Добавил:

fominmal Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2ой семестр / Математика / Теория / Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.07.2023

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 4721 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

3.6. Ряды Лорана

Если в точке z0 функция f(z) неаналитична, то для изучения

поведения функции в окрестности этой точки ряды Тейлора не применимы. В этом подразделе мы рассмотрим обобщения степенных рядов, когда допускаются не только целые положительные степени, но и целые отрицательные. Такие ряды применяются для изучения функций в окрестности её точек неаналитичности.

3.6.1. Строение области сходимости ряда Лорана.
Теорема о представимости функции рядом Лорана
Ряд вида	∞
	∞
X
	an(z − z0)n	(3.64)
n=−∞
называется рядом Лорана.
По определению будем считать, что		∞
∞	−1	∞
X	X	X
an(z − z0)n =	an(z − z0)n +	an(z − z0)n.
n=−∞	n=−∞	n=0
∞
X

Ряд an(z − z0)n называют правильной частью ряда Лорана. Его

n=0

областью сходимости является круг |z − z0| < R (включая случаи

R = 0, R = ∞).

		−1
		X
Рассмотрим ряд			an(z − z0)n или
		n=−∞
			∞
			X
			a−n(z − z0)−n,	(3.65)
			n=1
называемый главной			частью ряда Лорана.	Если обозначить
1		, то (3.65) принимает вид
z − z0 =
z − z0 =	t
			∞
			X
			a−ntn.	(3.66)

n=1

Ряд (3.66) относительно t сходится в некотором круге |t| < r′. Тогда

ряд (3.65) сходится в области \|z − z0\| >	1	. Пусть	1	= r. Если

	r′		r′

r > R, то ряд (3.64) является расходящимся всюду, если же r < R, то областью сходимости является кольцо r < |z − z0| < R с центром в точке z0. Случаи r = 0 и R = ∞ не исключаются.

Из теоремы об аналитичности суммы функционального ряда (см. теорему 3.23) и теоремы Абеля (теорема 3.26) следует справедливость утверждения: “Сумма ряда (3.64) аналитична в кольце r < |z − z0| < R его сходимости”.

Далее будем решать задачу, в некотором смысле обратную этому утверждению. Если функция аналитична в кольце, то возникает вопрос о возможности представимости её в виде суммы ряда Лорана.

Теорема 3.36. Всякая функция, аналитическая в кольце

		r < \|z − z0\| < R,			(3.67)
может быть представлена в этом кольце в					виде суммы f(z) =
∞		1		f(t)dt	; Cρ любая окруж-
= n=		an(z − z0)n, где an = 2πi I		(t − z0)n+1	; Cρ любая окруж-
X
	−∞		Cρ

ность с центром в точке z0, лежащая в кольце (3.67). Доказательство. Пусть z любая точка, лежащая в кольце

(3.67). Точку z зафиксируем. Проведём окружности C′ и C′′ с центром в точке z0 в кольце (3.67) так, чтобы точка z оказалась между ними. Символом γ обозначим окружность с центром в точке z, целиком лежащую в кольце C′ − C′′. К функции

ϕ(t) = tf−(t)z , аналитичной в трёхсвяз-

ной области, ограниченной контурами C′, C′′, γ, применим интеграль-

ную теорему Коши для многосвязной области:

1		f(t )dt	1		1		)dt	2		1		f(t )dt	3
	CI′	1		=		CI′′	f(t2		+		Iγ	3		.	(3.68)
2πi		t1 − z			2πi		t2 − z			2πi		t3 − z

Функция f(z) аналитична внутри контура γ, поэтому по интеграль-

)dt

ной формуле Коши

Iγ

f(t3 3

= f(z). Из (3.68)

получаем

2πi

t3 − z

f(t )dt

)dt

f(z) =

CI′

−

CI′′

f(t2

(3.69)

2πi

t1 − z

2πi

t2 − z

Дробь

разложим по степеням (z − z0).

t1 − z

(t1 − z0) − (z − z0)

На C′ справедливо соотношение

z − c0

= q1 < r1 < 1, поэтому

t1 − z0

z0)

−

∞

−

(3.70)

z z0

n+1

t1 z

t1 z0

n=0 (t1

z0)

− t1 − z0

тельно

−

На C′′ справедливо соотношение

2 −

= q2 < r2

< 1, следова-

z z0

· 1

−

t2 − z

(t2 − z0) − (z − z0)

z − z0

t2 − z0

− z − z0

∞

(t2 − z0)n−1

(3.71)

−

z0)n

− n=1

Ряды (3.70) и

(3.71)

равномерно

сходятся

на

соответствующих

∞

= r1n и

окружностях, так как они можорируются рядами

n=1

r2 . Поэтому возможно их почленное интегрирование.

Внесём (3.70) и (3.71) в (3.69) и выполним почленное интегриро-

	1			∞	(z		z0)n	# dt1+
вание. Получим f(z) =		I′	f(t1)	"n=0			−
вание. Получим f(z) =	2πi	I′	f(t1)	"n=0	(t1		z0)n+1
		C		X		−


	1			∞ (t2		z0)n−1			1 ∞
+		I′′	f(t2)	"n=1	−		z0)n	# dt2 =
+	2πi	I′′	f(t2)	"n=1	(z		z0)n	# dt2 =	2πi n=0
		C		X		−				X
×(z − z0)n + 2πi n=1						I′′	f(t2)(t2 − z0)n−1dt2
				1 ∞
				X C

If(t1)dt1

(t1 − z0)n+1 ×

C′

(z − z0)n .

