Добавил:

fominmal Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2ой семестр / Математика / Теория / Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.07.2023

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 4745 46 47 > Следующая >>>

Zγ

z5dz

8.10.5(282). I =

, γ : |z| = 4;

2πi

(z − 2)(z − 1)3

8.10.6(84.ШЛ). I =

Zγ

cos 3tdt

, γ : |t| = 7;

πi

(t − 4)2(t − 6)

Zγ

e2zdz

8.10.7(56.5П). I =

, γ : |z − 1| = 3;

2πi

(z − 2)5

Zγ

cos 2tdt

8.10.8(Б05). I =

, γ : |t| = 5;

πi

(t − 4)(t − 2)

8.10.9(Д21). I =

Zγ

cos 3(z − 2)dz

, γ :

−

= 1,5;

πi

(z − 4)(z − 2)3

Zγ

zdz

8.10.10(058). I =

, γ : |z| = 3.

2πi

(z − 1)(z − 2)2

Контрольная работа № 9

9.1.1 9.1.10. Исходя из определения, найти сумму следующих рядов (см. пример 3.3).

∞

+ n

−

2 ;

+ 2n + 3/4 ;

9.1.1(956).

9.1.2(507).

n=2

n=1

∞

−

4n + 3

;

−

(7/5)n + 6/25 ;

9.1.3(919).

9.1.4(8Я8).

n=4

n=2

∞

−

8n + 15 ;

−

(3/2)n + 5/16 ;

9.1.5(5Д7).

9.1.6(385).

n=6

n=2

∞

;

−

6n + 8

−

2n + 3/4

9.1.7(818).

9.1.8(258).

n=5

n=2

∞

n2 + 6n + 8 ;

−

(1/7)n

−

12/49 .

9.1.9(561).

9.1.10(АБ2).

n=1

9.2.1 9.2.10. Исследовать на сходимость следующие ряды (примеры 3.6 3.14). Ответы: 1) сходится абсолютно; 2) сходится условно; 3) расходится.

184

9.2.1(3Б7.РП).

∞

3n(n + 1)!

∞

−

1)n

∞

n + 1

−n2

n=1

; 3.

n=1

;

∞ (

1)n

2n + 5

; 5.

∞

(−1)n

; 6.

∞ (

1)n+1

2n + 3

n=1

−

3n + 1

n=1 n ln2(4n + 2)

n=1

−

n(n + 1)

9.2.2(058.РЯ).

∞

2n(n2 + 1)

∞

ei/n

;

1. n=1(−1)n

(n + 1)!

; 2. n=1(−1)n

1 + n

; 3. n=1(−1)n √n + 4

∞

(−1)n

; 5. ∞ (

−

1)n

n; 6. ∞

n=1 n ln2(3n + 1)

n=1

2n + 1

n=2

n ln ln n n2 + 3

9.2.3(439.РЛ).

1. ∞ (

1)n

10nn!

; 2. ∞ (

1)n

3n2 + 1

n2 ; 3. ∞

(−1)n

;

−

(2n)!

−

+ 1

n=1

n=1 (2n + 4) ln2(2n + 1)

∞

(−1)n+1

; 5.

∞

cos πn

; 6.

∞

(−1)n

n=1 ln(n + 1)

n=1 √n + 4

n=2

√n2 + 3

n2 ln n

9.2.4(640.БП).

∞

(n + 2)!

; 2.

∞ n + 5

∞

n=1

(4n + 3)2n

n=1

sin 2n ; 3.

n=1(−1)nn3

4n + 5

;

∞

(−1)n

; 5. ∞

; 6. ∞

(−1)n

n=1

ln n

(n + 5) ln2(n + 7)

n=3 n ln n ln ln n

n=2

√n3 + 4

9.2.5(6П1.БЛ).

∞ (

−

1)narctg 5/n

∞

2n + 1

(n + 1)2;

1. n=1

; 2. n=1 2nn! ; 3. n=1(−1)n

5n + 2

∞

(2n − 3) ln(2n − 1)

∞

n + 4

n√n + 5

n=2

n=1 n4 + 2n + 1

n=1

185

9.2.6(892.БЯ).

∞ (

1)n

; 2.

∞

(−1)nn!

; 3.

∞ (

1)nn

2n + 5

−

n=1

4nn!

n=1 (2n)!

n=1

n + 3

∞ (

1)n

n2 ; 5.

∞

(−1)n

; 6.

∞

(−1)n

(−1)ni

−

n=1

n3 + 1

n=1

10n + 3

n=1 n ln 2n

√n + 1

9.2.7(Д93.Б7).

