Доказательство. В силу ограниченности ϕ(z) в области D выполняется неравенство |ϕ(z)| ≤ M, M =6 ∞, M =6 0.

Пусть ε > 0 произвольно. Так как ряд (3.28) сходится равно-

3.2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов

Теорема 3.20 (о переходе к пределу под знаком суммы). Пусть

∞

X

функциональный ряд fn(z) сходится равномерно в области D к

n=1

функции S(z), и точка z0 предельная для области D, причём суще-

X

равный сумме ряда cm. Другими словами,

m=1

∞∞

XX

Теорему примем без доказательства. Если имеет место (3.35), то говорят, что возможен предельный переход под знаком суммы.

стве D и ряд в D сходится равномерно, то его сумма S(z) непрерывна в D.

Доказательство. Пусть точки z и z + h принадлежат D. Имеем S(z) = Sn(z) + rn(z), где Sn(z) частичная сумма данного ряда,

rn(z) его остаток. Тогда S(z + h) = Sn(z + h) + rn(z + h). Поэтому

S(z + h) − S(z) = Sn(z + h) − Sn(z) + rn(z + h) − rn(z). Отсюда по

свойству модуля суммы получаем

|S(z + h) − S(z)| ≤ |Sn(z + h) − Sn(z)| + |rn(z + h)| + |rn(z)|. (3.36)

66

Так как данный ряд сходится равномерно, то для любого ε > 0 найдётся N такое, что сразу для всех точек z из D при n > N будут

выполняться неравенства

В неравенствах (3.37) n зафиксируем. Функция Sn(z) как сумма ко-

Внося (3.37) и (3.38) в (3.36), получаем |S(z + h) − S(z)| < ε при |h| < δ. Это и означает непрерывность функции S(z).

Теорема 3.22 (о почленном интегрировании ряда). Если члены

∞

X

ряда fn(z) непрерывны на некоторой дуге L и ряд на L сходится

n=1

равномерно к S(z), то ряд можно почленно интегрировать вдоль этой

Ln=1 L

Доказательство. Из теоремы 3.21 следует, что функция S(z) непрерывна. Этим обеспечивается существование интеграла

R

S(z)dz. Через σn обозначим частичную сумму ряда (3.39). Тогда

Так как данный ряд на L сходится равномерно, то для любого ε > 0 можно выбрать N столь большим, что при любом z L и n > N выполняется |rn(z)| < ε. Следовательно,

R R

S(z)dz − σn < |rn(z)|ds < εl,

67

Теорема 3.23 (об аналитичности суммы ряда). Если члены ряда

∞

X

(3.28): fn(z) являются аналитическими в области D функциями

n=1

и ряд в этой области сходится равномерно, то его сумма S(z) в D

является функцией аналитической.

Доказательство. Пусть z любая точка области D. Построим круг |t − z| ≤ ρ столь малого радиуса ρ, чтобы он целиком лежал в D. Через γ обозначим границу этого круга. Тогда

n=1

номерно сходится на γ, а поскольку |t − z| = ρ, то по теореме 3.19 равномерно сходится на γ и ряд (3.40). На основании теоремы 3.22

Непрерывность S(z) следует из равномерной сходимости ряда (3.28). Следовательно, функция S(z) представлена интегралом типа

Коши, а потому является аналитической (см. теорему 2.9). Теорема доказана.

Теорема 3.24 (о почленном дифференцировании ряда). Если чле-

∞

X

ны ряда fn(z) являются аналитическими в области D функция-

n=1

ми и ряд в D сходится равномерно к S(z), то этот ряд в D можно

дифференцировать почленно любое число раз, т.е.

∞

X

S(m)(z) = fn(m)(z).

n=1

68