где функции ϕ1(z) и ϕ2(z) аналитичны в точке z0 = 3 и не обраща-
ются в нуль в этой точке. Обозначим ψ(z) = ϕ1(z) , причём, так как
ϕ2(z)
ϕ2(3) 6= 0, то функция ψ(z) также аналитична и ψ(3) 6= 0. Теперь
можем записать f(z) = |
f1 |
(z) |
= |
ψ(z) |
|
. По теореме 4.3 точка z0 = 3 |
|
f2 |
(z) |
z − 3 |
|||||
|
|
|
|||||
для f(z) является полюсом кратности 1 или простым полюсом.
Пример 4.4. Охарактеризовать точку z0 = 1 для функции
f(z) = ez−1 − (z − 1) − 1 . (z − 1)4
Решение. Ряд Лорана в окрестности z0 = 1 данной функции име-
ет вид f(z) = |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+ |
1 |
+ |
1 |
· (z − 1) + · · ·. По теореме |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2!(z |
− |
1)2 |
3!(z |
− |
1) |
4! |
5! |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.4 точка z0 = 1 для данной функции является полюсом второй крат-
ности.
4.1.3. Существенно особые точки
Теорема 4.5. Для того, чтобы точка z0 была существенно особой для функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции f(z) в окрестности точки z0 содержала беско-
нечное число членов.
Действительно, в окрестности существенно особой точки главная часть ряда Лорана не может отсутствовать (тогда по теореме 4.1 точка z0 была бы устранимой) и не может содержать конечного числа членов (тогда точка z0 была бы полюсом).
Теорема 4.6 (Сохоцкого). Если точка z0 существенно особая функции f(z), то для любого комплексного числа A (конечного или нет) можно найти такую последовательность {zn}, сходящуюся к z0,
что lim f(zn) = A.
n→∞
Теорему примем без доказательства.
Пример 4.5. Охарактеризовать точку z0 = 4 для функции
f(z) = (z − 4)2 exp |
z − 4 |
. |
|
1 |
|
Решение. Ряд Лорана функции f(z) в окрестности точки z0 = 4
имеет вид f(z) = (z − 4)2 + (z − 4) + |
1 |
+ |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+ · · · и |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
3!(z |
− |
4) |
4!(z |
− |
4)2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
содержит бесконечно много отрицательных степеней, следовательно, по теореме 4.5 точка z0 = 4 для f(z) является существенно особой.
94
4.1.4. Характер точки ∞
Точку ∞ можно классифицировать по тому же принципу, что и
конечные точки.
Точка ∞ называется изолированной особой для функции f(z), если существует внешность некоторого круга |z| > R с центром в начале координат, в котором функция f(z) не имеет особых точек, при этом ∞ называется:
1) устранимой особой, если конечен lim f(z);
z→∞
2) полюсом, если lim f(z) = ∞;
z→∞
3) существенно особой точкой, если lim f(z) не существует.
z→∞
Разлагая функцию f(z) в окрестности точки ∞ в ряд Лорана,
получим f(z) = |
∞ |
∞ |
a−n . |
|
anzn + |
X |
|||
|
X |
|
|
|
|
n=0 |
n=1 |
zn |
|
|
∞ |
|
|
|
|
X |
|
|
|
Напомним, что ряд anzn называется главной частью ряда Ло-
n=0
∞
рана функции f(z) в окрестности ∞, а X a−n правильной.
n=1 zn
Теоремы 4.1, 4.4, 4.5 переносятся и на рассматриваемый случай,
1
что легко доказать, сделав предварительно замену z = z′ . Тогда точка z = ∞ отобразится в точку z′ = 0, причём характер точки
|
1 |
совпадает с характером точки ∞ для |
z′ |
= 0 для функции f z′ |
функции f(z).
Таким образом, изучение точки z = ∞ можно свести к изучению
точки z′ = 0 функции f |
z′ . |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Например, точка ∞ для функции |
|
||||
|
ez = 1 + z + |
z2 |
(4.6) |
||
|
|
+ · · · |
|||
|
2! |
||||
является существенно особой, так как разложение функции ez в ряд по степеням z содержит бесконечное число положительных степе-
ней. Заметим, что разложение (4.6) можно считать рядом Лорана в окрестности ∞ для функции ez, так как этот ряд сходится на всей плоскости, в том числе и при каждом z из области |z| > R, при любом R.
Отсюда следует, что lim ez не существует. Точка ∞ является
z→∞
существенно особой и для функций sin z, cos z, sh z, ch z.
95