имеет два значения: i и −i. Таким образом, число i одно из значе-

√

ний −1.

Замечание. Из средней школы известно, что в случае, если дискриминант D квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 (a, b, c дей-

ствительные числа) отрицателен, то это уравнение не имеет действительных корней. При D < 0 корни будут комплексными. Например,

x2 = 1 − 4i.

Множество всех комплексных чисел будем обозначать через C. Отметим наиболее часто встречающиеся подмножества C:

|z − z0| = r окружность с центром в точке z0 радиуса r;

|z − z0| < ε ε-окрестность точки z0, обозначать её будем Qε(z0); 0 < |z − z0| < ε проколотая ε-окрестность точки z0, обозначают

˙

Qε(z0);

Im z > 0, (Im z < 0) верхняя (нижняя) полуплоскость; Re z > 0, (Re z < 0) правая (левая) полуплоскость.

1.2. Последовательности комплексных чисел. Понятие бесконечности. Операции ez и ln z

Функция zn : N → C, где N множество натуральных чисел, а Cмножество комплексных чисел, называется последовательностью комплексных чисел {zn}.

Примеры последовательностей:

z = x + iy называется пределом последовательности {zn}, если для любого ε > 0 найдётся такое вещественное число N(ε), что для всех

n > N выполняется условие |z − zn| < ε. Пишут lim zn = x + iy.

n→∞

14

Задать последовательность комплексных чисел {zn} = {xn + iyn} означает задать векторную последовательность {r¯n} = {xn, yn}, изу-

ченную нами в первой части курса высшей математики [14, с.90,91]. Перефразировкой теоремы о векторных последовательностях является теорема 1.2.

Теорема 1.2. Последовательность {zn} = {xn + iyn} сходится к

числу z = x+iy тогда и только тогда, когда lim xn = x, lim yn = y.

n→∞ n→∞

Теорема 1.3. Из сходимости последовательности

{zn} = {xn + iyn} = {rn(cos ϕn + i sin ϕn)}

к числу z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ) при соответствующем выборе

аргументов ϕ и ϕn следует, что lim ϕn = ϕ, lim rn = r и обратно.

n→∞ n→∞

Справедливость утверждения следует из теоремы 1.2 и непрерывности функций f(x) = √x и ϕ(x) = arctg x + 2πm, так как

rn = px2 + y2 , Arg zn = arctg yn

n n xn

Критерий Коши сходимости последовательности вещественных чисел легко обобщается и на последовательность комплексных чисел.

Теорема 1.4. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {zn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало число N(ε) такое, что при любых n > N и любом

p = 1, 2, . . . выполнялось неравенство |zn+p − zn| < ε.

Пусть дана последовательность {zn}, удовлетворяющая условию: какое бы ни было число R, найдётся такое число N, что при всех n > N выполняется неравенство |zn| > R. В обычном смысле последовательность {zn} пределаане имеет. Дополним множество всех комплексных чисел новым элементом, обозначим его символом ∞ и

будем считать, что рассмотренная последовательность имеет преде-

лом ∞, т.е. lim zn = ∞.

n→∞

Элемент ∞ называется бесконечно удалённым, а комплексную плоскость, дополненную этим элементом, называют расширенной комплексной плоскостью. Считают, что

∞1 = 0, 10 = ∞, z · ∞ = ∞ z 6= 0, z + ∞ = ∞, ∞z = 0.

15

(учтено, что arctg x x при x → 0). На основании теоремы 1.3 теперь

Из (1.9) при x = 0 получаем, что eiy = (cos y+i sin y). Отсюда следует, что любое комплексное число z = r(cos ϕ + i sin ϕ), не равное нулю,

можем записать в виде

Форму записи комплексного числа в виде (1.10) называют показательной.

Заметим, что каждому комплексному числу z по формуле (1.3) соответствует единственное комплексное число w = ez, но одному и тому же числу w соответствует бесконечно много чисел z, отличаю-

щихся друг от друга на целое кратное числа 2πi.

√

16

Все значения логарифма z обозначим Ln z. Найдём эти значения.

Если z = r(cos ϕ+i sin ϕ), а w = u+iv, то по определению логарифма eu+iv = r(cos ϕ + i sin ϕ) или eu(cos v + i sin v) = r(cos ϕ + i sin ϕ). Отсюда следует, что eu = r, v = Arg z = arg z + 2πm, m = 0, ±1, ±2, . . ..

Так как r = |z| > 0, то существует единственное действительное значение u = ln r = ln |z|. Поэтому u = ln |z|, v = arg z + 2πm, m = 0, ±1, ±2, . . ..

Таким образом, всякое комплексное число z =6 0, z =6 ∞ имеет

бесконечное множество значений натурального логарифма. Все они описываются формулой

Однозначная функция ln z = ln |z| + i arg z называется главным значением логарифма.

Пример 1.6. Найти все значения Ln(1 + i).

Решение. По формуле (1.11) находим

Ln(1 + i) = ln √2 + i π4 + 2πm , m = 0, ±1, ±2, . . ..

Если a действительно и a > 0, то Ln a = ln a + i2πm. Если a < 0, то Ln a = ln |a| + i(π + 2πm).

Среди всех значений логарифма действительного положительного числа, как мы уже отмечали, лишь одно действительно. Оно совпадает с главным значением логарифма. Легко проверяются равен-

Равенства (1.12) следует понимать, как равенства двух бесконечных множеств в том смысле, что правые и левые части равенств в (1.12) определяют одинаковые бесконечные множества комплексных чисел. Это не совпадает с обычной алгеброй. Например, Ln z − Ln z = i2πm, m любое целое число. Было бы ошибкой

приравнивать эту разность тождественному нулю. Она равна нулю только тогда, когда рассматриваются одинаковые ветви значений логарифма z, получающиеся из (1.5) при фиксированном значении m.

Пример 1.7. Найти число z, если известно, что

√

Ln z = ln 20 + i(−π + arctg 2 + 2πm).

положено в третьей четверти, поэтому x < 0, y < 0. Из условия

17

x2 + y2 = 20, xy = 2, x < 0, y < 0 находим, что x = −2, y = −4, следовательно, z = −2 − 4i.

18