Непосредственно из определения операций ez, cos z, sin z, ch z, sh z

Соотношения (1.13) предлагается доказать в качестве упражнения.

1.3. Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность

1.3.1. Функции комплексного переменного

Пусть дано два множества комплексных чисел D и , и каждому числу z D поставлено в соответствие число w , которое обозначается через f(z). В этом случае говорят, что на множестве D задана функция f со значениями в , и пишут f : D → .

Если z = x + iy, w = u + iv, то w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Таким образом, зависимость f(z) может быть описана двумя функциями: u = u(x, y) = Re f(z), v = v(x, y) = Im f(z) действительных переменных u и v. Функция u(x, y) называется действительной

(вещественной), а v(x, y) мнимой частью f(z). Например, Re ez = = Re ex+iy = ex cos y, Im ez = ex sin y.

Функцию f(z) характеризуют полностью четыре переменных: x, y, u, v. Для геометрической иллюстрации требуется четырёхмерное

пространство. Четырёхмерное пространство не допускает наглядной иллюстрации, поэтому договорились брать два экземпляра комплексных плоскостей XO1Y и UO2V . В первой из них строят точки z = x + iy. Её называют плоскостью (z), а во второй строят точки w = u + iv. Вторую плоскость называют плоскостью (w).

Множество всех чисел z будем обозначать Cz, а всех чисел w Cw. В этих обозначениях можно записать:

f : D Cz → Cw.

Будем говорить, что функция f отображает множество D в . Это отображение называется однолистным, если оно взаимно однознач-

но.

Как видим, задание функции

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) : D Cz → Cw

равносильно заданию отображения ϕ(x, y) : D R2 → R2 вида

Если w0 = f(z0), то точка w0 называется образом точки z0 при отображении w = f(z). Очевидно, что имеется обратное отображение множества в D, т.е. в задана некоторая функция z = ϕ(w),

19

называемая обратной функции w = f(z). Если f(z) в D однолистна, то ϕ(w) также однолистна в .

Рассматривая операции над комплексными числами, мы уже определили следующие функции: w = az + b линейная функция,

Пример 1.10. Найти мнимую и вещественную части функции w = cos z.

=12 e−y(cos x + i sin x) + ey(cos x − i sin x) =

=e−y + ey cos x − i ey − e−y sin x = ch y cos x − i sh y sin x, 2 2

Re cos z = u(x, y) = ch y cos x, Im cos z = v(x, y) = −sh y sin x.

Все формулы для тригонометрических и гиперболических функций, известные для действительных значений аргумента, переносятся и на комплексный случай. Приведём некоторые из них:

= 2 (cos z1 + i sin z1)(cos z2 + i sin z2) + 2 (cos z1 − i sin z1)(cos z2−

−i sin z2) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2.

Пользуясь формулами (1.7) и (1.14), легко находим

sin z = sin(x + iy) = sin x cos iy + cos x sin iy = sin x ch y + i cos x sh y. Следовательно, Re sin z = sin x ch y, Im sin z = cos x sh y.

Например, sin(3 + 4i) = sin 3 ch 4 + i cos 3 sh 4, т.е.

Re sin(3 + 4i) = sin 3 ch 4 ≈ 3,854, Im sin(3 + 4i) = cos 3 sh 4 ≈ −27,017.

Тригонометрические функции комплексного аргумента обладают свойствами, отличными от вещественного случая. Так, например, функции w = sin z и w = cos z не ограничены.

20

1.3.2. Линейные отображения

Отображения вида w = az + b, где a =6 0 и b некоторые комплексные константы, называются линейными. Функция w = az + b осуществляет взаимно однозначное отображение всей плоскости (z) на всю плоскость (w):

1

w = az + b : Cz → Cw, a 6= 0, z = a (w − b) : Cw → Cz. Обозначим a = keiϕ. Линейное отображение сводится к наложе-

нию следующих трёх преобразований:

1)w1 = zeiϕ поворот плоскости на угол ϕ = arg a;

2)w2 = kw1 преобразование с коэффициентом подобия k = |a|;

3)w = w2 + b параллельный перенос плоскости на вектор, соответствующий точке b.

Так как при всех этих преобразованиях прямая отображается в прямую, а окружность в окружность, то линейное отображение обладает свойством сохранения прямых и окружностей. При этом любые два направления, исходящие из любой точки z0 под углом ϕ, отобразятся в направления, исходящие из точки w0 = az0 + b, также под углом ϕ.

1.3.3. Уравнение образа кривой

Пусть в плоскости (z) задана некоторая кривая уравнением y = ϕ(x). Поставим задачу: найти уравнение образа этой кривой при отображении w = f(z).

Находим действительную и мнимую части функции w = f(z):

Зная координаты точки (x0, y0) в плоскости (z), пользуясь формулами (1.15), легко найти координаты u0, v0 точки w0 = f(z0) в плоскости (w): u0 = u(x0, y0), v0 = v(x0, y0). Точки, лежащие на кри-

Соотношения (1.16) представляют собой параметрические уравнения образа кривой при отображении w = f(z). Роль параметра играет переменная x. Если из (1.16) исключить параметр x, то получим искомое уравнение в виде v = v(u).

21

ность с центром в начале координат радиуса e.

1.3.4. Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Как и в случае функций действительной переменной, определение предела функции при z → z0 можно дать двумя способами: на

языке последовательностей и на языке окрестностей.

Определение 1. Число w0 Cw называется пределом функции f : D Cz → Cw, если:

˙

1) во всякой проколотой окрестности Q(z0) есть точки из D (т.е. z0 является предельной точкой для множества D);

2) для всякой последовательности {zn} точек из D, zn 6= z0, из сходимости {zn} к z0 следует сходимость последовательности {f(zn)} к w0.

Пишут lim f(z) = w0.

z→z0

Определение 2. Число w0 Cw называется пределом функции f : D Cz → Cw при z стремящемся к z0, где z0 предельная точка множества D, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любой точки z D, 0 < |z − z0| < δ, выполнено соотношение

|f(z) − w0| < ε.

Используя логические символы, сформулированные условия можно записать в виде:

ε > 0 δ > 0 z D(0 < |z − z0| < δ) → |f(z) − w0| < ε.

Эквивалентность этих двух определений доказывается аналогично действительному случаю.

Аналогично вещественному случаю, можно определить пределы lim f(z) = ∞ и lim f(z) = ∞.

Непосредственным следствием определения предела функции на языке последовательностей и теорем 1.2 и 1.3 являются следующие теоремы.

22