5.5.2. Рекуррентные формулы

Добавил:

fominmal Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2ой семестр / Математика / Теория / Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.07.2023

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4730 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

функцией Бесселя первого рода положительного порядка. Имеем

∞

(−1)m(x/2)2m

(5.24)

m=0 (m + 1) (ν + m + 1)

Если ν отрицательно, но не целое, то аналогично получим

−ν

∞

(−1)m(x/2)2m

(5.25)

−ν

m=0 (m + 1) (−ν + m + 1)

Функция J−ν называется функцией Бесселя первого рода отрицательного порядка. Ряды (5.24) и (5.25) сходятся на всей числовой

оси, но если находиться только в области вещественных чисел, то следует считать x > 0, так как при некоторых значениях ν величина xν мнимая, если x < 0. Функции Jν и J−ν при нецелых

ν линейно независимы, так как	lim J	ν	= 0, а lim J	−ν = ∞. При
	x→0		x→0

нецелых ν общее решение уравнения (5.21) можно записать в виде

yν (x) = c1Jν + c2J−ν . Функции Jn и J−n определим по непрерывности, переходя в (5.24) и (5.25) к пределу при ν → n. При этом

из (5.24) сразу следует Jn =

∞

(−1)m(x/2)n+2m

. Если же

m=0 (m + 1) (n + m + 1)

ν → −n, то учитывая, что

→ 0 при s → 0, −1, . . ., получа-

(s)

ем J

∞

(

−

1)m(x/2)−n+2m

. Заменим индекс суммирова-

−n

(m + 1) (

−

n + m + 1)

m=n

∞

(−1)n+l(x/2)n+2l

ния, положив m = l + n. Тогда J

, т.е.

−n

(l + 1) (l + n + 1)

J−n = (−1) Jn. Функции Jn и J−n являются решениями уравнения Бесселя, но линейно зависимыми. В этом случае, т.е. если ν натурально, вторым частным решением принимают функцию Неймана

Nn(x) = lim	Jν (x) cos πν − J−ν	. Общее решение при ν = n имеет
ν→n	sin πν

вид yn(x) = c1Jn(x) + c2Nn(x). Функции Бесселя можно аналитиче-

ски продолжить на всю комплексную плоскость.

	5.5.2. Рекуррентные формулы
					X
	Мы нашли, что Jν =				∞		(−1)m(x/2)ν+2m	. Следовательно,
	Мы нашли, что Jν =				m=0 (m + 1) (ν + m + 1)			. Следовательно,
Jν =			∞		m=0 (m + 1) (ν + m + 1)
Jν =		1	∞	(−1)m(x/2)2m		. Находим
			X
xν		2ν	m=0	m! (ν + m + 1)
			m=0

123

d Jν =

∞

(−1)m(x/2)2m−1

= 1

∞

(−1)l+1(x/2)2l+1

dx xν

2ν

−

2ν

1)! (ν + m + 1)

l! (ν + l + 2)

∞

m=1

(−1)l(x/2)2l

Jν+1

. Мы получили

− 2ν+1

− xν+1

=0 l! (ν + l + 2)

1 d Jν (x)

= −

Jν+1

(5.26)

x dx

xν

xν+1

Аналогично можно найти

[xν Jν ] = xν−1Jν−1.

(5.27)

d J

xν J′

νxν−1J

J′

νJ

dx xν

x2ν

xν

− xν+1

С другой стороны, имеем

ν −

Jν′

Применяя (5.26), получаем

−

νJν

= −

Jν+1

. Следовательно,

xν

xν+1

xν

Jν′ −

(5.28)

Jν

= −Jν+1.

Из равенства

(xν J

) = νxν−1J

+ xν J′

получаем

J′

= J

(5.29)

ν−1

Из соотношений (5.28) и (5.29) находим

Jν′ =

2ν

(5.30)

(Jν−1

− Jν+1),

Jν = Jν−1 + Jν+1.

Заметим,

что

из

(5.28)

следует

J′ (x) =

−

(x). Пользуясь вто-

рой формулой в (5.30), можно все функции Бесселя целого по-

рядка выразить через J0

и J1. Если положим ν

= n − 1, то

2n − 2

n−1

−

n−2

. Отсюда

= x2 − 1 J1 − x J0 и т.д.

J2 = x J1 − J0,

5.5.3. Функции Бесселя с полуцелым индексом

Положим в (5.24) ν = 1 : J1/2(x) =

∞

(−1)m(x/2)2m+1/2

, но

m! (m + 3/2)

m + 2 = m +

2 m −

m=0

2 =

· · · 2 ·

√

1 · 3 · 5 · · · · · (2m + 1)

2m+1

124

Учитывая, что m!2m[1 · 3 · 5 · · · · · (2m + 1)] = (2m + 1)!, получаем

∞

(−1)mx2m+1

, т.е.

1/2

πx m=0

(2m + 1)!

J1/2(x) = r

sin x.

(5.31)

πx

Полагая в (5.25)

и проводя аналогичные рассуждения, по-

ν = −

лучим

J−1/2(x) = r

cos x.

