Добавил:

fominmal Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2ой семестр / Математика / Теория / Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.07.2023

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4724 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

4.2. Вычеты

4.2.1. Вычет относительно конечной точки

Если в точке z0 функция f(z) аналитична, то f(z)dz = 0, где

C любой замкнутый кусочно-гладкий контур в области D аналитичности f(z). Пусть z0 изолированная особая точка; C1 и C2 два любых контура, содержащих внутри точку z0 и не содержащих

других особых точек. По теореме Коши для многосвязной области

f(z)dz = f(z)dz. (Напомним, что направление обхода замкну-

тых контуров принято против часовой стрелки.) Таким образом, значение интеграла от f(z) не зависит от выбора контура, а зависит только от характера точки z0. Это даёт основание для следующего

определения.

Определение. Вычетом функции f(z) относительно z0 называется интеграл 21πi I f(z)dz, если выполняются следующие условия:

1) точка z0 лежит внутри контура C; 2) контур C не содержит внутри себя особых точек, отличных от z0; 3) на контуре C нет особых точек.

Обозначают Res[f(z); z = z0] = 21πi I f(z)dz.

Если z0 правильная точка, то, очевидно, Res[f(z); z = z0] = 0.

Теорема 4.7. Вычет Res[f(z); z = z0] равен коэффициенту a−1 разложения функции f(z) в ряд Лорана в проколотой окрестности

0 < |z − z0| < R точки z0.

							∞
							X	an(z−z0)n,
Действительно, ранее получено, что если f(z) =								an(z−z0)n,
1		CI	f(t)dt				n=−∞
1			f(t)dt
то an =						, где C любой контур в 0 < \|z − z0\| < R.
то an =	2πi		(t − z0)n+1			, где C любой контур в 0 < \|z − z0\| < R.
Видим, что
			1		CI		f(t)dt = Res[f(z); z = z0].	(4.7)
			a−1 =
			a−1 =	2πi

Отсюда следует, что вычет относительно устранимой конечной особой точки равен нулю.

; z = 1 .

Пример 4.6. Найти Res z exp

1 − z

Решение. Можем записать

+ exp − z − 1

z exp − z − 1

= (z − 1) exp − z − 1

= (z − 1) 1 − z − 1

+ 2(z − 1)2

− 6(z − 1)3 + · · · +

+ 1 − z − 1

+ 2(z − 1)2 − · · · .

Следовательно, a−1 =

− 1 = −

, а потому и

Res z exp

1 − z ; z = 1 = − 2 .

1 + z8

Res

Пример 4.7. Найти

; z = 0 .

z6(2 + z)

Решение. Так как

1 + z8

= z2 +

z6(2 + z)

1 + z/2

= z2 +

· 1 −

−

+ · · ·

в области 0 < |z| < 2, то a−1 = Res

1 + z8

; z = 0 = −

z6(2 + z)

4.2.2. Формулы для вычисления вычетов

относительно полюса

В случае полюсов, наряду с формулой (4.7), существуют для вы-

числения вычетов и другие формулы. Получим их.

a−1

Пусть точка z0 простой полюс для f(z). Тогда f(z) =

∞

z − z0

− z0)n.

Отсюда

находим

a−1 = Res[f(z); z = z0] =

an(z

n=0

lim (z

−

)f(z). Таким

образом,

если

простой

полюс,

z→z0

то справедлива формула

Res[f(z); z =

lim (z

−

)f(z).

(4.8)

z0] = z→z0

ϕ(z)

Рассмотрим

частный случай,

когда

f(z) =

где

ϕ(z) и

ψ(z)

ψ(z) аналитические функции в z0, причём ϕ(z0) =6 0, ψ(z0) = = 0, ψ′(z0) 6= 0, т.е. для ψ(z) точка z0 является простым нулём,

а для f(z) простым полюсом. Применяя формулу (4.8), находим

Res[f(z); z = z

] =

lim (z

−

)

ϕ(z)

= lim

ϕ(z)

ϕ(z0)

ψ(z) − ψ(z0)

z→z0

ψ(z)

z→z0

ψ′(z0)

т.е. Res

ϕ(z)

ϕ(z0)

(z − z0)

; z = z0

, если ψ(z0) = 0, ψ′(z0) 6= 0, ϕ(z0) 6= 0.

