Добавил:

fominmal Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2ой семестр / Математика / Теория / Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.07.2023

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4740 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

R F (p)eptdp, где интеграл берётся вдоль любой

Приведём формулировку теоремы, содержащей правило восстановления оригинала по его изображению (теорема обращения).

Теорема 8.2. Если функция f(t) является оригиналом, а F (p) его изображение, то в любой точке непрерывности f(t) имеет

1 a+i∞

место f(t) = 2πi a−i∞

прямой Re p = a > s0 и понимается в смысле главного значения, т.е.

1	a+i∞	1	a+bi
	F (p)eptdp =	lim	F (p)eptdp.
	R		R
2πi a−i∞		b→+∞ 2πi a−bi

Из этой теоремы следует, что оригинал определяется своим изображением F (p) полностью с точностью до значений в точках разры-

ва.

В следующей теореме выясняются условия, при которых аналитическая функция может быть изображением некоторого оригинала.

Теорема 8.3. Если функция F (p): 1) аналитична в полуплоскости

Re p ≥ a > s0; 2) lim F (p) = 0 в любой полуплоскости Re p ≥ a > s0

p→∞

		a+i∞
равномерно относительно arg p; 3) интеграл			F (p)dp сходит-
		a−i∞
ся абсолютно, то F (p) является изображением			Rоригинала f(t) =
	1 a+i∞
=		a−Ri∞ F (p)eptdp.
	2πi

8.2. Свойства преобразования Лапласа

Имеются довольно подробные таблицы оригиналов и их изображений. Пользуясь свойствами преобразования Лапласа, эти таблицы можно значительно расширить.

8.2.1. Свойство линейности, теорема подобия

Будем обозначать f(t), g(t), x(t) и т.д. оригиналы, а соответствующими заглавными буквами их изображения: F (p), G(p), X(p) и

т.д. в соответствующих областях, которые мы не указываем.

Из линейности операции интегрирования следует, что если f(t) и g(t) оригиналы, то при любых постоянных α и β функция

αf(t) + βg(t) также оригинал и L[αf(t) + βg(t)] = αF (p) + βG(p).

165

Пример 8.3. Найти L[sin ωt].

Решение. По свойству линейности

[sin ωt] =

eiωt − e−iωt

2i L[eiωt] − 2i L[e−iωt] =

p − iω

− p + iω

p2 + ω2 . Ана-

логично,

L[cos ωt] =

; L[sh ωt] =

;

L[ch ωt] =

p2 + ω2

p2 − ω2

∞

α F

α , α 1 ∞

pτ

Теорема подобия.

[f(αt)] =

> 0.

Действительно, L[f(αt)] =

0 f(αt)e−ptdt=

0 f(τ) exp −

dτ =

8.2.2. Теоремы запаздывания и смещения

Теорема запаздывания: L[f(t − τ)] = e−pτ L[f(t)]. Включение ори-

гинала с запаздыванием на τ приводит к умножению его изображе-
ния на e−pτ .					∞
Действительно,		[f(t		0,	R	t < τ,
	L		−			−

f(t − τ) = f(t − τ), t ≥ τ.

В последнем интеграле сделаем замену t − τ = t1. Тогда L[f(t − τ)] =

∞

= f(t1)e−p(t1+τ)dt1 = e−pτ dt f(t1)e−pt1 dt1 = e−pτ F (p).

RТеорема запаздывания

часто применяется тогда, когда оригинал

на различных участках задаётся различными выражениями.

Пример 8.4. Найти изображение F (p), если

f(t) =

если

t > π.≤

π;

sin t,

если

0 < t

Решение. Имеем f(t) =

η(t) sin t − η(t − π) sin t = η(t) sin t−

−η(t − π) sin(t

− π + π)

η(t) sin t

+ η(t − π) sin(t − π),

e−pπ

1 + e−pπ

L[f(t)] =

1 + p2

Часто встречаются оригиналы, составленные из линейных функций, различных на разных участках. Аналитически такой оригинал

может быть задан в виде f(t) =	kst + bs,	если	τs < t < τs+1,
	0,	если	t < 0,
где τs точки разрыва функции f(t)		или её	производной,

