Добавил:

fominmal Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2ой семестр / Математика / Теория / Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.07.2023

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4727 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

5.1.2. Дифференцируемость. Формула Лейбница

Теорема 5.2 (о дифференцировании по параметру под знаком интеграла). Если функции f(x, y) и fy′ (x, y) непрерывны в прямоуголь-

нике П:{a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, то функция I(y) = f(x, y)dx диф-

ференцируема на [c, d] и при этом справедлива формула Лейбница

dI	=	d	Z	f(x, y)dx = Z	fy′ (x, y)dx.	(5.4)

dy		dy
			a	a

Доказательство. Надо показать, что

I(y + y) − I(y)

(y) =

lim

f′ (x, y)dx.

′

y→0

I(y + y) − I(y)

f(x, y + y) − f(x, y)

Находим

dx. По фор-

f(x, y) = f′ (x, y+

муле Лагранжа можно записать f(x, y +

−

+Θ

y, где 0

≤

1. Следовательно,

I(y + y) − I(y)

f′ (x, y + Θ

I′(y)

f′

y)dx,

т.е.

= lim

(x, y + Θ

y)dx. Так

y→0 a

какR

функция f′ (x, y + Θ

y) непрерывна

Rв П, то можно перейти

к пределу под знаком интеграла согласно следствию из теоремы

′	b	′
′	R	′	y)
5.1. Получаем I	(y) =	lim fy(x, y + Θ	y)	dx, следовательно,
	a	y→0

I′(y) = R fy′ (x, y)dx. Теорема доказана.

Если имеет место формула (5.4), то говорят, что возможно дифференцирование по параметру под знаком интеграла. Формула (5.4) позволяет упростить вычисление некоторых интегралов.

Пример 5.2. Применяя дифференцирование по параметру, вычис-

	1	1	1
	R
лить интеграл I(m) = xm ln3 xdx, m > 0.
	0
Решение. Имеем I(m) =		xmdx =		. Дифференцируя три-

		0	m + 1
жды этот интеграл по	параметру m, на основании теоремы 5.2 по-
		R

108

лучаем

xm ln xdx = −

xm(ln x)2dx =

(m + 1)2

(m + 1)3

(ln x) dx = −

(m + 1)4

y cos x)dx

Пример 5.3. Найти I(y) = Z0

ln(1 +

, |y| < 1.

cos x

Решение. Подынтегральная

функция

f(x, y) =

ln(1 + y cos x)

cos x

устранимый

разрыв

точках

, y

так

как

имеет

ln(1 + y cos x)

lim

= y0. Этот разрыв можно устранить, по-

cos x

y→y0,x→π/2

fy′ (x, y0) в

лагая f

, y

= y. Значение производной

точке

, y

определим

из

условия

fy′

2 , y0

= y→y0

,x→π/2 1 + y cos x

lim

fy′ (x, y)

После

такого

доопределения

функции f(x, y)

будут

непрерывными в прямоугольнике {0 ≤ x ≤ π, −1 + ε ≤ y ≤ 1 − ε},

0 < ε < 1. Применяя формулу (5.4), получим I′(y) = Z0	dx
		.
	1 + y cos x

Для вычисления интеграла I′(y) применим теорию вычетов (см. 4.3.2). Если y = 0, то I′(0) = π. Пусть y =6 0. Положив z = eix,

−idz

получим I

(y) =

2 Z

′

1 + y cos x

z 1 + y

z +

2 ·

−π

|z|=1

"yz2

+ 2z + y

− y

= 2πRes

; z =

1 − y2

2π

z=− y + √

2yz + 2

y y

1 y2

1−

−

I(y) = π Z

Отсюда, интегрируя

по

находим

1 − y2

+c = π arcsin y + c. Так как I(0) = 0, то c = 0, следовательно,

I(y) = π arcsin y.

Рассмотрим случай, когда пределы интегрирования также зависят от параметра y. Пусть функция f(x, y) определена на замкну-

109

том множестве D : {a(y) ≤ x ≤ b(y), c ≤ y ≤ d}, причём кривые x = a(y) и x = b(y) не выходят за пределы прямоугольника П:{a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, и интегрируема по x на отрезке [a(y), b(y)] при любом фиксированном значении y из [c, d]. Тогда на сегменте

	b(y)
[c, d] определена функция I(y) =	R	f(x, y)dx. Функция I(y) пред-

a(y)

ставлена интегралом, зависящим от параметра, пределы интегрирования которого также зависят от параметра y.

Теорема 5.3. Если функции f(x, y) и fy′ (x, y) непрерывны в прямоугольнике П, а функции a(y) и b(y) дифференцируемы на [c, d] и удовлетворяют условию a ≤ a(y) ≤ b, a ≤ b(y) ≤ b при c ≤ y ≤ d, то

b(y)

функция I(y) = f(x, y)dx дифференцируема на [c, d] и при этом

a(y)

	b(y)
I′(y) =	Z	fy′	(x, y)dx + f[b(y), y]	db	da			(5.5)
					− f[a(y), y]		.
				dy		dy

a(y)

Доказательство. Функцию I(y) можно считать сложной функцией от y : I(y) = Φ[y, a(y), b(y)]. Дифференцируя эту функцию по

правилу дифференцирования сложной функции от нескольких аргументов, получаем

∂I

∂Φ

∂b

(5.6)

∂y

∂a

∂y

По теореме 5.2

b(y)

∂Φ

fy′ (x, y)dx.

(5.7)

∂y

a(y)

По правилу дифференцирования интеграла по верхнему пределу

∂Φ		= −f[a(y), y],	(5.8)

∂a
	∂Φ	= f[b(y), y].	(5.9)
	∂b

Внося (5.7), (5.8), (5.9) в (5.6), получаем (5.5). Теорема доказана.

cos y √

Пример 5.4. Найти I′(y), если I(y) = e 1−x2ydx.

sin y

Решение. По формуле (5.5)

cos y ey√

√

ey√

sin y ey√

cos y.

1−cos2 y

1−sin2 y

I′(y) =

1−x2

−

sin y

110

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4727 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Теория

#
18.07.20233.21 Mб77Ельцов А.А. - Линейная алгебра. Интегралы.pdf
#
18.07.20231.21 Mб92Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf
#
18.07.202331.65 Кб70Что нужно конспектировать во время карантина.jpg