стемы, а поэтому в силу доказанного f(x)−g(x) = 0, т.е. f(x) = g(x).

Отсюда следует, что кусочно-непрерывная функция разлагается в ряд по полной ортогональной системе единственным образом. Независимо от способа разложения полученный ряд будет обязательно рядом Фурье.

6.3. Тригонометрический ряд Фурье

В электротехнике и радиотехнике наиболее широко применяется тригонометрическая система

Доказано, что система (6.18) замкнута в классе L′2 кусочно-непре- рывных функций на (−l, l), а системы (6.19) и (6.20) на (0, l).

6.3.1. Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье. Достаточные признаки представимости функции тригонометрическим рядом. Понятие о периодическом продолжении функции

Как показано в п. 6.1.3, тригонометрическая система ортогональ-

l

ция. По формулам (6.9) можем найти коэффициенты Фурье для f(x)

по системе (6.18) и составить ряд Фурье, который запишем в виде

137

Ряд (6.21) называют тригонометрическим рядом Фурье функции f(x). Этот ряд в силу замкнутости системы (6.18) в классе L′2, составленный для любой функции f(x) из этого класса, сходится к ней на [−l, l] в среднеквадратичном. Проблема точечной сходимости ряда (6.21) к f(x), т.е. вопрос о том, когда в (6.21) вместо знака соот-

ветствия можно поставить знак равенства, оказалась очень сложной и нашла своё до некоторой степени полное решение лишь в 1966 году. То, что простой интегрируемости функции f(x) не достаточно, по-

казал А.Н. Колмогоров, приведя пример интегрируемой функции, для которой ряд Фурье расходится во всех точках [−l, l]. В настоящее время показано, что для разложимости f(x) почти всюду на [−l, l] в тригонометрический ряд Фурье достаточна интегрируемость функции вместе с её p-й степенью (p > 1). Необходимые и достаточ-

ные условия пока не найдены. Мы приведём два класса функций, представимых тригонометрическим рядом Фурье, достаточно широких для практических приложений, классы кусочно-монотонных и кусочно-гладких функций.

Функция f(x) называется кусочно-монотонной на интервале (a, b), если этот интервал можно разбить на конечное число интер-

валов, внутри каждого из которых функция монотонна.

Заметим, что ограниченная кусочно-монотонная на (a, b) функ-

ция может иметь разрывы только первого рода.

Теорема 6.1 (Дирихле). Тригонометрический ряд Фурье для всякой кусочно-монотонной ограниченной функции f(x) на [−l, l] схо-

дится в каждой точке этого отрезка, причём сумма ряда

Заметим, что в точках непрерывности функции f(x) сумма ряда S(x) совпадает с f(x).

Пусть функция f(x) дифференцируема на [a, b]. Под значениями f′(x) в точках x = a и x = b понимаются конечные пределы f′(a + 0)

138

и f′(b − 0). Функция f(x) называется кусочно-дифференцируемой на

[a, b], если этот промежуток можно разбить на конечное число про-

межутков, внутри которых функция дифференцируема, а на концах имеет конечные односторонние производные.

Если при этом производная f′(x) кусочно-непрерывна, то функция называется кусочно-гладкой на [a, b].

Теорема 6.2. Тригонометрический ряд Фурье кусочно-гладкой на [−l, l] функции f(x) сходится в каждой точке этого отрезка. Его сумма S(x) определяется соотношениями (6.23).

Теорему 6.2 также примем без доказательства.

жить в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [−2, 2]. Решение. Функция f(x) удовлетворяет условиям и теоремы 6.1,

и теоремы 6.2. Поэтому она представима в виде суммы ряда Фурье. В данном случае l = 2. По формулам (6.22) находим a0 =

=1 Z 2 xdx = 1. Применяя формулу интегрирования по частям, по-

2 0

Согласно теореме 6.1 или 6.2 сумма S(x) данного ряда в точках

всей числовой оси. Эта функция периодическая с периодом, равным четырём. На (−2, 2) S(x) совпадает с функцией f(x). График S(x)

139

Пусть заданная на [−l, l] функция f(x) представима в виде суммы

тригонометрического ряда. Поскольку все функции основной тригонометрической системы имеют общий период 2l, то и сумма этого ряда S(x) есть функция, определённая на всей числовой оси, являющаяся периодической с периодом 2l. График S(x) в точках непрерывности f(x) на (−l, l) совпадает с графиком f(x), а график на других участках (l, 3l), (3l, 5l) и т.д. получается последовательным параллельным переносом графика f(x) с участка (−l, l) на предыдущие и последующие участки длины 2l. Функцию S(x) называют периодическим продолжением с периодом 2l функции f(x) на всю числовую ось. Таким образом, если функция на (−l, l) разлагается в

тригонометрический ряд Фурье, то этот ряд сходится к периодическому продолжению функции на всю числовую ось.

6.3.2. Ряд Фурье для чётных и нечётных функций. Разложение в ряд Фурье функций, заданных

на [0, l], [a, a + 2l]

Графики чётных и нечётных функций обладают симметрией либо относительно оси OY , либо относительно начала координат. Ча-

140

сто встречаются функции этого класса, обладающие дополнитель-

с двойной симметрией. Ряд Фурье функций с двойной симметрией несколько упрощается по сравнению с чётными или нечётными функциями. Предлагается в виде упражнения доказать следующие утверждения.

Если функция f(x) периода 2l чётная и обладает дополнительной

Если же чётная функция f(x) симметрична на (0, l) относитель-

Для нечётной функции f(x), симметричной на (0, l) относи-

Мы рассмотрели разложение в тригонометрический ряд Фурье функции, заданной на промежутке [−l, l], симметричном относительно начала координат. Если же функция задана на [0, l], то её можно доопределить на участке [−l, 0], а затем разложить в ряд Фурье

по известным формулам. Это доопределение можно сделать многими способами. Наиболее часто доопределяют чётным образом, чтобы функция после продолжения была чётной, или нечётным, тогда полученная функция будет нечётной. Практически при этом никаких дополнительных операций совершать не нужно, а пользоваться

141

В случае а) функция f(x) нечётна, а график её на (0, 2) симметричен относительно прямой x = 1. Поэтому an = 0 (n = 0, 1, . . .),

142

В случае б) функция f(x) чётна и на (0, 2) её график симметричен относительно прямой x = 1. Поэтому bn = 0 (n = 1, 2, . . .), a2n+1 = 0