Добавил:

fominmal Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2ой семестр / Математика / Теория / Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.07.2023

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 4746 47 > Следующая >>>

9.11.6. а) (099).

zdz

;

2πi

(z2 + 16)(z − 3)

2π

|z|=6

+∞

б) (472). Z

; в) (ТА2.57). Z

cos 2xdx

√

+ sin x

x2 + 16

−∞

9.11.7. а) (9У3).

4z − 3z

+ 1

dz;

2πi

2π

|z|=0,1

+∞

б) (ТР3).

; в) (Т53).

2(x2 − x + 2)

dx.

√5

(√5 + cos t)2

(x4 + 10x2 + 9)5

−∞

9.11.8. а) (081).

sin z3dz

;

2πi

1 − cos z

|z|=2

√

б) (274). 15 15

2π	dt		+∞	(x 1)dx
	dt			(x 1)dx
Z		; в) (1П5).	Z	−	.
Z	(4 + cos t)2	; в) (1П5).	Z	(x2 + 4)2	.
0			−∞

−

2z + 3z2 + 4z3

9.11.9. а) (ДА6).

2z2

dz;

2πi

2π

|z|=0,3

+∞

; в) (ТТ8). Z

б) (497).

√

(√

+ cos t)2

x4 + 17x2 + 16

−∞

e2z

9.11.10. а) (СТ4).

−

dz;

2πi

|z|=1

√

б) (6Т9). 3 3

2π	dt		+∞	1200dx
Z			Z
		; в) (5П0).			.
	(2 + cos t)2			(x2 + 9)(x2 + 4)2
0			−∞

Контрольная работа № 10

10.1.1 10.1.10. Для заданной графически функции: а) записать аналитическое выражение функции f(x); б) разложить в тригоно-

метрический ряд Фурье эту функцию; в) построить график суммы S(x) полученного ряда; г) найти S(−l), S(+l), а также значение S(x) в точках разрыва функции f(x), если они есть (см. пример 6.2).

196

10.1.1.			f(x)		6					10.1.2.			f(x)		6
10.1.1.										10.1.2.

			2												2
			2												2
								l = 1		-							l = 2			-






	−1			O				1			x −2			O						2 x
10.1.3.			f(x)		6					10.1.4.			f(x)		6
10.1.3.										10.1.4.

						1	l = 1			-		2							l = 4	-
						1						2



	−	1 O			1						x −4			O				1		4 x
10.1.5.			f(x)		6					10.1.6.			f(x)		6
10.1.5.										10.1.6.

			2													1		l = 2
			2				l = 2				-									-








−2				O						2 x −2		−	1 O							2 x
10.1.7.			f(x)		6					10.1.8.			f(x)		6
10.1.7.										10.1.8.

			2						l = 2						2			l = 2
			2												2

										-										-







−2				O	1					2 x −2		−1 O								2 x
10.1.9.			f(x)		6					10.1.10.			f(x)		6
10.1.9.										10.1.10.

			2					l = 2				2
			2							-		2				l = 2





																					-
																					-
−2				O						2 x −2				O	1					2 x

197

10.2.1 10.2.10. Заданную на (0, l) графически функцию f(x) продолжить на (−l, 0) чётным и нечётным образом. Полученные функ-

ции разложить в тригонометрический ряд Фурье и построить графики их суммы (см. пример 6.3). (Обратить внимание на особенности симметрии графика функции.)

10.2.1.						10.2.2.
f(x)	6					f(x) 6
1						1		l = 4
			l = 4					l = 4
			l = 4
					-						-
O		2		4	x	O	1	2	3	4	x
−1						−1
10.2.3.						10.2.4.
f(x) 6						f(x) 6		l = 4
						2
1			l = 4
			l = 4
					-						-
O	1	2	3		4 x	O	1	2	3		4 x
10.2.5.						10.2.6.
f(x) 6						f(x) 6
		l = 4						l = 3
1						1
					-						-
O	1		3		4 x	O	1	2	3		x
10.2.7.						10.2.8.
f(x) 6						f(x) 6
						2
			l = 2						l = 4
			l = 2
1
					-						-
O	1	2			x	O		2			4 x
					198

10.2.9.			10.2.10.
f(x) 6				f(x) 6			l = 2
1		l = 4		1			l = 2
1		l = 4		1
			-				-
O	2	4	x	O	1	2	x
−1				−1

10.3.1 10.3.10. Данные функции представить рядом Фурье в комплексной форме (см. пример 6.4). Записать спектральную функцию, амплитудный и фазовый спектры.

