3.5.3. Приближённое вычисление определённых интегралов

b

R

Если подынтегральная функция в интеграле f(x)dx разлагает-

a

ся в ряд Тейлора, то такой интеграл можно вычислить приближённо с любой степенью точности путём интегрирования степенных функций.

1

Пример 3.29. Вычислить I = R cos x2dx с точностью α = 0,001.

0

Решение. Разлагая функцию в ряд Тейлора по степеням x, по-

оси. Интегрируя почленно этот ряд в пределах от 0 до 1, находим

R cos x2dx = 1 − 0,1 + 0,00463 ≈ 0,905.

0

3.5.4. Интегрирование дифференциальных уравнений

Требуется найти решение y = y(x) дифференциального уравне-

удовлетворяющее начальным условиям y(x0) = a0, y′(x0) = a1. Бу-

дем считать, что в окрестности начальных данных уравнение (3.59) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, а также, что решение y = y(x) представимо в виде суммы ряда Тей-

лора

y(x) = y(x0) + y′(x0)(x − x0) + · · · + y(n)(x0)(x − x0)n + · · · . (3.60) n!

Чтобы найти ряд (3.60) нужно вычислить его коэффициенты y(x0), y′(x0), y′′(x0), . . . , y(n)(x0), . . . , причём первые два определены начальными условиями y(x0) = a0, y′(x0) = a1. Укажем два метода

отыскания этих коэффициентов. Значения всех производных функции y(x) в точке x0 можно найти последовательным дифференцированием по x функции F (x, y(x), y′(x)):

y′′′(x0) = dF (x0, a0, a1) , · · · , y(n)(x0) = dn−2F (x0, a0, a1) , · · ·. dx

82

Пример 3.30. Найти пять членов разложением в ряд Тейлора решения y(x) дифференциального уравнения y′′ = xyy′, удовлетворя-

ющего условию y(0) = 1, y′(0) = 1.

Решение. Имеем y′′ = xyy′, y′′(0) = 0; y′′′ = yy′ + x(y′)2 + xyy′′, y′′′(0) = 1; y(IV ) = 2(y′)2 + 2yy′′ + 3xy′y′′ + xyy′′′, y(IV )(0) = 2; y(V ) = 9y′y′′ + 3yy′′′ + 3x(y′′)2 + 4xy′y′′′ + xyy(IV ), y(V )(0) = 3. Сле-

Метод неопределённых коэффициентов заключается в следующем. Ищем решение y(x) в виде ряда

n=0

с неопределёнными коэффициентами an, которые требуется найти.

Дифференцируя дважды ряд (3.61) почленно, получаем

Затем разлагаем в ряд Тейлора функцию F (x, y, y′), используя при

этом ряды (3.62). Пусть

эффициенты при одинаковых степенях (x − x0), мы и получим

необходимые соотношения для определения неизвестных коэффициентов an, причём коэффициенты a0 и a1 находим из начальных

условий. Если эти коэффициенты оставить произвольными, то мы получим общее решение.

Пример 3.31. Найти общее решение уравнения y′′ = y методом

неопределённых коэффициентов.

∞

X

X

=anxn. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-

n=0

нях x, получаем n(n − 1)an = an−2, n = 2, 3, . . .. Отсюда находим

83

что можно было получить и непосредственно, интегрируя данное линейное уравнение.

3.5.5. Применение рядов Тейлора к отысканию пределов и производных

Используя известные разложения в ряд Тейлора, можно находить некоторые пределы и производные.

Пример 3.33. Найти f(V )(0), если f(x) = e2x sin 3x.

Решение. Ряд Тейлора для f(x) можно получить как произведение рядов для функций e2x и sin 3x:

84