Добавил:

fominmal Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2ой семестр / Математика / Теория / Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.07.2023

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

H		R		R	R		H
имеем	f(z)dz +		f(z)dz +	f(z)dz +		f(z)dz − f(z)dz+
C		AB	R	BME	ED		C2
R		R	R	f(z)dz = 0.
+ f(z)dz +		f(z)dz +		f(z)dz = 0.
DE		ENB	BA
				Так как		R
				R		R
				f(z)dz +		f(z)dz = 0,
				AB		BA
				R		R	f(z)dz = 0,
				f(z)dz +			f(z)dz = 0,
				ED		DE	R
				R			R
				а	f(z)dz +		f(z)dz =
				BME			ENB
				то	H
				= −	f(z)dz,
	H		H	H	C1
	H		H	H
		f(z)dz − f(z)dz − f(z)dz = 0.
	C	H	C1	C2
	H	H		H
Отсюда	f(z)dz =		f(z)dz +	f(z)dz. Теорема доказана.
	C	C1		C2

2.3. Интегральная формула Коши

В этом разделе будет установлена формула, показывающая, что значение аналитической функции в области D полностью определя-

ется её значениями на границе области.

Теорема 2.8. Пусть область D ограничена кусочно-гладким контуром C. Если функция f(z) аналитична в D и на контуре C, то

имеет место формула

f(z) =	1	CI	f(t)dt	,	(2.6)

	2πi		t − z

где z любая точка внутри области D. Формулу (2.6) называют

интегральной формулой Коши.


Доказательство. Вычислим интеграл I = CI	dt
		. Если точка z
	t − z
1				в этом
лежит вне контура C, то I = 0, так как функция f(t) =
			t − z
случае аналитична в области, ограниченной контуром C.				Пусть

z D. Рассмотрим окружность

γ : |ξ − z| = ρ с центром в точке

z, которая вместе с ограниченным

ею кругом включена в D. По тео-

реме Коши для двухсвязной обла-

сти находим CI

Iγ

t − z

но как нами показано ранее (см.

пример 2.3)

Iγ

= 2πi, поэто-

t − z

му

= 1. Следовательно,

2πi

t − z

f(z) = f(z) · 1 = f(z) ·

f(z)

t z

2πi

t z

если z лежит внутри C.

−

Рассмотрим функцию ϕ(t) =	f(t) − f(z)	, аналитичную внутри
	t − z

контура C и на нём, за исключением точки z. Но при t → z функция ϕ(t) стремится к f′(z). Доопределим ϕ(t) в точке z равенством ϕ(z) =

′ ¯

= f (z). Теперь функция ϕ(t) непрерывна в D, а потому ограничена, т.е. |ϕ(t)| < M < ∞.

Если γ окружность радиуса ρ с центром в точке z, целиком лежащая внутри C, то функция ϕ(t) аналитична в двухсвязной области между контурами C и γ. По теореме Коши для многосвязной

области C ϕ(t)dt = γ ϕ(t)dt, причём			γ ϕ(t)dt		< 2πρM.
H	H
H	H		H
	γ
	H	ϕ(t)dt не		зависит от величины ρ, так
Величина интеграла I =		ϕ(t)dt не

как она равна ϕ(t)dt, но при ρ → 0 и I → 0. Это возможно лишь

		C	H					H
в случае, когдаH I =			H					H
в случае, когдаH I =			ϕ(t)dt = 0. Следовательно,					ϕ(t)dt = 0, т.е.
			γ					C
CI	f(t) − f(z)	dt = 0. Так как интеграл					f(z)dt	= 2πif(z) суще-
		dt = 0. Так как интеграл						= 2πif(z) суще-
	t − z				CI		t − z
					t)dt
ствует, то существует и интеграл				CI	f(	, и при этом имеет место
ствует, то существует и интеграл				CI	t − z	, и при этом имеет место

, где z любая точка вне кривой C, называется инте-

	t)dt
равенство этих интегралов, т.е. I	f(	= 2πif(z). Формула (2.6)
равенство этих интегралов, т.е. I	t − z	= 2πif(z). Формула (2.6)

доказана.

Интегральная формула Коши находит применение во многих теоретических вопросах. Её можно применять для вычисления некоторых интегралов по замкнутому контуру.

		3dt
Пример 2.5. Вычислить I = CI		t	, где C любой контур,
Пример 2.5. Вычислить I = CI		t − 2i	, где C любой контур,
содержащий внутри точку 2i.
					3dt		= z32πi
		C		−		2i
Решение. По формуле (2.6) получаем I			tt			2i		z=2i = 16π.

