ряд сходится абсолютно.

3.1.5. Предельный признак сравнения

Теорема 3.9. Пусть существует

Если q [0, +∞) и ряд (|B|) сходится, то сходится и ряд (|A|). Если q > 0 и ряд (|B|) расходится, то расходится и ряд (|A|).

Доказательство. Пусть 0 ≤ q < ∞ и ряд (|B|) сходится. Из (3.16)

3.7 сходится и ряд (|A|).

Если q > 0 и ряд (|B|) расходится, то в этом случае существует

конечный предел lim |bn| . Ряд (|A|) должен расходиться, так как в

n→∞ |an|

противном случае по доказанному выше сходился бы и ряд (|B|).

Замечание 2. Если в (3.16) q = ∞, то тогда lim |bn| = 0, и по

n→∞ |an|

теореме 3.9 из абсолютной сходимости ряда (A) следует абсолютная сходимость ряда (B).

Замечание 3. Если в (3.16) q =6 0, q =6 ∞, то ряды (|A|) и (|B|) либо оба сходятся, либо оба расходятся. Для рядов (A) и (B) нуж-

ны дополнительные исследования. Каждый из них, независимо от другого, может либо сходиться условно, либо расходиться. Если же члены этих рядов вещественны и положительны, то при q =6 0, q =6 ∞ ряды (A) и (B) либо оба сходятся, либо оба расходятся.

53

∞

X 1

из сходимости ряда n=1 n3/2 следует сходимость данного ряда.

Как мы видели, для сходимости ряда (A) необходимо, чтобы

lim an = 0, т.е. чтобы величина |an| была бесконечно малой при

n→∞

n → ∞. Как следует из предельного признака сравнения и сходи-

∞

X 1

мости ряда n=1 ns при s > 1, для абсолютной сходимости ряда (A)

необходимо и достаточно, чтобы порядок малости величины |an| был

был конечен при α > 1. Если же этот предел конечен при α ≤ 1,

Таким образом, исследование ряда на абсолютную сходимость сводится к определению порядка малости модуля его общего члена.

В признаках сравнения для исследования данного ряда нужно привлекать другой ряд. Существуют признаки сходимости, основанные на исследовании только данного ряда. К таковым относятся признаки Даламбера и Коши. В них происходит сравнение членов ряда с геометрической прогрессией.

3.1.6. Признак Даламбера в конечной форме

Теорема 3.10. Если, начиная с некоторого номера n, справедливо

Доказательство. Пусть неравенство (3.17) выполняется для всех

номеров. Тогда |a2| ≤ q|a1|, |a3| ≤ q2|a1|, . . . , |an| ≤ qn−1|a1|, . . . .

∞

X

Так как ряд qn−1|a1| сходится как геометрическая прогрессия со

n=1

знаменателем 0 < q < 1, то по признаку сравнения ряд (A) сходится

абсолютно.

Если же |an+1| ≥ 1, то |an+1| ≥ |an| при любом n, и общий член an

|an|

не может стремиться к нулю, т.е. не выполнен необходимый признак

54

то ряд (A) сходится абсолютно при q < 1, при q > 1 расходится. (При q = 1 никакого вывода о сходимости ряда (A) сделать нельзя.

Нужны дополнительные исследования.)

Доказательство. Если q < 1, то найдётся такое ε > 0, что q = 1 − 2ε, т.е. q + ε = 1 − ε. По определению предела из (3.18) для выбранного ε > 0 N(ε) такое, что при n > N имеет место

|an+1| < q + ε = 1 − ε < 1. Отсюда и из теоремы 3.10 следует абсо-

|an|

лютная сходимость ряда (A).

Если же q > 1, то найдётся ε > 0 такое, что q = 1 + 2ε, т.е.

q − ε = 1 + ε. Из (3.18) следует, что |an+1| > q − ε = 1 + ε > 1. По

|an|

По признаку Даламбера в предельной форме данный ряд сходится абсолютно.

3.1.8. Радикальный признак Коши в конечной форме

Теорема 3.12. Если, начиная с некоторого номера n, справедливо

p

то ряд (A) сходится абсолютно, если же n |an| ≥ 1, то ряд расходит-

ся.

Доказательство. Пусть (3.19) выполняется для всех номеров. Тогда |a1| ≤ q, |a2| ≤ q2, . . . , |an| ≤ qn, . . . Отсюда, из признаков

55

ный ряд расходится.

3.1.9. Радикальный признак Коши в предельной форме

p

Теорема 3.13. Если существует lim n |an| = q, то при q < 1 ряд

n→∞

(A) сходится абсолютно, при q > 1 этот ряд расходится. (При q = 1

ряд может как сходиться, так и расходиться. Нужны дополнительные исследования.)

Доказательство теоремы 3.13 сводится к теореме 3.12 аналогич-

признаку Коши в предельной форме данный ряд сходится абсолютно.

3.1.10. Интегральный признак Коши

В некоторых случаях исследование ряда на абсолютную сходимость можно свести к исследованию несобственного интеграла. Основанием для этого является следующая теорема.

Теорема 3.14. Пусть неотрицательная на луче [1, ∞) функция f(x) монотонно убывает при x → +∞ и такова, что при целых n = 1, 2, . . . имеет место

56

∞

R

I = f(x)dx, ряд (|A|) расходится, если расходится указанный ин-

1

теграл.

Доказательство. Пусть x любое из сегмента [n − 1, n], т.е. n − 1 ≤ x ≤ n. Очевидно, f(n) ≤ f(x) ≤ f(n − 1), так как f(x)

монотонно убывает, или в силу (3.20)

монотонной ограниченной последовательности следует, что последо-

∞

вательность {Sn} и интеграл I = f(x)dx сходятся или расходятся

Решение. Согласно интегральному признаку Коши, исследование этого ряда на сходимость можно заменить исследованием ин-

тому сходится и данный ряд.

Заметим, что при исследовании рядов на сходимость иногда полезно сочетать признаки сравнения с признаками Даламбера и Коши.

57