(0, −2 ≤ x ≤ −1,

10.3.1f(x) = 1, −1 < x < 1,

0, 1 ≤ x ≤ 2.

10.3.3 f(x) = ex, −1 ≤ x ≤ 1. 10.3.5 f(x) = x, −π < x < π. 10.3.7 f(x) = π2 − x2, |x| ≤ π.

10.3.9 f(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ π, 0, −π ≤ x < 0.

π2 − x2

10.3.2 f(x) =

≤ |x| < π.

10.3.4

2x + 1,

−

≤

π.

f(x) =

10.3.6 f(x) = −x + 4, −3 < x < 3. 10.3.8 f(x) = −2x + 3, −5 < x < 5.

10.3.10 f(x) = 3x + 2, −1 < x < 1.

10.4.1 10.4.10. Представить данную функцию интегралом Фурье в одной из форм, которую вы считаете более удобной (см. примеры 7.1 и 7.2).

(1, −1 ≤ x ≤ 0,

10.4.1f(x) = x, 0 < x < 1,


			0, \|x\| > 1.
10.4.3 f(x) = e−\|x\|.
10.4.5 f(x) =			x
				.
		1 + x2					π
	cos x, \|x\|π≤							,

10.4.7 f(x) =							2
			0, x\| >			.
					2
			0, \|x\| > π.
10.4.9 f(x) = sin\|x, \|x\| ≤ π,

2, 2 < x <

10.4.2 f(x) =

x,−

−−1 < −x < 1,

−

−x + 2, 1 < x < 2,

> 2.

10.4.4 f(x) =

|при x > 0.

1 + x

10.4.6 f(x) = e−|x| cos x.

10.4.8 f(x) = e−x2

+∞e−u2 du = √π!

10.4.10 f(x) =

−∞

≥

0, x < 0.

e−2x sin 3x, x

199

10.5.1 10.5.10. Найти преобразование Фурье данной функции (см. пример 7.3).

10.5.1 f(x) = x exp

. 10.5.2 f(x) = (2

−

x) exp

(x − 2)2

− 2

−

10.5.3 f(x) = xe−|x|.

10.5.4 f(x) = e−|x| cos x.

10.5.5 f(x) = e−|x| sin x.

10.5.6 f(x) = (2x + 1)e−|x|.

10.5.7. f(x) =

−вне≤[−1≤, 1].

10.5.8. f(x) =

x2,

||x||

>≤

10.5.9. f(x) =

других| |

точках.

10.5.10. f(x) =

1 < x < 2,

||x|| >≤

x cos 3x,

10.6.1 10.6.10. Для заданных на (0, +∞) функций найти синус-

преобразование Фурье или косинус-преобразование Фурье (см. примеры 7.4 7.6).

10.6.1. f(x) =

, Fc

(ω).

10.6.2. f(x) =

, Fs(ω).

4 + x2

9 + x2

10.6.3. f(x) =

, Fs(ω).

10.6.4. f(x) =

, Fc(ω).

(x2 + 25)2

(x2 + 4)2

10.6.5. f(x) =

1 − e−2x

, Fc(ω).

10.6.6. f(x) =

, Fc(ω).

1 + x4

10.6.7. f(x) =

x ≤> a,≤

Fs(ω).

10.6.8. f(x) =

4x − 1,

0 ≤ x ≤ 4 ,

Fs(ω).

> 1 ,

0 | |x

cos x,

π,

10.6.9. f(x) =

Fc(ω).

≤

x > π,

Fc(ω).