∞

(−1)n6n(n2 + 1)

; 2.

∞

(−1)nnn

; 3.

∞

3n + 1

n2 ;

n=1 n + 4

n=1

(n!)2

∞

(

1)n

n=2

n=1

√n + 2

n=1 n ln2

(3n + 5)

(n + 1) ln n

n3 + 4

9.2.8(С34.Р7).

1 · 4 · 7 · · · · · (3n − 2) ; 3.

1)nn sinn 1 ;

∞

(−1)nn2

; 2.

∞

(

n=1 (n + 3)!

n=1

2n+1n!

n=1 −

∞

n + 2

n2 ; 5. ∞

(−1)n

; 6. ∞

(−1)n

n=1

5n + 1

n=1 (n + 1) ln 2n

n=1 n + √2n + 3

n2 + 2

9.2.9(315.РП).

∞

(−1)n32n

; 2.

∞ (

−

1)n

n − 1

n; 3.

∞

(−1)n

;

n=1

(2n

−

1)!

n=1

n=1 (n + 1) ln 3n

∞

(−1)n−1

; 5.

∞ (

−

1)n ln

n + 1

; 6.

∞

(−1)n

n=1

(n + 1)(5/2)n

n2 + 1

n=1

sin n

9.2.10(4Б6.РЯ).

∞

1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1)

; 2.

∞

(−1)nn!

; 3.

∞ (

−

1)n

n + 1

n2 ;

n=1

5n(n + 2)!

n=1 nn−1

n=1

2n + 3

∞

(3n +11) ln n

; 5.

; 6.

n=2

n=1(−1)n cos n

n=1 (−1)n sin n

+ 2n2 + 3

9.3.1 9.3.10. Найти

область

сходимости

указанных

рядов

(см.

примеры 3.15, 3.16). Ответ записать в виде промежутков (открытых, закрытых или полуоткрытых) и их объединений, например,

−1, − 13 [2, 4) (6, +∞). Отрицательные степени не использовать.

186

Если ряд расходится всюду, записывать знак . Если ряд сходится

в отдельных точках, то ввести эти точки.

9.3.1 а) (321.РП).

∞

(−1)n

; б) (452.РЯ).

∞

9nx2n sin(x + πn).

n=1

(x2 + n)2/3

n=1

9.3.2 а) (4А5.БЛ). ∞ lnn

; б) (8С6.БП). ∞

(

1)n(x − 3)n

n=1

−(n + 1)5n

∞

(x + 2)n

9.3.3 а)(Д97.Б7).

; б)(859.РП).

n + 1

(3x2 + 4x + 2)n

(2n + 1)3n

n=1

√n2 − 1

9.3.4 а) (880.РП).

∞

(x2

4x + 6)n; б) (А82.БП).

∞

−

n=1

n2(5x + 9)2n−1

n=1

9.3.5 а) (6П4.БП). ∞

23nx3n sin(3x+nπ); б) (Р25.Б7). ∞ e−(1−x√

)2 .

n=1

9.3.6 а) (Т46.Р7).

∞

n + 3

(−1)n

;

n=1

n2 + 1

(27x2 + 12x + 2)n

∞

(36)n

б) (6Т7.РП).

· x2n sin(5x + πn).

n=1

∞

n (25)n

∞

−n2

x2 + 1

9.3.7 а) (1Т0.БЛ).

(

−

; б) (С22.РП).

sin

n=1

√3n

n=1

∞

n2n

;

9.3.8 а) (А91.БП). n=1

n + 1

(3x2 + 8x + 6)n

∞

9nx2n

б) (493.РЛ).

√

sin(5x − nπ);

n=1

2n + 4

∞

8nx3n sin

9.3.9 а) (С74.РП).

n=1

; б) (Т23.РЛ).

5nxarctg

7nx

n=1

9.3.10 а) (836.РЛ).

∞

(x2 − 6x + 12)n ; б) (Р97.БП). ∞ 32nxn sin x .

n=1

4n(n2 + 1)

n=1

187

9.4.1 9.4.10. Найти радиус сходимости данного степенного ряда и сумму этого ряда, применяя теоремы о дифференцировании и интегрировании рядов (см. примеры 3.22 и 3.23). В ответ ввести сначала радиус сходимости, а затем сумму ряда либо значение суммы в указанной точке.

∞

(2n + 1)x2n, x0 =

9.4.1(231.РП).