(5.32)

πx

Выражения для функций Jn+1/2 и J−(n+1/2) можно получить, применяя операции x1 dxd по формулам (5.26) и (5.27) к (5.31) и (5.32).

Как видим, функции Jn+1/2 и J−(n+1/2) являются функциями

элементарными.

5.5.4. Асимптотический порядок цилиндрических функций

Из (5.31) и (5.32) следует, что J1/2(x) → 0, J−1/2(x) → 0 при x → ∞. Это справедливо и для любой цилиндрической функции.

Теорема 5.9. Любая вещественная цилиндрическая функция

представима в виде	√x		∞			x3/2		,
yν (x) = γ∞ ·				)	+ o				(5.33)
	sin(x + δ						1
					означают члены, порядок
где γ∞ 6= 0, δ∞ константы, а o			1

		x3/2

малости которых при x → ∞ не ниже величины x3/2 .

Теорему примем без доказательства.

Первое слагаемое в (5.33) называется главным членом асимпто-

тического разложения цилиндрической функции.

Теорема 5.10. Любая цилиндрическая функция однозначно опре-

деляется главным членом её асимптотического разложения. Доказательство. Предположим, что имеется две различные ци-

линдрические функции y¯ν и yˆν : y¯ν = γ¯∞	¯		)	+ o	x3/2	,
	√x	∞
	sin(x + δ				1

125

yˆν = γˆ∞ sin(		ˆ		)	+ o	x3/2	, причём γ¯∞ = γˆ∞, δ¯∞ = δˆ∞. То-
	√x		∞
	x + δ					1

гда их разность y¯ν − yˆν также цилиндрическая функция, причём

1	, что невозможно.
y¯ν − yˆν = o x3/2

Таким образом, по виду главного члена асимптотического разложения можно проводить классификацию цилиндрических функций.

Без доказательства примем, что

Jν (x) = r

πx

cos x −

ν − 4

+ o x3/2

J−ν (x) = r

πx

cos x +

2 ν −

+ o

x3/2

Цилиндрическую функцию, имеющую главный член асимптоти-


		2				π		π
ческого разложения вида r				sin x −			ν −		, называют функци-
			πx			2		4
ей Неймана и обозначают Nν . О ней мы упоминали в п. 5.5.1. До-
казать, что Nν (x) =	Jν cos πν − J−ν				, можно, используя равенство
	sin πν
	Nν (x) = c1Jν + c2J−ν ,							(5.34)

приводящее к подобному соотношению между главными членами асимптотического разложения, входящими в (5.34) цилиндрических функций, из которого легко определить константы c1 и c2:

	cos πν			1
c1 =		, c2 = −			.
c1 =	sin πν	, c2 = −	sin πν		.
5.5.5. Некоторые интегральные формулы
Соотношение (5.27) можно переписать в виде									d	[xν Jν ] = xν Jν−1.

									dx
Отсюда следует, что				xν Jν−1dx = xν Jν + c. Аналогично, пользу-
				получаем			ν		ν
ясь формулой (5.26),				получаем		x−		Jν+1dx = x− Jν + c. Из первой
ясь формулой (5.26),				R		x−		Jν+1dx = x− Jν + c. Из первой
формулы в (5.30) следует, что						R
				2Jν′ +1 = Jν − Jν+2.						(5.35)

Будем считать, что ν > −1. Тогда, интегрируя (5.35) в пределах от

0до x, получаем

x x

Jν (x)dx =	Jν+2(x)dx + 2Jν+1(x).	(5.36)
0	0

126

(Учтено, что Jν+1(0) = 0 при ν + 1 > 0.) Применим формулу (5.36) m раз последовательно. Найдём

при ν → ∞ Jν (x) → 0,

0 Jν (x)dx = 2(Jν+1 + Jν+3 + · · · + Jν+2m−1) + 0 Jν+2m(x)dx.

Можно доказать, что

следовательно, имеет

место разложение

0 Jν (x)dx = 2(Jν+1 + Jν+3 + · · ·),

причём ряд,

стоящий справа, сходится очень быстро.

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что функция

yn(x) =

ei(x sin ϕ−νϕ)dϕ удовлетворяет уравнению

2π

−π

sin νπ

x2y′′ + xy′

+ (x2 − ν2)y = (x − ν)

ei(x sin ϕ−nϕ)dϕ удо-

Отсюда

следует,

что

функция yn(x) =

2π

−π

влетворяет уравнению Бесселя при ν = n, n = 0, 1, 2, . . ., причём тем же начальным условиям, что и функция Jn(x). По теореме существования и единственности заключаем, что yn = Jn(x), т.е.

	1	π
Jn(x) =	1	Z	ei(x sin ϕ−nϕ)dϕ, или

	2π
		−π			π
				1	π
			Jn(x) =	1	Z0	cos(x sin ϕ − nϕ)dϕ.	(5.37)

				π

Формулой (5.37) функции Бесселя с целым индексом выражены интегралом, зависящим от параметра.

127

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4730 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Теория

#
18.07.20233.21 Mб77Ельцов А.А. - Линейная алгебра. Интегралы.pdf
#
18.07.20231.21 Mб92Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf
#
18.07.202331.65 Кб70Что нужно конспектировать во время карантина.jpg