10.6.10. f(x) =

x ≤> π,≤

π,

sin x,

10.7.1 10.7.10. В задачах а) и б) найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего заданному уравнению (см. примеры 8.1 8.4, 8.8 8.13). При проверке ответа множитель η(t − t0) опускать. Рациональное изображение вводить в виде отношения полиномов относительно p, сократив при этом общие

200

множители числителя и знаменателя, если они имеются. В задаче в) найти оригинал по заданному изображению, применяя теоремы запаздывания и смещения (см. примеры 8.6, 8.7). Ответ запи-

сать в форме eα(t−t0)(γ cos β(t − t0) + σ sin β(t − t0)) или eα(t−t0)×

×(γ ch β(t − t0) + σ sh β(t − t0)).

10.7.1. а) (9Д.5П). f(t) = t cos 4t; б) (92.5П). f(t) =

t2, 0 < t < 1,

t > 1;

в) (8С.ШП). F (p) =

e−3p(p + 2)

p2 + 4p − 12

10.7.2. а) (84.ШЛ). f′′(t) + 4f(t) = η(t), f(0) = f′(0) = 0;

б) (Т2.Ш7). f(t) =

t e4τ cos τdτ; в) (72.57). F (p) =

(p + 3)e−2p

+ 6p + 25

10.7.3. а) (Р6.5П). f′(t) + 3f(t) = η(t), f(0) = 1;

б) (П4.5П). f(t) = e3t sin 5t; в) (10.ШП). F (p) =

(p − 2)e−4p

p2 + 4p − 5

10.7.4. а) (7А.ШЛ). f(t) = tet; б) (С4.Ш7). f(t) = cos2 t;

в) (76.57). F (p) =

(p + 7)e−2p

p2 + 10p + 29

10.7.5. а) (С2.5П). f(t) = 2 sin2 t; б) (РД.5Я). f(t) =

e3τ sin τdτ;

в) (Р8.ШП). F (p) =

(p + 6)e−p

p2 + 8p + 25

10.7.6. а) (У4.ШЛ). f′′(t) + 2f′(t) + 3f(t) = 0, f′(0) = 0, f(0) = 1;

б) (ЯД.Ш7). f(t) = e−2t sin 4t; в) (60.57). F (p) =

(p + 3)e−2p

p2 + 2p + 10

10.7.7. а) (5А.5П). f(t) = η(t − b) cos 3(t − b);

б) (82.5П). f(t) =

e2t − 1

; в) (А2.ШП). F (p) =

(p + 5)e−5p

p2 + 6p + 58

10.7.8. а) (64.ШЛ). f(t) =

1 − e−3t

;

б) (СС.Ш7). f(t) =

(t + 1) sin 2t; в) (3А.57). F (p) =

2e−4p

p2 + 8p − 9

201

10.7.9. а) (08.5П). f(t) =

t τe3τ dτ; б) (ПА.5П). f(t) =

e2t − e−3t ;

2e−7R

в) (26.ШП). F (p) = p2 + 12p + 40 .

10.7.10. а)

(Т2.ШЛ).

f(t)

2 sin2 t

(П6.Ш7). f(t)

; б)

t cos2 3τdτ; в) (АА.57). F (p) =

(p + 3)e−8p .

12p + 61

10.8.1 10.8.10. Найти изображение−

кусочно-линейной функции,

заданной графически (см. пример 8.5 и 8.11). Ответ записать в виде

. При проверке ответа ввести последо-

F (p) = s=1 e−pτs p2

+ ps

вательность пар чисел {As, Bs}, включая и нулевые значения.

10.8.1(РТ.РП).

10.8.2(ПА.РП).

f(t)

f(t) 6

−1

10.8.3(ПД.РЛ).

10.8.4(АА.БП).

f(t)

0,5

−1

10.8.5(5А.БЛ).

10.8.6(9С.БП).

f(t) 6

0,5

202

10.8.7(36.Б7).						10.8.8(73.Р7).
f(t)	6					f(t)	6
1						1
					-					-
O	1	2			t	O	1	2		t
−1						−1
10.8.9(С3.РП).						10.8.10(1А.РП).
f(t)	6					f(t)	6
1						1
					-					-
O	1	2	3	4	t	O		2	3	t
−1						−1

10.9.1 10.9.10. Найти оригинал по заданному изображению (см. примеры 8.15, 8.16). Оригинал записать в вещественной форме. (Гиперболические функции не использовать. Общие множители за скобку не выносить.)