;

n=0

∞

4nx2n

, x0 =

2√

9.4.2(762.РП).

;

n=1

(−1)n(n + 1)xn , x0 = 2;

9.4.3(2П3.РЛ).

∞

n=0

9.4.4(ПС4.БП).

∞

(−1)nx2n

;

−

n=1

∞

2xn+1

, x0 =

;

9.4.5(285.БЛ). ln 2 +

n(n + 1)

n=1

∞

(n2 + n)xn−1

9.4.6(П06.БП).

, x0 = 2;

n=1

3n+1

(−1)nx2n+3

9.4.7(2С0.5П). 2 ∞

;

n=0 (2n + 3)(2n + 2)

∞

nx3n−1, x0 =

;

9.4.8(6Т7.Б7).

n=1

(−1)n+1x2n ;

9.4.9(С41.5П).

∞

n=1

∞

9.4.10(228.Р7).

(2n2 − 2n)xn, x0 =

n=0

9.5.1 9.5.10. Найти три первых члена, отличных от нуля, разложения в ряд Тейлора в окрестности точки z0 данных функций. В

ответ ввести третий член.

1 π

9.5.1(2Д0.5П). f(z) = sin z , z0 = 2 ;

9.5.2(9Д1.5П). f(z) = cos z , z0 = 0;

188

9.5.3(3Д2.ШП). f(z) = ez + 1 , z0 = 0;

9.5.4(1А1.РП). f(z) =

, z0 = 0;

sin z + 1

9.5.5(4С3.ШЛ). f(z) =

, z0 =

;

cos z + 2

9.5.6(424.Ш7). f(z) =

, z0 =

;

sin 2z

9.5.7(505.57). f(z) =

, z0 = 0;

cos 2z

9.5.8(5С6.5П). f(z) = −

, z0

= i;

z + i

9.5.9(672.РЯ). f(z) = ez sin z, z0 = 0; 9.5.10(343.РЛ). f(z) = ln(4 + z), z0 = 0.

9.6.1 9.6.10. Пользуясь разложением данной функции в ряд Тейлора, найти значения производных указанного порядка в указанной точке (см. пример 3.33).

9.6.1(С61). f(x) = e−x2/2, f(10)(0);

9.6.2(ТР2). f(x) =

, f(5)(0);

1 + x2

9.6.3(2Д3). f(x) = cos xch x, f(8)(0);

9.6.4(Р44). f(x) =

√

, f(6)(0);

1 + x3

9.6.5(2Т5). f(x) = x2 √1 + x, f(4)(0);

9.6.6(136). f(x) = x4 ln 1 +

, f(8)(0);

9.6.7(3Б7). f(x) =

81(3x − 5)

, f(4)(0);

x2 − 4x + 3

9.6.8(948). f(x) = 32x2 √x + 8, f(5)(0);

9.6.9(С09). f(x) =

, f(11)(0);

arctg

540

9.6.10(100). f(x) = x3 ln(1 − x + x2), f(7)(0).

189

9.7.1 9.7.10. Вычислить приближённо с точностью α = 0,001 сле-

дующие интегралы (см. пример 3.29).

sin x2dx;

0,1

R0,1

9.7.1(5Т1.ДЛ).

9.7.2(722.Д7).

cos(100x2)dx;

0,1

1 − −

9.7.3(523.УЛ).

e−6x dx;

9.7.4(С54.У7). Z

dx;

ln(1 + x/5)

0,5

9.7.5(А55.ДЛ). Z0

9.7.6(У21.ДЛ). Z0

√

dx;

;

1 + x4

1,5

0,2

√

27 + x3

9.7.7(022.Д7).

;

9.7.8(656.Д7). e−3x2 dx;

0,2

0,5

9.7.9(Т81.ДЛ). sin(25x2)dx;

9.7.10(822.Д7). cos(4x2)dx.

9.8.1 9.8.10. Следующие функции разложить в ряд Лорана в данной области (см. пример 3.34). В ответ ввести указанные коэффициенты полученного ряда.

