Решение. Данную окружность параметрически можно задать в виде z(t) = a + Reit, 0 < t < 2π. По формуле (2.4) находим

00

2.2. Интеграл от аналитических функций

2.2.1. Теорема Коши для односвязной области. Независимость интеграла от пути интегрирования

R

В общем случае интеграл f(z)dz зависит от формы пути, а

AB

не только от начальной и конечной точки. Выясним условия, при которых интеграл от формы пути не зависит. Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

Теорема 2.1. Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл от этой функции вдоль всякого замкнутого кусочно-гладкого контура C, целиком лежащего в D, равен нулю.

Доказательство. Пусть f(z) = u(x, y) + iv(x, y) аналитическая в области D функция. Напомним, что функции u(x, y) и v(x, y) име-

ют в этой области непрерывные частные производные ∂u∂x , ∂u∂y , ∂x∂v ,

∂y∂v . Через C обозначим любой замкнутый контур, целиком лежащий в D. Имеем

I I I

f(z)dz = udx − vdy + i vdx + udy. (2.5)

C C C

Из условий Коши-Римана следует ∂u∂y = − ∂x∂v , ∂y∂v = ∂u∂x . Этих усло-

34

вий и непрерывности функций u, v, u′x, vx′ , u′y, vy′ достаточно для

обращения интегралов в соотношении (2.5) в нуль [6, с.57-64].

Замечание. Справедливо утверждение, в некотором смысле обратное теореме 2.1, а именно, если f(z) непрерывна в односвязной области D и для всякого кусочно-гладкого контура , лежащего в D,

H

выполняется условие f(z)dz = 0, то f(z) аналитична в D (теорема

Морера).

Теорема 2.2. Если функция f(z) аналитична в односвязной обла-

R

сти D, то интеграл I = f(z)dz не зависит от формы пути инте-

AB

грирования AB для любых точек A и B из D.

B

Если интеграл не зависит от формы пути AB, то используют

R

Подчеркнём, что интегралом f(z)dz обозначают интеграл по

A

любой кривой с начальной точкой A и конечной точкой B от функции f(z).

2.2.2. Существование первообразной для аналитической функции. Формула Ньютона-Лейбница

В этом пункте мы покажем, что формула Ньютона-Лейбница для вычисления определённых интегралов от действительных функций может быть при некоторых предположениях применена и в случае функций комплексного переменного. Предварительно докажем существование первообразной функции F (z) для аналитической функ-

ции.

Теорема 2.3. Всякая аналитическая в односвязной области D

функция f(z) имеет в этой области первообразную функцию

F (z): F ′(z) = f(z).

35

Доказательство. Пусть f(z) аналитична в односвязной области D. Тогда по теореме 2.2 интеграл не зависит от формы пути, а зави-

сит только от начальной и конечной точки в этой области. Поэтому интеграл по кривой, соединяющей фиксированную точку z0 с пере-

менной точкой z, зависит только от z, т.е. является функцией от z.

z

Обозначают F (z) = R f(ξ)dξ. Покажем, что F ′(z) = f(z).

где ds дифференциал длины дуги.

Поскольку функция f(z) непрерывна, то для любого ε > 0 найдётся δ > 0 такое, что при |ξ − z| < δ будет выполняться |f(ξ) − f(z)| < ε. Теперь будем иметь при |h| < δ (тогда и по-

Следующие две простые теоремы предлагается доказать самостоятельно.

Теорема 2.4. Если f(z) аналитична и f′(z) = 0 в некоторой области D, то в этой области f(z) = const.

Теорема 2.5. Любые две первообразные для одной аналитической

функции отличаются на константу.

36

Неопределённым интегралом от аналитической функции f(z)

называется совокупность всех первообразных от неё. Обозначают

Теорема 2.6. Если f(z) аналитична в односвязной области D и z1

и z2 любые две точки из D, то справедлива формула Ньютона-

z2

Лейбница f(ξ)dξ = F (z2) − F (z1), где F (z) любая первообразная

2.2.3. Теорема Коши для многосвязной области

В этом пункте рассмотрим случай интеграла по замкнутому контуру в многосвязной области.

Теорема 2.7. Пусть C простой замкнутый кусочно-гладкий контур и C1, C2, . . . , Cn контуры, лежащие внутри C и вне друг друга. Если f(z) аналитична в области, заключённой между контуром C и контурами C1, C2, . . . , Cn, и на всех этих контурах, то

ров происходит против часовой стрелки.)

Доказательство. Ограничимся случаем n = 2. Проведём разрезы AB и ED. В результате область станет односвязной. По теореме 2.1

37