2p2 − 11p + 24

10.9.1(461.5П). F (p) = (p − 2)(p2 − 6p + 18) .

p2 − 3p + 4

10.9.2(СА2.5Я). F (p) = (p − 1)(p2 − 4p + 5) .


10.9.3(Р43.ШЛ). F (p) =			p3 − 3p2 + 5p + 1					.
			(p2 + 1)(p2 − 4p + 5)
10.9.4(ДА4.ШЛ). F (p) =				p2 − p + 4			.
			(p + 2)(p2 − 2p + 2)
10.9.5(А45.Ш7). F (p) =		2p2 − p + 2			.
			p3 + 8
10.9.6(Т46.57). F (p) =	p2 + 3
				.
	1 − p4
10.9.7(С67.5П). F (p) =	3p3 + 2p2 − 4p + 20					.
			p3(p2 − 2p + 10)

203

10.9.8(408.5Я). F (p) =	p3 − p2 − 4p + 5		.
	p4 − 4p3 + 5p2
	p4	+ 6p2 + 24p + 30
10.9.9(У69.ШП). F (p) =				.
		p6 + 4p5 + 5p4

10.9.10(441.ШЛ). F (p) = p4 + 2p3 + 2p2 + 8p + 26 . p5 + 4p4 + 13p3

10.10.1 10.10.10. Операторным методом найти решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего заданным начальным условиям (см. пример 8.18).

10.10.1(8П7). x′′ + x = 3 sin 2t, x(0) = x′(0) = 0. 10.10.2(С47.ШП). x′′ + 4x = 20e−4t, x(0) = x′(0) = 0. 10.10.3(С44.ШЛ). x′′ + 2x′ + x = t, x(0) = x′(0) = 0. 10.10.4(С25.Ш7). x′′ + 2x′ + 2x = 10e2t, x(0) = x′(0) = 0. 10.10.5(4Д6.57). x′′ + x = 10e−3t, x(0) = x′(0) = 0. 10.10.6(ЯС7.5П). x′′ + 4x′ + 5x = 10et, x(0) = 10, x′(0) = −30. 10.10.7(528.5Я). x′′ + 2x′ + x = t2 + 4t + 2, x(0) = 0, x′(0) = 1. 10.10.8(7А9.ШП). x′′ + x′ = 2 cos t, x(0) = 4, x′(0) = 0. 10.10.9(540.ШЛ). x′′ + 2x′ + x = 2 sin t, x(0) = 0, x′(0) = −2. 10.10.10(261.Ш7). x′′ + 2x′ + 5x = 17 cos 2t, x(0) = x′(0) = 0.

10.11.1 10.11.10. Применяя интеграл Дюамеля, найти решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям

y(0) = 0, y′(0) = 0 (см. пример 8.19).

10.11.1. y′′ − y = th t.

10.11.2. y′′ − y′ =

1 + et

y′′ − 2y′ + y =

10.11.4. y′′ − y = th2 t.

10.11.3.

1 + t2

10.11.6. y′′ − y′ =

10.11.5.

y′′ − y =

ch t

1 + et

10.11.7.

y′′ − 2y′ + y =

10.11.8. y′′ + y′ =

e2t

t + 1

3 + et

y′′ − 2y′ =

10.11.10. y′′ − y =

10.11.9.

ch t

1 + ch t

204

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 4746 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Теория

#
18.07.20233.21 Mб77Ельцов А.А. - Линейная алгебра. Интегралы.pdf
#
18.07.20231.21 Mб92Магазинников Л.И. - Функции комплексного переменного.pdf
#
18.07.202331.65 Кб70Что нужно конспектировать во время карантина.jpg


			0, \|x\| > 1.
10.4.3 f(x) = e−\|x\|.
10.4.5 f(x) =			x
				.
		1 + x2					π
	cos x, \|x\|π≤							,

10.4.7 f(x) =							2
			0, x\| >			.
					2
			0, \|x\| > π.
10.4.9 f(x) = sin\|x, \|x\| ≤ π,