9.8.1(Б71). f(z) =

z − 2

, 0 <

, a

;

2z3 + z2 − z

9.8.2(Д40.РП). f(z) =

z − 4

, 1 <

< 2, a

, a

−4

;

z4 + z3 − 2z2

9.8.3(Д21.РП). f(z) =

3z − 18

< 3, a

, a

;

−3

2z3 + 3z2 − 9z 2

9.8.4(1Т2.РЛ). f(z) =

5z − 50

< 5, a

, a

;

−3

2z3 + 5z2 − 25z 2

9.8.5(6Р3.БП). f(z) =

7z − 98

< 7, a

, a

;

−2

2z3 + 7z2 − 49z 2

9.8.6(114.БЛ). f(z) =

, 2 < |z − 4| < 3, a3, a−3;

z2 − 3z + 2

9.8.7(452). f(z) =

9z − 162

> 9, a

−3

;

2z3 + 9z2 − 81z

9.8.8(С93). f(z) =

, |z + 1| > 4, a−4;

z2 − 5z + 6

190


9.8.9(374). f(z) =		15z − 450		,	z	\|	> 15, a	−2	;
9.8.9(374). f(z) =		+ 15z2 − 225z		,	z		> 15, a		;
2z3		+ 15z2 − 225z			\|
9.8.10(245). f(z) =		z
			, \|z + 5\| > 3, a−4.
	z2	+ 5z + 6	, \|z + 5\| > 3, a−4.

9.9.1 9.9.10. Охарактеризовать указанную точку z0 для данной

функции (см. примеры 4.1 4.5). Ответы выбрать из следующего списка: 1) простой полюс; 2) полюс кратности два; 3) полюс кратности три; 4) полюс кратности четыре; 5) полюс кратности пять; 6) правильная; 7) устранимая особая; 8) существенно особая.

9.9.1(Я11.РП).

cos(z

1 −

−

, z 6= 2,

f1(z) =

−

2)2

z0 = 2;

1 ,

z = 2,

2 z

f2(z) =

−

, z0

= 1;

ln[1 + (z − 1)2]

∞

f3(z) =

−

− (z

−

4)5 +

(z − 4)n, z0 = 4.

n=0

9.9.2(А12.РЛ).

z0 = 1;

f1(z) =

z 1

ez−1

− 1

, z = 1.

f2(z) =

−

z = 1,

−

− 1 − (z − 1)

, z0 = 1;

sin(z − 1) − (z − 1)

∞

f3(z) =

−

3)2 +

−

3)3

+ n(z − 3)n, z0 = 3.

n=1

9.9.3(4Т3.БП).

z0 = 2;

f1(z) =

(z 2)2

ln[1 + (z − 2)2]

z = 2,

f2(z) =

−

z = 2,

−

, z0 = 2;

sin(z

(z − 2)5

f3(z) = (z − 4) sin

, z0

= 4.

z − 4

191

9.9.4(ДА4.РП).

f1(z) =

z 6= 1,

z0 = 1; f2(z)

1 cos z

= 0;

( sin 1 − z ,

ln(1 + z)

∞

z = 1,

−

f3(z) =

(z − 2)n

, z0 = 2.

−

2)5

n=1

9.9.5(570.Р7).

ln(1 + 2z)

f1(z) =

, z0

= 0; f2(z) =

, z0 = 2;

∞

(z − 2)3ez

f3(z) =

, z0 = 1.

n!(z

−

1)n

n=1

9.9.6(Д65.РЛ).

(

−

z = 4,

cos

z 6= 4,

f1(z) =

z0 = 4;

f2(z) =

sin(z − 1) − (z − 1)

= 1; f3(z) = ∞

, z0 = 5.

−

1)6

n=1

9.9.7(АС6.БП).

f1(z) =

sin(z − 3) − (z − 3)

, z0 = 3; f2(z) =

z − 4

, z0

= 4;

(z − 3)3

1 − cos(z − 4)

f3(z) =

∞

(z − 1)n

, z0 = 1.

−

1)2

n=1

9.9.8(А87.БЛ).

f1(z) =

z 1

z0 = 1;

e(z−1)2

− 1

, z = 1,

−

z = 1,

(z) =

z − 2

, z0 = 2;

sin(z − 2) − (z − 2)

(z) = z 16 3 +

4 3)3 +

∞

n(z − 3)n, z0 = 3.

−

n=0

192

9.9.9(408.БП).

f1(z) =

ln(1 + 2z)

, z0

= 0; f2(z) =

, z0

= 1;

sin 2z

(z − 1)4 cos(z − 1)

f3(z) = exp z − 4

, z0 = 4.

9.9.10(8П9.Б7).

f1(z) =

e2(z−5) − 1

, z0 = 5;

f2(z) =

cos(z − 2) − 1

, z0 = 2;

z − 5

sin2(z − 2) − (z − 2)2

f3(z) = z sin

= 3.

z − 3

9.10.1 9.10.10. Вычислить указанные вычеты (см. примеры 4.6

4.11).

