частоту, ϕn начальную фазу гармоники.

Три величины: An, ωn, ϕn полностью определяют гармонику. Как следует из (6.27), функция f(x) представлена в виде суммы гармони-

ческих колебаний бесконечного числа слагаемых. По этой причине разложение функции в ряд Фурье называют её гармоническим анализом. Гармонический анализ сводится к отысканию величин An, ωn, ϕn. Множество {An} всех чисел An называют амплитудным спектром функции f(x), множество {ωn} её частотным спектром, а множество {ϕn} её фазовым спектром. Разложение функции в

ряд Фурье равносильно отысканию указанных спектров. Этот процесс называют также спектральным анализом функции. По заданной функции f(x) однозначно определяются её спектры и, обратно, по заданным спектрам восстанавливается функция f(x) в виде ряда

(6.27), если этот ряд сходится.

Заметим, что амплитудный, частотный и фазовый спектры функции f(x), представимой в виде суммы тригонометрического ряда Фу-

рье, дискретны. Все они являются счётными множествами. Дополнительные сведения из спектрального анализа функции

приведены в п. 6.3.7.

6.3.4. Интегрирование и дифференцирование тригонометрических рядов Фурье

Пусть функция f(x) непрерывна или кусочно-непрерывна на [−l, l]. В силу замкнутости основной тригонометрической системы

в классе кусочно-непрерывных функций выполняется уравнение замкнутости (6.17), которое для тригонометрической системы можно записать в виде

144

∞∞

XX

n=1 n=1

енты тригонометрического ряда Фурье любой кусочно-непрерывной функции f(x), сходятся. Из сходимости этих рядов следует, что

т.е. коэффициенты ряда Фурье кусочно-непрерывной функции при n → ∞ стремятся к нулю.

Запишем соотношение (6.28) для суммы f(x) + g(x) и разности f(x)−g(x) двух любых кусочно-непрерывных на [−l, l] функций. При

этом заметим, что при сложении функций их соответствующие коэффициенты Фурье складываются, а при вычитании вычитаются. Через an и bn, αn и βn обозначены коэффициенты Фурье по тригонометрической системе функций f(x) и g(x), соответственно. Считая функции f(x) и g(x) периодическими с периодом 2l или периодически продолженными с участка [−l, l] на всю числовую ось, можно

записать

Вычитая эти равенства (и сокращая на 4), получаем

Последнее равенство называют обобщённым уравнением замкнутости тригонометрической системы в классе кусочно-непрерывных

функций.

Теорема 6.3. Тригонометрический ряд Фурье кусочно-непрерыв- ной функции f(x) можно интегрировать почленно независимо от ха-

рактера его сходимости.

Доказательство. Пусть f(x) кусочно-непрерывна на [−l, l], пери-

одически продолжена на всю ось и

145

Запишем обобщённое уравнение замкнутости (6.29) для функции

f(x) и функции g(x), заданной в виде g(x) = 1, если 0 ≤ x ≤ x0; 0, если x0 < x < 2l.

Последнее и означает возможность почленного интегрирования ряда Фурье. Теорема доказана.

Подчеркнём, что даже если в (6.30) нет равенства (т.е. соответствующий ряд расходится или сходится не к f(x)), всё равно равен-

ство (6.31) справедливо. Для произвольных функциональных рядов, как мы видели в п. 3.2.3, это свойство не выполняется.

Для почленного дифференцирования имеет место более слабая теорема.

Теорема 6.4. Пусть функция f(x) дифференцируема на [−l, l].

Теорему примем без доказательства.

Вопрос о сходимости ряда (6.32) остаётся открытым. Нужны дополнительные исследования.

6.3.5. О равномерной сходимости тригонометрических рядов Фурье

Теорема 6.5. Если непрерывная и кусочно-гладкая на [−l, l] функция f(x) имеет равные на концах отрезка значения, т.е. f(−l) = f(l),

то её тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно на этом отрезке, причём S(x) = f(x) в каждой точке [−l, l].

Доказательство. По теореме 6.2 имеет место равенство

146

∞

Этот ряд мажорируется рядом |a20| +X(|an|+|bn|). Для доказатель-

n=1

Обозначим через a′n и b′n коэффициенты Фурье функции f′(x) и установим их связь с коэффициентами an и bn. Применяя интегри-

рование по частям, находим

(Первое слагаемое обращается в нуль за счёт того, что f(−l) = f(l).)

147