доказана. По признаку Вейерштрасса ряд (6.33) сходится на [−l, l]

равномерно. Теорема доказана.

Заметим, что если функцию f(x), удовлетворяющую теореме 6.5, продолжить на всю числовую ось с периодом 2l, то получится непре-

рывная на всей оси функция. Если функция периодическая периода 2l непрерывна на всей числовой оси, то, очевидно, для неё выполняется условие f(−l) = f(l). Функцию назовём кусочно-гладкой на всей числовой оси, если она является кусочно-гладкой на каждой ко-

нечной её части. Теорему 6.5 можно несколько переформулировать. Если периодическая функция f(x) с периодом 2l непрерывна и

кусочно-гладкая на всей числовой оси, то её тригонометрический ряд Фурье сходится к ней равномерно на всей числовой оси.

6.3.6. Скорость сходимости тригонометрического ряда Фурье

Теорема 6.6. Если периодическая функция f(x) с периодом 2l

является непрерывной на всей числовой оси вместе со своими производными до m-го порядка включительно (m ≥ 0), а (m + 1)-я

производная кусочно-непрерывна, то порядок малости относительно n1 при n → ∞ коэффициентов Фурье an и bn этой функции по

тригонометрической системе не ниже m + 1, т.е. lim annm+1 = 0,

n→∞

сходятся. Отметим, что для m = 0 теорема уже доказана в про-

цессе доказательства теоремы 6.5. В общем случае доказательство опустим.

Как видим, скорость сходимости тригонометрического ряда Фурье зависит от степени гладкости функции.

Теперь мы можем ответить на вопрос о почленном дифференцировании тригонометрических рядов. В соответствии с теоремой 3.25 для почленного дифференцирования ряда достаточно, чтобы выполнялись условия теоремы 6.6 при m = 1.

6.3.7. Комплексная форма ряда Фурье

Для интегрируемых комплексных функций одного вещественного аргумента вводят понятие скалярного произведения следующим образом. Пусть даны две функции:

148

была числом вещественным. Функции ϕ1(x) и ϕ2(x) называются ортогональными на [a, b], если (ϕ1, ϕ2) = 0.

−l

гональна на (−l, l), а квадрат нормы каждой её функции равен 2l.

Следовательно,

−l

Покажем, что ряд (6.36), коэффициенты которого вычислены по формулам (6.37), есть ряд Фурье функции f(x) по основной

149

тригонометрической системе. Действительно, из (6.37) находим

Мы пришли к тригонометрическому ряду Фурье. Если совершить преобразования в обратном порядке, то мы от тригонометрического ряда Фурье перейдём к ряду (6.36). Следовательно, (6.36) есть другая эквивалентная форма записи тригонометрического ряда Фурье.

Пример 6.4. Представить рядом Фурье в комплексной форме

ложима в ряд Фурье, следовательно, f(x) = − n=−∞ π(2n + 1) e .

150

Если обозначить частоту n-й гармоники через ωn = πnl , то коэффициенты ряда Фурье можно считать функцией от частоты cn =

−l

тральной плотностью функции f(x) (обозначается S(ωn)) на-

−l

Величины S(ωn) комплексны и для них можно найти модуль и ар-

т.е. функцию f(x) можно однозначно восстановить по её спектральной плотности. Функции ρ(ωn) и Φ(ωn) определены только на частотах ω1, ω2, . . . , ωn, . . ., т.е. область их значений дискретна. Графиче-

ски эти функции можно изобразить в виде вертикальных линий в точках ω1, ω2, . . . , ωn, . . . оси ω высотой ρ(ωn) и Φ(ωn).

151