3.5. Приложение степенных рядов

В этом подразделе будем рассматривать степенные ряды в области вещественных чисел. Из теоремы Абеля следует, что все полученные разложения в п. 3.3.2 справедливы и для вещественных значений z на соответствующем участке оси OX.

3.5.1. Оценка остатка ряда Тейлора

Пусть задана вещественнозначная функция вещественной переменной f(x) : f : R → R, имеющая непрерывные производные в точке x0 до (n + 1) порядка включительно. Тогда можем записать

f(x) = f(x0) + f′(x0) (x−x0) + · · ·+ f(n)(x0)(x − x0)n + rn(x). (3.53) 1! n!

Соотношение (3.53) называют формулой Тейлора, а функцию rn(x) её остаточным членом. Если функция f(x) представима в окрестности точки x0 в виде суммы ряда Тейлора, то остаточный член rn(x) совпадает с остатком ряда Тейлора. Многочлен

Pn(x) = f(x0) + f′(x0)(x − x0) + · · · + fn(x0)(x − x0)n n!

называется многочленом Тейлора.

Во многих задачах, связанных с приближёнными вычислениями, требуется оценка величины остатка rn(x) ряда Тейлора. Для этой цели получим несколько аналитических выражений для rn(x).

руем. Последний интеграл возьмём по частям, приняв f′(t) = u,

= −f′(t)(x − t) x0 + R (x − t)f′′(t)dt = f′(x0)(x − x0) + R (x − t)f′′(t)dt.

x0 x0 x

Следовательно, f(x) = f(x0) + f′(x − x0) + R (x − t)f′′(t)dt. Мы по-

x0

x

лучили r1(x) = R (x − t)f′′(t)dt. Этот интеграл также возьмём по

x0

частям, положив du = f′′(t)dt, dv = (x − t)dt, v = − 12 (x − t)2.

78

Соотношение (3.54) легко обосновать методом математической индукции. Форма записи остатка rn(x) в виде (3.54) называется интегральной.

Применив к интегралу (3.54) обобщённую теорему о среднем, мо-

lim f(n+1)(c) = f(n+1)(x0). Поэтому f(n+1)(c) = f(n+1)(x0) + q(x), c→x0

где q(x) величина бесконечно малая при x → x0. Соотношение

(3.55) можно переписать в виде

79

бесконечно малая порядка выше (n + 1) относительно (x − x0), т.е. α(x) = o((x − x0)n+1). Следовательно,

rn+1(x) = o((x − x0)n+1)

форма Пеано остаточного члена.

Если к интегралу (3.54) применить теорему о среднем, то по-

лучим rn(x) = n1! (x − c)nf(n+1)(c)(x − x0). Так как точка c лежит между x0 и x, то (x−c)n = [(x−x0) −Θ(x−x0)]n = (x−x0)n(1 −Θ)n,

где 0 ≤ Θ ≤ 1. Поэтому

rn(x) = f(n+1)(x0 + Θ(x − x0))(x − x0)n+1(1 − Θ)n n!

форма Коши остаточного члена.

3.5.2. Приближённое вычисление значений функции

Для этой цели используются разложения в ряд Тейлора функции f(x). Чтобы получать при этом более быстро сходящиеся ряды,

используют различные приёмы. Проиллюстрируем это примерами.

Пример 3.26. Вычислить ln 3 с точностью до 0,001.

Решение. Использовать разложение

непосредственно невозможно, так как ряд (3.56) в точке x = 2 рас-

ходится.

80

√

Пример 3.27. Вычислить 3 с точностью до 0,001.

Решение. Для вычисления корней используется биномиальный

Этот ряд при всех значениях α сходится в (−1, 1). Если −1 < α < 0, то ряд сходится в (−1, 1], а если α > 0, то ряд сходится в [−1, 1].

Скорость сходимости биномиального ряда уменьшается с приближением значений |x| к единице. Поэтому для приближённых вычис-

лений корней следует x подобрать таким, чтобы он был по модулю

√

много меньше единицы. В данном примере можем записать 3 =

оценки rn(x) остатка ряда (3.58) запишем rn(x) в форме Лагранжа

81