1		I					ezdz
Пример 2.6. Вычислить I =									.
Пример 2.6. Вычислить I =	2πi		(z − 1)(z − 2)(z − 3)						.

|z|=2,5

Решение. Так как 1 < 2,5, 2 < 2,5, 3 > 2,5, то точки z = 1 и z = 2 лежат внутри окружности |z| = 2,5, а точка z = 3 не лежит. Проведём две окружности C1 и C2 с центрами в точках z = 1 и z = 2 соответственно, не имеющих общих точек и не содержащих внутри себя точки z = 3, лежащие внутри окружности |z| = 2,5.

По теореме Коши для многосвязной области и по формуле Коши

I =

CI1

ezdz

CI2

ezdz

2πi

(z − 1)(z − 2)(z − 3)

2πi

(z − 1)(z − 2)(z − 3)

2πi

× I

(z − 1) dz +

(z − 2) dz =

−

2)(z

−

2πi

−

1)(z

−

z=1

z=2 = 0,5e − e2.

−

2)(z

−

1)(z

−

2.4. Производные высших порядков от аналитической функции

Пусть дана некоторая кусочно-гладкая спрямляемая кривая C и на ней задана непрерывная функция f(z). Интеграл вида F (z) =

1 Z f(t)dt

2πi t − z

гралом типа Коши.

Теорема 2.9. Функция F (z), определённая интегралом типа Ко-

ши, аналитична в любой конечной точке z, не лежащей на кривой C. Она обладает производными всех порядков, причём

F (n)(z) =

f(t)dt

(2.7)

2πi

(t − z)n+1

Доказательство. Ограничимся случаем n = 1, т.е. докажем, что

F (z) аналитическая функция и F ′(z) =

f(t)dt

. Для этого

2πi

(t − z)2

оценим разность

f(t)dt

F (z + h) − F (z)

2πi

−

f(t)dt

− h Z

≤

2π

−

f(t

z)2 − h(t

h(t

|| |

≤ 2π Z (t

−

) dt =

h f(t) ds

2π

|t −|z − h||t − z|2

, ds

дифференциал длины дуги кривой.

Обозначим через 2d минимум расстояния между z и точками t

кривой C и будем считать |h| < d. Тогда для всех точек кривой C

имеем |t − z| ≥ 2d, |t − z − h| ≥ ||t − z| − |h|| > 2d − d = d > 0.

Теперь, так как |f(t)| < M < ∞ в силу непрерывности f(t), имеем

· |

длина кривой C. Отсюда следует, что

→

0 при

8πd3

f(t)dt

0, т.е. lim

F (z + h)

F (z)

= F

(z) =

−

2πi CZ

→

h→0

′

(t − z)2

Применяя метод математической индукции, можно доказать

справедливость формулы (2.7)

при любом n.

функ-

Следствие. Любая аналитическая в замкнутой области D

ция f(z) обладает внутри этой области производными всех порядков,

причём эти производные можно представить формулой

	n!		f(t)dt
f(n)(z) =		CI			,			(2.8)
	2πi		(t − z)n+1
где C граница области D.			1			CI	f(t)dt
								стоит част-
Действительно, в формуле Коши f(z) =
				2πi			t − z

ный случай интеграла типа Коши, а потому существование всех

производных и справедливость формулы (2.8) следуют из теоремы 2.9.

Пример 2.7. Вычислить I =

sin 3tdt

2πi

(t − 2)2

|t|=4

Решение. По формуле (2.8) при n = 1, z = 2 находим

I = (sin 3z)′ z=2 = 3 cos 6.

Пример 2.8. Вычислить интеграл

I =

2πi

(t + 2)4

, где C

любой контур,

содержащий внутри точку z =

−

t5dt

· z5

Решение. I =

z=−2 = 40.

2πi

(t + 2)4

dz3

Пример 2.9. Вычислить интеграл I =

sin zdz

2πi

(z − 2)(z − 4)2

|z−1|=6

Решение. Точки z

= 2 и

z =

4 лежат

внутри окружности

|z − 1| = 6. По теореме Коши для многосвязной области можем за-

писать I = 2πi I		(z 4)2			(z − 2) dz + 2πi I		z 2 (z − 4)2			dz,
1			sin z	.	1			sin z	.
	C1		−	.		C2		−	.

где C1 и C2 контуры, лежащие внутри окружности |z − 1| = 6, и содержащие внутри себя точки z = 2 и z = 4 соответственно. В области, ограниченной контуром C1, аналитична функция f1(z) =

sin z

, а контуром

C2 функция f2(z) =

. По формулам

(z − 4)2

z − 2

(2.6) и (2.8) получаем, что

′

sin

sin z

sin 2

4)2

z=2

−

z=4

−

(z 2) cos z

sin z

z=4

−

(z − 2)2

−

sin 2 + 2 cos 4

sin 4

−

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Теория

#
18.07.20233.21 Mб77Ельцов А.А. - Линейная алгебра. Интегралы.pdf
#
18.07.20231.21 Mб92Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf
#
18.07.202331.65 Кб70Что нужно конспектировать во время карантина.jpg