одновременно. Применяя интегральный признак Коши к исследова-

дится.

3.1.11. Признаки Лейбница и Дирихле

Пусть дан ряд с вещественными членами, знаки которых чередуются. Такой ряд можно записать в виде

∞

X

a1 − a2 + a3 − a4 + · · · + (−1)m+1am + · · · = (−1)n+1an. (3.23)

n=1

Здесь величины an вещественны и an > 0.

Теорема 3.15 (признак Лейбница). Если члены знакочередующе-

гося ряда (3.23) монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.

и стремятся к нулю, т.е. lim an = 0, то ряд (3.23) сходится, его

n→∞

остаток по модулю не превышает первого члена остатка, а по знаку совпадает со знаком этого члена.

Доказательство. Частичные суммы S2m чётного порядка ряда

(3.23) можно записать в виде

S2m = (a1 − a2) + (a3 − a4) + · · · + (a2m−1 − a2m).

В силу (3.24) все скобки здесь положительны. Поэтому при любом m величина S2m > 0 и последовательность {S2m} монотонно возрас-

тает. С другой стороны,

S2m = a1 − (a2 − a3) − (a4 − a5) − · · · − (a2m−2 − a2m−1) − a2m.

58

Отсюда следует, что S2m < a1. Мы получили 0 < S2m < a1. Таким образом, последовательность {S2m} монотонно возрастает и огра-

ничена сверху. По теореме Вейерштрасса она имеет предел. Обо-

Сходимость ряда (3.23) доказана, оценим его остаток. Пусть α2m =

= a2m+1 − a2m+2 + a2m+3 − a2m+4 + · · · = (a2m+1 − a2m+2) + (a2m+3−

−a2m+4) + · · ·. Отсюда следует, что α2m > 0. Но, с другой стороны, α2m = a2m+1 −(a2m+2 −a2m+3)−· · ·, т.е. α2m < a2m+1, следовательно,

Для остатка α2m−1 находим α2m−1 = −a2m + a2m+1 − a2m+2+

+a2m+3 − · · · = (−a2m + a2m+1) + (−a2m+2 + a2m+3) − · · ·. Каждая из

скобок здесь отрицательна, поэтому α2m−1 < 0. С другой стороны,

α2m−1 = −a2m + (a2m+1 − a2m+2) + (a2m+3 − a2m+3) + · · ·. Следова-

тельно, α2m−1 > −a2m, т.е.

Из неравенств (3.25) и (3.26) следует справедливость второй части теоремы. Теорема доказана.

Замечание 4. Расстановка скобок в рядах α2m и α2m−1 правомер-

на, так как каждый из рядов сходится, а сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.

Замечание 5. Из (3.25) и (3.26) следует, что при замене суммы

знакочередующегося ряда его частичной суммой погрешность по модулю не превышает первого отброшенного члена, а по знаку совпадает с ним.

Пример 3.13. Исследовать на сходимость ряд

∞

X(−1)n+1 n1 = 1 − 12 + 13 − 14 + · · ·.

n=1

Решение. Поскольку знаки членов ряда чередуются, а их модули, монотонно убывая, стремятся к нулю, то данный ряд сходится. Так

59

Приведём без доказательства достаточный признак сходимости

Теорема 3.16 (признак Дирихле). Если последовательность ча-

n=1

где числа an образуют монотонную сходящуюся к нулю последова-

тельность.

При исследовании рядов с комплексными членами иногда полезна следующая теорема.

60