жем, что для интеграла I(y) выполнены все условия теоремы 5.8:

в полуполосе П:{0 ≤ x ≤ +∞, c ≤ y ≤ d}, c > 0; 2) при любом

5.3. Несобственные интегралы 2-го рода, зависящие от параметра

Пусть функция f(x, y) определена в прямоугольнике П: {a ≤ x < b, c ≤ y ≤ d}, не ограничена при x → b − 0, причём при

a

называемая несобственным интегралом 2-го рода.

Как и для несобственных интегралов 1-го рода, зависящих от параметра, для интегралов 2-го рода важным является понятие равномерной сходимости.

116

для всех λ, удовлетворяющих неравенству 0 < λ < l(ε), сразу для всех y из [c, d].

Теоремы 5.5 5.8, сформулированные для несобственных интегралов 1-го рода, зависящих от параметра, можно соответствующим образом переформулировать и для интегралов 2-го рода.

Предлагаем читателю сформулировать и доказать эти теоремы самостоятельно в качестве упражнений. Заметим, что в этом случае вместо полуполосы П:{a ≤ x ≤ +∞, c ≤ y ≤ d} рассматривается пря-

b−λ

Понятие интеграла, зависящего от параметра, можно распространить на криволинейные интегралы от функций вещественного аргумента, а также на интегралы от функций комплексного аргумента и получить следующие типы интегралов, зависящих от параметра η:

x = x(t),

где AB некоторая кривая y = y(t).

В интеграле I3(η) параметр η может принимать и комплексные

значения.

Используя известные формулы, интегралы (5.15) можно свести к интегралам, зависящим от параметра, изученным нами в пп. 5.1, 5.2 и 5.3. Доказанные теоремы о свойствах функций, заданных интегралом, переносятся и на интегралы (5.15), если подынтегральные функции, получающиеся после преобразования этих интегралов в определённые, удовлетворяют условиям соответствующих теорем. С

R

интегралами типа I3(η) = f(z, η)dz мы уже встречались при изу-

AB

чении интегральных формул Коши.

117

5.4. - и B-функции (эйлеровы интегралы)

0

называют гамма-функцией ( -функция).

5.4.1. Область определения -функции. Непрерывность и дифференцируемость

-функция представляет собой интеграл, зависящий от пара-

метра первого и второго рода одновременно. Можем записать

ся бесконечно большой порядка ниже первого. При s ≥ 1 функция

∞

xs−1e−x ограничена. Интеграл R xs−1e−xdx сходится при любом s,

1

так как подынтегральная функция xs−1e−x при x → ∞ является бесконечно малой порядка выше первого. Итак, функция определена на множестве (0, +∞).

Легко доказать, что интеграл (5.16) равномерно сходится на [s0, s], где s0 > 0, s < ∞, а потому функция (s) непрерывна на

(0, +∞). При этом lim (s) = +∞, lim (s) = +∞. Так как ин-

теграл xs−1(ln x)me−xdx сходится равномерно при m = 1, 2, . . . на

Применяя формулу (5.17), можно вычисление (s) при s > 1 свести к значениям аргумента s < 1, так как (s + 1) = s (s) = = s(s−1) (s−1) = · · · = s(s−1)·· · ··(s−k) (s−k), где 0 < (s−k) < 1.

118

В частности, если s = n натуральное, то

(n + 1) = n(n − 1) · · · · · (1).

+∞

Так как (1) = R e−xdx = 1, то

0

Таким образом, -функция есть обобщение понятия факториала на

любые положительные числа. Соотношение (5.18) доопределим при n = 0 условием (0 + 1) = (1) = 1. По определению положим 0! = = (0 + 1) = 1.

монотонно возрастает при всех s > 0 и не может иметь других корней, кроме s0. В силу монотонного возрастания ′(s) < 0 при s < s0 и′(s) > 0 при s > s0. Следовательно, в точке s0 функция (s) достигает минимума. Так как всюду ′′(s) > 0, то график (s) выпуклый вниз. Приближённо s0 = 1,4616, (s0) = 0,8856.

5.4.3. B-функция и её связь с -функцией. Вторая рекуррентная формула

Функция двух аргументов вида

называется B-функцией (бета-функцией). Интеграл (5.19) является несобственным 2-го рода. Точки x = 0 (при s < 1) и x = 1 (при t < 1) являются особыми. При некоторых соотношениях между s и t первообразная для xs−1(1 − x)t−1 выражается через элементарные функции. В общем случае B(s, t) является новой функцией, не

сводимой к элементарным.

Легко показать, что B-функция определена при s > 0, t > 0.

119

Примем без доказательства формулу, выражающую B-функцию

вторая рекуррентная формула.

Первая и вторая рекуррентные формулы показывают, что таблицы значений (s) достаточно составить для 0 < s < 12 .

Применяя - и B-функции, можно вычислить некоторые инте-

гралы.

∞

Пример 5.10. Вычислить интеграл I = R xme−pxr dx (m, p, r

0

положительные константы).

120

Решение. После замены xm = y, x = y1/m, dx = m y(1−m)/mdy

-функцию можно определить на всей комплексной плоскости с

∞

помощью равенства (z) = R xz−1e−xdx. Определённая таким обра-

0

зом функция (z) аналитична на всей комплексной плоскости, кроме точек 0, −1, −2, . . . , −n, . . ., где она имеет простые полюсы.

5.5. Функции Бесселя

В подразделе 5.4 мы познакомились с - и B-функциями, являю-

щимися неэлементарными, определяемыми интегралами, зависящими от параметра. Многие важные для приложений классы неэлементарных (специальных) функций описываются дифференциальными уравнениями и выражаются в виде суммы степенного ряда. С одним из таких классов, классом цилиндрических функций, мы познакомимся в этом разделе, который можно рассматривать как приложение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений (см. п. 3.5.4).

5.5.1. Общее решение уравнения Бесселя

Уравнение вида

где ν константа, называется уравнением Бесселя порядка ν, а любое его решение называется цилиндрической функцией или функцией Бесселя.

121

Будем искать решение уравнения (5.21) в виде обобщённого степенного ряда вида

зультате подстановки значений y, y′, y′′ в уравнение (5.21) получаем

122