9.10.1. а) (061). Res (z − i)(z − 2i) ; z = i ;

б) (ПТ2). Res (z − 4)3 ; z = 4 ; в) (303). Res z2z+ 3 ; z = ∞ .

sin 5z

9.10.2. а) (ПТ1). Res

; z = 1 ;

(z − 1)(z + 2)

∞

(z − 2)2

(z − 1)

б) (652). Res

sin(z − 1)

; z = 2 ; в) (7Б3). Res z cos

; z =

9.10.3. а) (С54). Res (z − 2i)(z − 4i) ; z = 4i ;

б) (695). Res (z − 3)2

(z + 1) ; z = 0 ;

cos z

в) (856). Res (z − 2)3 cos z − 2 ; z = 2 .

sin z

9.10.4. а) (057). Res

; z = −2 ;

(z + 2)(z + 5)

б) (2Т8).Res z sin z − 1 ; z = 1 ; в) (099).Res (z + 3)e2(z + 4) ; z = −3 .

9.10.5. а) (БС0). Res

3z cos2 z

; z = −i ;

(z + i)(z + 4i)

б) (081).

Res

; z = 2 ; в) (Д22).

Res

; z = ∞ .

(z − 1)(z + 2)2

193


				ez
9.10.6. а) (843). Res					; z = 1 ;
9.10.6. а) (843). Res				(z − 1)(z − 2)	; z = 1 ;
б) (8Т4). Res	cos 2z	; z = ∞ ; в) (495). Res				z4
б) (8Т4). Res	z5	; z = ∞ ; в) (495). Res				(z − 1)3
9.10.7. а) (776). Res			(z + 2i)(z + 3i) ; z = −3i ;
				sin 2z


	e2z
б) (БС1.5П). Res			; z = 1 ; в) (Т37). Res
	(z − 1)2(z − 3)
9.10.8. а) (0Т8). Res		sin 4z		; z = 4 ;

		(z − 3)(z − 4)

; z = 1 .

z15

1 + z4 ; z = ∞ .


б) (РА4). Res		z2				; z = 1 ;
		(z − 1)2(z + 3)
в) (П19). Res	(3 − z) cos z − 3 ; z = 3 .
			1
9.10.9. а) (СС1). Res							e3z
								; z = 3 ;
				(z − 3)(z − 2)
б) (Д82). Res	(z − 1)(z + 2)3 ; z = −2 ;
		z
в) (Р23). Res	(z + 2)4 sin z + 2 ; z = −2 .
				1
9.10.10. а) (0C4). Res							z4
									; z = 2 ;
					(z − 2)(z − 4)

б) (П85). Res		z2		; z = −1 ;
б) (П85). Res		(z − 2)(z + 1)2		; z = −1 ;
в) (СД6). Res	10z2 exp		z + 1		; z = −1 .
			1

194

9.11.1 9.11.10. Вычислить указанные интегралы (см. примеры

4.12 4.16).

9.11.1. а) (797).

;

2πi

(z2 − 1)(z + 2)

|z+2|=4

2π

∞

cos xdx

б) (Т97). Z0

√

; в) (746.57). Z0

+ cos x

4 + x2

9.11.2. а) (058).

zdz

;

2πi

(z2 + 1) sin z

|z|=1,2

2π

+∞

sin xdx

б) (567.5П). Z

√

; в) (2С8.5Я).

+ sin x

2π

x2 + 4x + 8

−∞

9.11.3. а) (РП9).

sin(4 + z)dz

;

2πi

(ez − 1)(z2 + 1)

|z|=0,5

2π

+∞

б) (490). Z

√

; в) (СР2). Z

+ cos x

x2 + 4x + 20

−∞

9.11.4. а) (1Д3).

z2dz

;

2πi

z2 + 5iz − 6

|z|=5

2π

+∞

б) (ЯС9.ШП). Z

√

; в) (6Д0.ШЛ). Z

cos 3xdx

+ cos x

x2 + 2x + 17

−∞

9.11.5. а) (2Т4).

zdz

;

πi

(z2 + 1)(z + 3i)

|z−i|=1,5

2π

+∞

б) (951). Z

; в) (А81.Ш7). Z

sin 3xdx

√

+ sin x

x2 + 4x + 20

−∞

195

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 4745 46 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Теория

#
18.07.20233.21 Mб77Ельцов А.А. - Линейная алгебра. Интегралы.pdf
#
18.07.20231.21 Mб92Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf
#
18.07.202331.65 Кб70Что нужно конспектировать во время карантина.jpg