3. Представление функций рядами

В этом разделе мы познакомимся с важнейшими понятиями математического анализа числовыми и функциональными рядами, обобщающими понятие суммы на бесконечное число слагаемых. Ряды дают новый, широко используемый в теоретических и прикладных исследованиях способ описания функциональных зависимостей.

3.1. Числовые ряды

3.1.1. Основные понятия

n=1

называется числовым рядом. Числа a1, a2, . . . , an, . . . называют членами ряда. Функциональную зависимость члена ряда от его

щий член, легко найти значение любого члена ряда, например, для

данного ряда a10 = 111 + 111i .

По заданной последовательности (3.1) построим другую после-

довательность: S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, . . . , Sn = a1 + a2 + · · · + an, . . . Число Sn называется n-й частичной суммой ряда (3.2), а последовательность

S1, S2, . . . , Sn, . . . (3.3)

называется последовательностью частичных сумм этого ряда. Говорят, что ряд сходится и его сумма равна S, если существу-

ет конечный предел последовательности его частичных сумм (3.3),

Если же предел (3.4) не существует или равен ∞, то говорят, что

ряд (3.2) расходится.

Пример 3.1. Исследовать на сходимость числовой ряд

43

Решение. Заметим, что члены ряда (а) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q. Если q = 1, то Sn = 1 + 1 + · · · +

44

3.1.2. Признаки сходимости ряда. Свойства сходящихся рядов

В приближённых вычислениях часто сумму ряда заменяют его частичной суммой. Но при этом за счёт увеличения числа членов можно обеспечить достаточную точность лишь для сходящихся рядов. Поэтому важной является задача о сходимости или расходимости ряда.

∞

X

Пусть дан ряд (3.2): an. Положим an = αn + iβn. По опреде-

задание ряда с комплексными членами равносильно заданию двух рядов:

∞∞

с вещественными членами.

Теорема 3.1. Для того, чтобы ряд (3.2) сходился, необходимо и

достаточно, чтобы сходились ряды (3.5).

Действительно, частичную сумму Sn ряда (3.2) можно представить в виде Sn = σn + iτn, где σn, τn частичные суммы рядов (3.5). Но последовательность {Sn} сходится к числу α + iβ тогда и только

тогда, когда lim σn = α, lim τn = β, т.е. когда сходятся ряды (3.5).

n→∞ n→∞

Как видим, изучение рядов с комплексными членами сводится к исследованию рядов с вещественными членами.

Наиболее общий критерий сходимости ряда следует из критерия Коши сходимости числовых последовательностей (см. теорему 1.4).

Теорема 3.2 (критерий Коши). Для того, чтобы числовой ряд (3.2) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал номер N = N(ε) такой, что неравенство |an+1 + an+2+ + · · · + an+p| < ε имело бы место при любых n > N и любом p ≥ 1.

Действительно, чтобы последовательность {Sn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы |Sn+p−Sn| = |an+1+an+2+· · ·+an+p| < ε.

∞

Пример 3.4. Доказать, что ряд X n1 = 1 + 12 + 13 + · · · расходится

n=1

(этот ряд называют гармоническим).

45

этот ряд расходится. То же самое можно сказать и о гармоническом

является достаточным для расходимости ряда, т.е. если выполнено

Отметим некоторые свойства сходящихся рядов, вытекающие из определения сходимости и свойств числовых последовательностей.

первых m его членов, называется m-м остатком данного ряда.

Свойство 1. Ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится

любой из его остатков, т.е. отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.

Доказательство. Пусть {Sn} последовательность частичных

∞

X

сумм данного ряда an; {σn} последовательность частичных

n=1

сумм его m-го остатка; Am сумма отброшенных членов. Тогда Sn+m = σn + Am. Отсюда следует, что последовательности {Sn+m} и {σn}, а потому ряд и его остаток сходятся или расходятся одновре-

менно.

46

∞∞

n=1

∞

X

иbn соответственно, то αSn + βσn будет n-й частичной сум-

n=1

n=1

сходится и его сумма равна αS + βσ.

Если в доказанном свойстве положить β = 0, то придём к выво-

ду, что все члены сходящегося ряда можно умножить на некоторое число, при этом сходимость не нарушится, а сумма ряда умножится на это число.

Свойство 3 (сочетательное свойство сходящихся рядов). Если ряд

∞

X

an сходится и его сумма равна S, то члены этого ряда можно, не

n=1

переставляя, объединять в одно слагаемое произвольным образом, причём сумма полученного ряда также будет равна S.

Доказательство. Объединяя некоторые члены ряда в группы,

получим новый ряд

Последовательность частичных сумм Sn′ ряда (3.8) будет некото-

рой подпоследовательностью последовательности частичных сумм Sn исходного ряда. Но, если последовательность сходится, то и лю-

бая её подпоследовательность тоже сходится, и к тому же числу. Следовательно, ряд (3.8) сходится к S.

Свойство конечных сумм от перемены мест слагаемых сумма не изменится для рядов, т.е. для бесконечного числа слагаемых, в общем случае не выполняется. Покажем это на примере.

47