1. Основные понятия комплексного анализа

1.1. Комплексные числа и действия над ними

Проблемы, связанные с решением алгебраических уравнений второй и более высоких степеней, привели к расширению понятия числа, к введению новых, так называемых комплексных чисел, частным случаем которых являются вещественные (действительные) числа. Впоследствии комплексные числа нашли применение во многих областях математики и её приложениях. Изучению множеств комплексных чисел и их отображений посвящён этот раздел.

1.1.1. Понятие комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида

z = a + bi ≡ a + ib,

где a и b действительные числа, а i специальный символ, если для любых комплексных чисел z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 введены

операции по следующим правилам:

1) равенство комплексных чисел: z1 = z2 тогда и только тогда, когда a1 = a2, b1 = b2, при этом полагают, что

a + 0 · i = a, 0 + bi = bi, 1 · i = i, (−1) · i = −i;

2) сложение и вычитание комплексных чисел: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + (b1 ± b2) i;

3) умножение комплексных чисел:

z1 · z2 = (a1a2 − b1b2) + (a2b1 + a1b2) i.

Из правил 1) и 3) следует, что

(0 + 1 · i)(0 + 1 · i) = i · i = i2 = (0 − 1) + (0 + 0) i = −1.

Введённые операции сложения и умножения обладают свойствами, аналогичными операциям над вещественными числами:

z1 + z2 = z2 + z1, z1 · z2 = z2 · z1,

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3),

(z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3),

(z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3.

Отмеченные свойства предлагается доказать самостоятельно в качестве упражнения.

Из равенства a+0·i = a следует, что множество всех действитель-

ных чисел является подмножеством множества комплексных чисел.

9

бражать точками M(x, y) плоскости или векторами OM = {x, y}. Действительные числа x + 0i = x при этом изображаются точками оси OX, поэтому ось OX называют действительной, числа yi называют мнимыми, они изображаются точками оси OY . Эту ось называют мнимой. Число x называют вещественной (действительной) частью комплексного числа z = x + yi, а число y мнимой его частью. Пишут Rez = x, Imz = y.

Число z¯ = x − iy называется сопряжённым комплексному числу z = x+yi. Сопряжённые числа z и z¯ изображаются точками, симмет-

ричными относительно вещественной оси. Из определения умножения комплексных чисел следует, что z · z¯ = x2 + y2. Действительное

Легко показать, что

10

Решение. z1 · z2 = (1 + 2i)(4 + 3i) = (4 − 6) + (8 + 3) i = −2 + 11i.

1.1.2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Аргумент и главное значение аргумента

Форму записи комплексного числа z в виде z = x + iy называют алгебраической. Иногда удобно представлять комплексные числа

в полярных координатах. Полярную ось совместим с положительной полуосью OX, а полюс с началом координат O. Тогда, если обозначить через r = |z| расстояние от точки M(x, y) до начала координат, а через ϕ полярный угол точки M(x, y) (x2 + y2 =6 0),

то можем записать

Форма записи комплексного числа в виде (1.8) называется тригонометрической. Угол ϕ называют аргументом числа z и обозначают Arg z. Модуль комплексного числа определяется однозначно

p

формулой r = x2 + y2, аргумент же определён с точностью до любого слагаемого, кратного 2π. Символом arg z будем обозначать и называть главным значением аргумента то единственное значение Arg z, которое заключено либо в промежутке [0, 2π), либо в (−π, π].

Таким образом, либо 0 ≤ arg z < 2π, либо −π < arg z ≤ π. Значе- y

11

Пример 1.2. Даны числа z1 = −3+4i, z2 = 4−3i. Найдите главные

значения аргументов этих чисел. Запишите эти числа в тригономет-

При умножении и делении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно применять следующую теорему.

Теорема 1.1. При умножении двух комплексных чисел их модули

перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Доказательство. Пусть

z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2).

Тогда z1 · z2 = r1r2[(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2) + i(cos ϕ1 sin ϕ2+ + sin ϕ1 cos ϕ2)] = r1r2[cos(ϕ1 +ϕ2)+i sin(ϕ1 +ϕ2)]. Аналогично, легко

получить, что z1 = r1 [cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)], r2 6= 0. z2 r2

12