166

s = 1, 2, . . . , n. Точка τ1 = 0 входит в число точек разрыва, если
f(0 + 0) = 0 или f′(0 + 0) = 0. Легко показать, что изображение
	6		6
данного оригинала можно записать в виде суммы
			n		As		B	,
					As		B		(8.3)
		F (p) = s=1 e−pτs p2 +					ps		(8.3)
			X
где константы As и Bs вычисляются по формулам: As = (ks − ks−1)
(k0 = 0, b0 = 0). Bs = (ks − ks−1)τs + (bs − bs−1).
f(t) 6					Пример		8.5. Найти изображение
					оригинала,			заданного графиче-
1,5					ски.
1					Решение. В данном случае τ1 = 0,
1					τ2 = 1, τ3 = 2. Аналитически этот
					τ2 = 1, τ3 = 2. Аналитически этот
			-		оригинал можно задать в виде
			-			(	t,		если 0 ≤ t ≤ 1,
O	1	2	3	t			t,		если 0 ≤ t ≤ 1,
O	1	2	3	t	f(t) =		1,		если 1 < t < 2,
					f(t) =		0,5t,		если t > 2.
Видим, что k0 = b0 = 0, k1 = 1, b1 = 0, k2 = 0, b2 = 1, k3 = 0,5, b3 = 0.
Вычисляя, находим A1 = k1 − k0 = 1, B1 = (k1 − k0)τ1 + (b1 − b0) = 0,
A2 = k2 − k1 = −1, B2 = (k2 − k1)τ2 + (b2 − b1) = 0,									1
A2 = k2 − k1 = −1, B2 = (k2 − k1)τ2 + (b2 − b1) = 0,									A3 = k3 − k2 = 2 ,
1	· τ3 + (b3 − b2) = 1 − 1 = 0. По формуле (8.3) получаем
B3 = 2	· τ3 + (b3 − b2) = 1 − 1 = 0. По формуле (8.3) получаем
F (p) =	1 e−p	+ e−2p	= 2 − 2e−p + e−2p .
p2 − p2		2p2			2p2
Теорема смещения: L [ep0tf(t)] = F (p−p0) (предлагается доказать
самостоятельно).
Пример 8.6. Дано F (p) =					p	= L[f(t)]. Найти f(t).
Пример 8.6. Дано F (p) =				p2 + 8p + 25		= L[f(t)]. Найти f(t).
Решение. Так как F (p) =					p + 4			4
Решение. Так как F (p) =				(p + 4)2 + 9		− (p + 4)2 + 9 , то на осно-
									4
вании теоремы смещения получаем f(t) = e−4t cos 3t − 3 sin 3t .
									pe−2p
Пример 8.7. Найти f(t), если L[f(t)] = F (p) = p2 + 10p + 41 .
Решение. Преобразуем функцию F (p)								следующим образом:
F (p) =	e−2p[(p + 5) − 5]		. Из теорем смещения и запаздывания сле-
	(p + 5)2 + 16
дует, что f(t) = η(t − 2)e−5(t−2)					cos 4(t − 2) −			5
дует, что f(t) = η(t − 2)e−5(t−2)					cos 4(t − 2) −			4 sin 4(t − 2) .
					167

8.2.3. Дифференцирование оригинала

Пусть f(t), f′(t), . . . , f(n)(t) оригиналы. Тогда L[f′(t)] =

∞

=f′(t)e−ptdt. Последний интеграл возьмём по частям, полагая

f′(t)dt = dv, v = f(t), u = e−pt, du = −pe−ptdt. Получаем L[f′(t)] =

∞

= [e−

f(t)]

+ p Z

f(t)e−

dt.