Обозначим
1		CI′	f(t )dt1		1	CI′′
			1	= an,			f(t2)(t2 − z0)n−1dt2 = a−n.	(3.72)
	2πi		(t1 − z0)n+1	= an,	2πi		f(t2)(t2 − z0)n−1dt2 = a−n.	(3.72)

По теореме Коши для многосвязной области вместо окружностей C′ и C′′ в (3.72) можно взять любую окружность с центром в точке z0, лежащую между C′ и C′′. Формулы (3.72) можно объединить в

одну и записать an =		1	I	f(t)dt	, n = 0, ±1, ±2, . . .. Теперь

		2πi		(t − z0)n+1
	∞
	X
f(z) =	an(z − z0)n. Теорема доказана.

n=−∞

Теорема 3.37 (единственности). Если ряд

				∞
				X
				an(z − z0)n,	(3.73)
			n=−∞
сходится к функции f(z) в кольце
	1	I	f(t)dt	r < \|z − z0\| < R,	(3.74)
то an =	1		f(t)dt	, где - любая окружность с центром z0,

	2πi		(t − z0)n+1

лежащая в этом кольце.

Доказательство. Ряд (3.73) сходится равномерно в любой за-

мкнутой области, принадлежащей кольцу (3.74), следовательно, функция f(z) аналитическая. Пусть окружность |z − z0| = ρ,

f(t)

∞

r < ρ < R. Тогда ряд

an(t − z0)n−m−1 сходится

(t − z0)m+1

= n=

−∞

равномерно на , а потому его можно интегрировать почленно:

f(t)dt

∞

an I (t − z0)n−m−1dt.

(3.75)

2πi

(t − z0)m+1

= 2πi n=

−∞

Ранее нами показано (см. примеры 2.2 и 2.3), что

1 =6 −−1.

(t − z0)n−m−1dt =

2πi,

если n −− m −−

если

1 =

|t−z0|=ρ

Учитывая

это

замечание,

из

(3.75)

получаем

f(t)dt

Отсюда и из

теоремы

(3.36) следует,

что

2πi

(t − z0)m+1

f(z) разлагается в ряд Лорана единственным образом. Теорема

доказана.

3.6.2. Разложение функций в ряд Лорана в окрестности ∞

Мы будем говорить, что функция f(z) аналитична в окрестности ∞, если она аналитична в области |z| > R.

Если функция f(z) разложена в ряд Лорана по степеням z

−1	∞
X	X
f(z) =	anzn + anzn,	(3.76)
n=−∞	n=0

сходящийся к ней в кольце R < |z| < ∞, то мы будем говорить, что функция разложена в ряд Лорана в окрестности ∞.

−1	∞	a	−n
X	X
Ряд	anzn =			называют правильной частью ряда
n=−∞	n=1	zn
n=−∞	n=1

(3.76). При z → ∞ члены его стремятся к нулю.

∞

Ряд anzn называется главной частью ряда Лорана в окрест-

n=0

ности ∞

Пример 3.34. Дана функция f(z) =

. Разложить

(2 − z)(z + 3)

функцию f(z) в ряд Лорана в областях: а) D1 : |z| < 2;

б) D2 : 2 < |z| < 3; в) D3 : |z| > 3.

Решение. а) Находим

. В об-

(2 − z)(z + 3)

5(2 − z)

5(z + 3)

ласти D1:

∞

(а)

−

z =

2(1

−

z/2) =

2n+1 .

При |z| < 3 получаем

n=0

∞

(−1)

(б)

−

3n+1

3 + z

3[1

(

z/3)]

n=0

Таким образом, в D1 имеет место

∞

n=0

+ (−1)n

zn.

−

z)(3 + z)

2n+1

3n+1

В D1 функция f(z) представлена в виде суммы ряда Тейлора.

б) В области D2 разложение (а) не имеет места, разложение (б)

сохраняется. В D2 можем записать

∞

2n−1

(в)

−

zn .

z = z(1 −

2/z) = −

В D2 имеем разложение

n=1

∞

1 ∞ 2n−1

n zn

−

z)(3 + z)

= 5

(−1)

zn .

n=0

3n+1 − 5

n=1

в) В области D3

не сохраняется разложение (б), так как в ней

∞

n 3n−1

|z| > 3. В этой области z + 3 =

z[1

−

(

−

(−1) zn . Раз-

3/z)] =

n=1

ложение (в) сохраняется. В D3

(−1)n+13n−1 − 2n−1 .

= 1

∞

−

z)(3 + z)

n=1

В последнем случае имеем разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности ∞.

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 4721 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Теория

#
18.07.20233.21 Mб77Ельцов А.А. - Линейная алгебра. Интегралы.pdf
#
18.07.20231.21 Mб92Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf
#
18.07.202331.65 Кб70Что нужно конспектировать во время карантина.jpg