1						= 6 +1 = 7;						A = (−1)2+3						3 1			= −(6 −1) = −5;
22							1	2											23						1	2
							1	2																	1	2
A	= (−1)3+1				1			−1						= 0;					A = (−1)3+2			3 −1							= −(3 +1) = −4;
A	= (−1)3+1				1			−1						= 0;					A = (−1)3+2			3 −1							= −(3 +1) = −4;
31					−1				1										32			1				2
					−1				1													1				2
A = (−1)3+3										3 1	= −4.
A = (−1)3+3										3 1	= −4.
33						1		−1
						1		−1
		Тогда обратная матрица имеет вид:
										1					− 4		− 4	0		0,25						0,25				0
				A−1 =						1					=	−1	7	− 4	=	0,0625 −0,4375										0,25 .
				A−1 =											=	−1	7	− 4	=	0,0625 −0,4375										0,25 .
										−16
										−16						3	−5									0,3125
																3	−5	− 4	−0,1875							0,3125				0,25
Используя равенство X = A−1B, получим
		0,25							0,25							0	2		0,25 2 + 0,25 2 + 0 7												1
		0,0625						−0,4375
X =		0,0625						−0,4375								0,25 2		= 0,0625 2 − 0,4375 2 + 0,25 7 =													1 .
	−0,1875							0,3125								0,25 7		− 0,1875 2 − 0,3125 2 + 0,25 7													2

Задачи для самостоятельного решения

1.48. Дана матрица A = 13 82 . Используя определение обратной матри-

цы, выяснить, является ли матрица В обратной матрице А, если

а)	3	1	−3 2 4			−1	4	г)	− 2 8
а)	B =	;	б) B =	1 2	;	в) B =	;	г)	B =	1	.
	8	2		1 2	− 4	1 2	−3 2			1	−3

1.49. Проверить, являются ли взаимно обратными матрицы:

	1 −1 1		−1			1 1 0 0
		−1 1
A =	0 1			,	B =	0 1 1 0
	0 0 1		−1				.
						0 0 1 1
			1
	0 0 0					0 0 0 1

1.50. Выяснить, при каких значениях k существует матрица, обратная данной:

		2	4 −1				2 − k				1		1
а)		− 2 2 1				б)			1	2 − k			1
а)	k	− 2 2 1			;	б)			1	2 − k			1	;
		0	0 3						1		1		2 − k

	−1 2 k							k 0		k	2
	−1 2 k							k 0		k		−1
в)	k	−1 5 k ;				г)	1 0				k		.

		k	3						2		4
		k	3	0			3		2		4
		1.51. Пусть А – невырожденная матрица. Записать формулу для нахожде-
ния обратной матрицы, если						a			b
ния обратной матрицы, если						A =			.
						c			d
		1.52.		Пусть B = (bik )−		матрица,				обратная				невырожденной матрице
	−3		2	6
		0	1
A =		0	1	0 . Найти в матрице В элемент: а) b32 ; б) b21; в) b22 .
		−1	7
		−1	7	1

1.53. Найти матрицы, обратные данным, если они существуют. Результат

проверить умножением.

а)	−3 5		б)	1 − 4				15 −5			г)	−5 4
а)		;	б)		;		в)		;		г)			;
	−1 2			2	−3			3	−1			0 3
	1 −1 1				3 1			1		2 −1 −1
д)				е)					ж)		4
д)	2 1		− 2 ;	е)	1	− 2 2 ;			ж)	3	4	− 2 ;
	1 2		3		4	−3	−1			3	− 2 4

	1 1 2				1 −1 1						0	0	0	1 3
	1 1 2				1 −1 1						0	0 1 4		0
з)	2	−1 2 ;		и)	2 1 1 ;				к)		0	0 1 4		0	;
		1				1				0 1 6			0	0
	4	1	4		1	1	2
												0	0	0
										1 12		0	0	0
	1	0 0 0						1 −3 0 0

л)	−1 1		0 0	;			м)	0 1 0 0			.
л)	1	−1 1 0		;			м)	0 0 2 1			.
	1	−1 1 0						0 0 2 1

	−1 1		−1 1					0 0 1 1

1.54. Решить матричным способом следующие системы уравнений:

x1 − x2 + x3							= −2,
а) 2x1 + x2 −2x3 = 6,
								;
x + 2x		2	+ 3x			3	= 2;
1
3x1 + x2 +				x3			=15,

в) 5x1 + x2 + 2x3 = 20, ;
6x − x	2		+	x	3		=10;
1

x1 − 2x2			+ x3	= 0,
д) 2x1 − x2				−1 = 0,
					;
3x +	2x	2	− x − 4 = 0;
1			3

3x1 + x2			+ x3	= 2,
б) x1 − 2x2 + 2x3 =1,
					;
4x	−3x	2	− x	= 5;
1			3

<<< < Предыдущая 12 / 382 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.20164.65 Mб371савицкая 2012.pdf
#
10.11.2018976.38 Кб30Савицкая Г.В. Опорный конспект по АХД в АПК.doc
#
28.09.20192.74 Mб37самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
31.08.20193 Mб46сахар.doc
#
21.08.20191.1 Mб5Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162.2 Mб144сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163.17 Mб403сборник заданий по матем часть1.pdf
#
20.02.20163.36 Mб7Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc
#
20.02.2016182.78 Кб203Сборник тестов(Логистика).doc
#
20.02.2016358.91 Кб15Сбытовая политика--курс.Баранова.doc
#
14.11.2018176.64 Кб8Свитин В.Ф. Основы физ. подготовки.doc