как

t→+∞ e− f(t) = 0,

+∞

Так

lim

lim e−

[f′(t)] = pF (p)

f(0). Здесь и ниже че-

f(t) = f(+0), то

−

t→0+0

рез f(0), f′(0), . . . , f(n−1)(0) обозначены пределы соответствующих

функций при t → 0 + 0. Далее, применяя последнюю формулу, легко находим L[f′′(t)] = L[{f′(t)}′] = p[L[f′(t)] − f′(0)] = p[pF (p) − f(0)]−

−f′(0) = p2F (p) − pf(0) − f′(0). Проделав эту операцию n раз, получим L[f(n)(t)] = pnF (p) − p(n−1)f(0) − p(n−2)f′(0) − · · · − f(n−1)(0). В частности, если f(0) = 0, f′(0) = 0, . . . , f(n−1)(0) = 0, то L[f(n)(t)] = pnF (p), т.е. в этом случае при дифференцировании оригинала его изображение умножается на p.

Пример 8.9. Найти изображение X(p) решения x(t) дифференциального уравнения x′′(t) + 3x′(t) + 2x(t) = cos t, удовлетворяющего условию x(0) = 0, x′(0) = 1.

Решение. Пользуясь свойством линейности и правилом диффе-


ренцирования оригинала,			получаем			2	X(p) − 1 + 3pX(p) + 2X(p) =
			p	2		p
	p				+ p + 1
=		. Отсюда X(p) =						.
	p2 + 1		(p2 + 1)(p2 + 3p + 2)

Как видим, дифференциальное линейное уравнение с постоянными коэффициентами для неизвестного оригинала x(t) превращается в алгебраическое уравнение для его изображения X(p).

8.2.4. Дифференцирование изображения

Ранее мы показали, что изображение F (p) в полуплоскости Re p = s > s0 является функцией аналитической, а потому имеет

там производные всех порядков. Все их можно найти, дифферен-

∞

цируя по параметру p несобственный интеграл F (p) = R f(t)e−ptdt.

168

Получим

∞
F ′(p) = − 0		tf(t)e−ptdt = −L[tf(t)],
R
∞		2		pt		2
F ′′(p) = t f(t)e− dt =
F ′′(p) = t f(t)e− dt =						[t f(t)],
0					L
0
R
R
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·								(8.4)
F (n)(p) = ( 1)n ∞tnf(t)e−ptdt = ( 1)n [tnf(t)].								(8.4)
F (n)(p) = ( 1)n ∞tnf(t)e−ptdt = ( 1)n [tnf(t)].
	−						− L
	−		0				− L

			R
			R

Если f(t) оригинал с показателем роста s0, то все интегралы в (8.4) сходятся равномерно относительно p при Re p = s ≥ s1 > s0, а

потому по теореме о дифференцировании несобственного интеграла по параметру все соотношения в (8.4) справедливы.

Таким образом, при дифференцировании изображения оригинал умножается на (−t).

Пример 8.10. Найти L[tn].

Решение. Изображение L[tn] можно получить n-кратным дифференцированием изображения L[η(t)] = p1 , следовательно, L[tn] =

= pn+1 .

Приведём другой способ отыскания изображений кусочно-линей- ных или кусочно-степенных оригиналов, основанный на применении теоремы запаздывания и дифференцировании изображений.

Пример 8.11. Найти изображение оригинала, заданного в виде

f(t) = (	2,	если 0 < t < 1,
	t + 1,	если	1 < t < 2,
	3,	если	t > 2.

Решение. Данный оригинал можно записать следующим образом: f(t) = 2η(t) − 2η(t − 1) + (t + 1) η(t − 1) − (t + 1) η(t − 2) + 3η(t − 2) =


= 2η(t)−η(t−1)+tη(t−1)−tη(t−2)+2η(t−2). Так как L[η(t−1)] =						e−p	,
						p
	e−2p	, то L[tη(t−1)] = −	e−p	′	e−2p		′
L[η(t−2)] =				, L[tη(t−2)] = −
	p		p		p

(по свойству о дифференцировании изображения). Таким образом,

e−p

′

e−2p

′

2e−2p

e−p

e−2p

L[f(t)] =

−

2p − e−p − e−2p

169

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4740 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Теория

#
18.07.20233.21 Mб77Ельцов А.А. - Линейная алгебра. Интегралы.pdf
#
18.07.20231.21 Mб92Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf
#
18.07.202331.65 Кб70Что нужно конспектировать во время карантина.jpg