ψ(z)

ψ′(z0)

Если z0 m-кратный полюс для f(z), то f(z) =

a−m

−m+1

−1

(z − z0)m

+ · · · +

+ a0 + a1(z − z0) + · · ·, (z − z0)

f(z) =

(z − z0)m−1

z − z0

= a−m + a−m+1(z − z0) + · · · + a−1(z − z0)m−1 + a0(z − z0)m + · · ·. Дифференцируя это соотношение (m − 1) раз и переходя к пределу

при z → z0, получаем

dm−1

(4.9)

Res[f(z); z = z

] =

lim

(z).

dzm−1 (z − z0)

(m − 1)! z→z0

sin 2z

Пример 4.8. Найти

Res

; z = 3 .

(z − 3)4

Решение. Применяя формулу (4.9), находим

sin 2z

−

Res (z − 3)4 ; z = 3 =

3! z→3 dz3

6 z→3

lim

sin 2z =

lim(

8 cos 2z) =

cos 6.

= −

4.2.3. Вычет относительно ∞

Пусть ∞ изолированная особая точка. Вычетом в ∞ функции

f(z) называется величина	Res[f(z); z = ∞] = −	1	I	f(z)dz, где

		2πi

некоторый контур, во внешности которого нет конечных особых точек функции f(z).

Если ряд Лорана функции f(z) в окрестности ∞ имеет вид f(z) =

+∞

X anzn, то Res[f(z); z = ∞] = −a−1.

n=−∞

a−1

Если

∞ устранимая особая

точка, то f(z) =

a0 +

a−2

+ · · ·, |z| > R. Дифференцируя этот ряд, получим f′(z) =

a−1

−

2a−2

− · · ·, |z| > R. Отсюда

= −

Res[f(z); z =

∞

] =

lim z2f′(z).

(4.10)

→∞

Видим, что в бесконечно удалённой точке вычет может не равняться нулю и в случае, когда эта точка устранимая особая. В конечной же устранимой особой точке, как мы видели ранее, вычет всегда равен нулю.

Если

∞

m-кратный полюс, то в некоторой

области z

> R

−1

−2

имеет место f(z) = amz

+am−1z

−

+· · ·+a1z+a0

+· · ·.

Дифференцируя m + 1 раз, получаем

f(m+1)(z) =

(−1)m+1(m + 1)!a−1

−

(−1)m+1(m + 2)!a−2

· · ·

zm+2

zm+3

где дальнейшие слагаемые имеют в знаменателях степени z выше (m + 3). Следовательно,

Res[f(z); z =	∞	] =	a	−1	=	(−1)m	lim	zm+2f(m+1)(z) . (4.11)
	∞		−	−1		(m + 1)! z→∞ h		i

Формулы (4.10) и (4.11) получены М.Р. Куваевым.

Вычисление вычета в ∞ можно свести к вычислению вычета в нуле, если сделать замену z = 1t . В результате получим

; t = 0 .

Res[f(z); z = ∞] = −Res f

Пример 4.9. Найти

Res

; z = ∞ .

z + 2

Решение. Так как

1 −

+ · · · , |z|

> 2,

= z

−

z + 2

то −a−1 = Res

; z = ∞

= −4. По формуле (4.11) получа-

z + 2

lim z3

′′

4 lim

ем Res z + 2 ; z = ∞

−

= − 2 z→∞

z + 2

z→∞ (z + 2)3

= −4. (В данном случае ∞ является простым полюсом, т.е. m = 1.)

Пример 4.10. Найти Res		2 1/z		; z = ∞ .
		z e
		2z2 + 3z + 1
Решение. Так как zlim	z2e1/z			1	, то точка z = ∞ является
			=
	2z2	+ 3z + 1		2
→∞

устранимой особой. По формуле (4.10) получаем

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4724 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Теория

#
18.07.20233.21 Mб77Ельцов А.А. - Линейная алгебра. Интегралы.pdf
#
18.07.20231.21 Mб92Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf
#
18.07.202331.65 Кб70Что нужно конспектировать во время карантина.jpg