8. Преобразование Лапласа

В этом разделе мы познакомимся ещё с одним видом интегральных преобразований преобразованием Лапласа, широко применяемым в радиотехнике, электротехнике и других дисциплинах, связанных с дифференциальными уравнениями и уравнениями математической физики.

8.1. Понятие оригинала и его изображения. Теоремы обращения

Определение 1. Комплекснозначная функция f(t) действительного аргумента t называется оригиналом, если:

1)функция f(t) определена и непрерывна на всей числовой оси,

кроме отдельных точек, где она может иметь разрывы первого рода; f(t) имеет производные достаточно высокого порядка, также непре-

рывные, кроме отдельных точек разрыва первого рода. На каждом интервале таких точек конечное число;

2)f(t) = 0 при t < 0;

3)|f(t)| < Mes0t, M, s0 константы,s0 ≥ 0. Число s0 называется

порядком роста f(t).

ся оригиналом.

Если для функции ϕ(t) выполнены условия 1) и 3) определения, то функция f(t) = η(t)ϕ(t) является оригиналом. Впредь мы будем считать функции sin t, cos t и подобные оригиналами, полагая что операция умножения на η(t) уже проведена.

Определение 2. Изображением функции f(t) или её преобразованием Лапласа называется функция F (p) комплексного переменно-

163

Следующая теорема устанавливает область определения и аналитичности изображения F (p).

Теорема 8.1. Если f(t) оригинал с показателем роста s0, то его изображение F (p) определено и является аналитической функцией в полуплоскости Re p > s0.

|f(t)e−pt| = |f(t)||e−(s+iσ)t| ≤ Mes0te−st = Me−(s−s0)t,

0 ≤ t < +∞. (Здесь и ниже мы полагаем p = s + iσ.)

Пусть p таково, что Re p = s > s0. Найдётся s1 такое, что выполняется неравенство s > s1 > s0. Для доказательства существования F ′(p) по теореме о дифференцировании интеграла по параметру до-

статочно показать, что интеграл

0

сходится равномерно в области Re p = s ≥ s1 > s0. Поскольку |f(t)te−pt| ≤ Mes0tte−s1t = Mte−(s1−s0)t, то интеграл (8.2) мажорируется при Re p ≥ s1 > s0 сходящимся, не зависящим от p инте-

Следовательно, F (p) существует в области Re p = s > s и

∞

F ′(p) = − R tf(t)e−ptdt.

0

Замечание. Из (8.1) следует, что lim F (p) = lim F (s + iσ) = 0,

s→∞ s→∞

или, что то же самое, lim F (p) = 0, где p остаётся внутри угла

p→∞

− π2 + δ < arg p < π2 − δ, а δ сколько угодно мало.

164